3概率的基本性质

1、3.1.3概率的基本性质【学习目标】1了解互斥事件概率的加法公式；2理解事件的关系与运算；3会用对立事件的特征求概率.问题导学1知识点一事件的关系思考 一粒骰子掷一次，记事件 A= 出现的点数大于 4，事件B=出现的点数为5，则事件B发生时，事件 A一定发生吗？答案 因为5>4，故B发生时A 一定发生.梳理 一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事件 旦一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作B?A（或A? B） 与集合类比，如图所示.不可能事件记作？，任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生，则事件B 一定发生，反之也成立，（若B?A,且A? B）,那么

2、称事件 A与事件B相等，记作 A= B.知识点二事件的运算思考 一粒骰子掷一次，记事件C= 出现的点数为偶数，事件D = 出现的点数小于 3,当事件C, D都发生时，掷出的点数是多少？事件C, D至少有一个发生时呢？答案 事件C, D都发生，即掷出的点数为偶数且小于 3,故此时掷出的