2022年2022年高一数学必修四平面向量知识与题型归类

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（1）一向量有关概念：1.向量的概念 ：既有大小又有方向的量,2.零向量 ：长度为0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向不确定；3.单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；2.向量的数乘运算：实数与向量 a 的积为一个向量,记作a ,它的长度和方向规定如下：aa 、当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同, 当<0 时,a 的方向与 a 的方向相反, 当 0 时,a0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

2、料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 的单位向量： 与 a 同方向 且长度等于1 的向量,记作aa0 并且 a0；a3.向量的坐标运算：设 a x1 、 y1、 b x2 、 y2 ,就：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与 a 共线的单位向量：与 a 方向 相同或相反 且长度等于1 的向量,可表示为a ； 向量的加减法运算： ab x1x2 , y1y2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 实数与向量的积：ax1 、 y1x1 、y1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.相等向量 ：长度相等且方向相同

3、的两个向量叫相等向量；如 a x1 、 y1、 b x2 、 y2 ,就abx2x1 、 y2y1,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.平行向量（也叫共线向量）：向量的基线平行或重合,称为向量共线或平行,记作：a b ；即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行；终点坐标减去起点坐标；222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 向量的模 ：| a |xy 、a| a |xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量为a ；二向量的表示方法：

4、1 几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如ab ,留意起点在前,终点在后；四平面对量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量a ,b ,作 oaa o、 bb,aob0称为向量 a ,b 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；夹角,记作a 、 b ,当 0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当时, a , b 垂直；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系,以与x 轴. y 轴方向相同的两个单位向量i , j 为基底,就平2平面对量的数量积：假如两个非

5、零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载面内的任一向量a 可表示为axiy jx、 y,称x、 y 为向量 a 的坐标, a x、 y 叫做向量 a 的数量积（或内积或点积）,记作： ab ,即 ab 留意数量积为一个实数,不再为一个向量；a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积为0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标表示；假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同； 三向量的运算：3 a 在 b 方向上的正射影的数量为 |a | cosa、b= aa ba b

6、,它为一个实数,但不肯定大于0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 几何运算 ：（ 1） 向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点（ 2） 向量的减法： 三角形法就的特点：共起点,方向指向被减向量ca bb4 向量数量积的性质：设两个非零向量a , b ,其夹角为,就： abab0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2当 a ,b 同向时, ab a b ,特殊地, aa | ab | | a |b | ；b22aaa、 aa；当 a 与 b 反向时, ab a b ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为锐角ab 0,且 a.

7、b 不同向,；为钝角ab 0,且 a.b 不反向；abcc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（2）5.平面对量数量积的坐标运算：八.向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设两个非零向量ax1 、 y1, bx2 、 y2,就（ 2） | a |b | | ab | | a |b |,特殊地,前面等号成立的条件为a.b 同向或有 0 ；后面等号成立

8、的条精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a bx1x2y1 y2 22222件为 a.b 反向或有 0（ 3）在abc 中,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 ax、 y , 就 axy , 或axy 重心： 中线的交点且重心将中线分成2： 1 两段；外心： 中垂线的交点；垂心： 高线的交点；内心： 角平分线的交点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 ax1 、 y1, bx2、 y2,就 abx1 x2y1 y20 papbpc0p 为abc 的重心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 设a.

9、b都 为 非 零 向 量 ,ax1、 y1,bx2 、 y2,为a 与b的 夹 角 , 就 papbpb pcpcpap 为abc 的垂心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a bx1 x2y1 y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos2222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a bx1y1x2y2五向量的运算律： papbpcp为abc的外心 ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如向量ap = abac 0 、 就点 p 的轨迹肯定过abc 的内心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abba；bc,ababab；1交换律：

10、abba ,aa ,| ab | ac |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2结合律：abcabc、abca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3安排律：aaa、abab ,abcacbc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示：（ 1） 向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方.两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一 个向量, 切记两向量不能相除 相约 ；精品学习资料精选学

11、习资料 - - - 欢迎下载（ 2）向量的“乘法”不满意结合律,即abcabc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载六.向量共线与垂直的条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平行向量基本定理：如aba / / b ,反之,如a / /bb0ab （其中为唯独的实数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向量共线的坐标表示：设两个向量ax1 、 y1, bx2 、 y2, 就a / / bx1 y2y1 x20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三点共线：不重合的

12、三点a.b.c共线abac存在实数.使得 papbpc且1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向量垂直的条件： aba b0x1 x2y1 y20 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载七.平面对量的基本定理：假如e1 和 e2 为同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有且只有一对实数1 .2 ,使 a1e12 e2 ；其中不共线向量e1、e2 叫做一组基底,记作e1

13、、 e2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载经典题型：一. 基本概念高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（3）3.已知平面对量a、 b 满意（ab）2ab4 且 a2,b4 且,就a与 b 的夹角为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载判定正误 ：（ 1）共线向量就为在同一条直线上的向量；4.已知 a、b 为两个非零向量,且abab ,就a与ab 的夹角为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如两个向量不相等,就它们的终点不行能为同一点；5. 设非零向量a . b . c 满意| a | b

14、 | c |、abc ,就a、 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）与已知向量共线的单位向量为唯独的；（ 4）如 a 与 b 不共线,就a 与 b 都不为零向量；6.已知 a5、 b4,a与b 的夹角2,就向量 b 在向量 a 上的正射影的数量为3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）如 a .b.c.d 四点构成平行四边形,就abcd ；7.已知 | a |3 , | b |5 , 且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的正射影的数量为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 6）如 abcd ,就 a .b .c.d 四点构成平行四边形；

15、8.已知 i 与 j 为相互垂直的单位向量, 围为 ai2 j , bij 且 a 与 b 的夹角为锐角,就实数的取值范精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 7）如 ab ,就 ab ；（ 8）如a b、 bc ,就 ac ；9.如图,等边abc 中 , ab2 ad ac4 ae4 ,求 be cd 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 9）如a / b、b / c ,就a / c（ 10） 如a cb c、就ab;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 11）如 mamb ,就 ab ；（ 12）如 mana

16、,就 mn ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 13）如 a b0 ,就 a0 或 b0（14）如 | ab | | ab | ,就 ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22（ 15） a b2ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.向量的运算1.化简：abbccd ； abaddc ； abcd acbd 10.如图,在矩形abcd中, ab2 ,bc2, 点e 为 bc的中点, 点f 在 边 cd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.如 o为abc 所在平面内一点,且满意obocobo

17、c2oa ,就abc 的外形为 上,如ab af2 ,求ae bf的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.如 d 为abc 的边 bc 的中点,abc 所在平面内有一点p ,满意就的值为 pabpcp0 ,设 | ap |,| pd |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.如点 o 为 abc 的外心,且oaobco10 ,就 abc 的内角 c 为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.如 m（ -3 , -2 ）,n（ 6, -1 ）,且三.向量的夹角与数量积mpmn,就点 p 的坐标为 3精品学习资料精选

18、学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. abc中,| ab |3 , | ac |4 , | bc |5 ,就 abbc 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.已知 a1、 b0、 cakb 、 dab , c 与 d 的夹角为,就 k 等于 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载224精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（4）四.向量共线与垂直五.向量的模1. 设向量 a

19、 , b 满意 ab 1 及 4 a3b3 ,就 3a5b的值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.如向量 a x、1、b4、 x ,当 x 时 a 与 b 共线且方向相同2.设向量 a , b 满意 a1、 b2、 aa2b、 就 2ab 的值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.已知 a、b 不共线, ckab、dab ,假如 c d ,那么 k=、 c 与 d 的方向关系为3.已知向量a.b.c 两两之间的夹角为60°,其模长都为1,就ab2c =.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. a （1,2）、b2、3,如向量c满意于（ ca）

20、 b , c （ab）,就c 4.已知向量a1、 sin、 b1、 cos、 就 ab 的最大值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.设 pa k、12、 pb4、5、 pc10、k ,就 k 时, a、b、c 共线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.以原点 o和 a4、2 为两个顶点作等腰直角三角形oab,b90,就点 b 的坐标为 5.设点 m为线段 bc的中点,点a 在直线 bc外,2bc16、abacabac、 就 am 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

21、6.平面直角坐标系中,o 为坐标原点,已知两点a3、1 、 b 1、3 、 如点 c 满意 oc1 oa2ob 、 其六.平面对量基本定理的应用问题1.以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中1 、2r 且12 1 、 就点 c 的轨迹方程为 a.e0、0、 e1、 2b.e 1、2、 e5、7c.e3、5、 e6、10 d.e132、3、e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.如 a12、5 ,求12121212、24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 的单位向量；2. a（1,1）,b （1,1）,c（4,2）,

22、就 c （）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与 a 共线的单位向量；(a) 3ab(b) 3ab(c)a3b(d)a3b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与 a 垂直的单位向量；3.已知ad 、 be 分别为abc 的边bc、 ac 上的中线 、 且 ada、 beb 、 就 bc 可用向量a、 b 表示为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.已知abc 中,点 d 在 bc 边上,且cd2 db, cdr abs ac , 就 rs 的值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5 . 如 图 、 在 abc中 、an1 nc、p 为 bn上 的 一 点 、 如3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.已知 a =（ 1,2）, b =（-3,2）,如 k a +2 b 与 2 a -4 b 共线,求实数k 的值；如 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂apm ab2 ac 、 求实数 m 的值9a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直,求实数k 的值6.如图abc中, ad2 db、 2 aeec、 becdp ,e精品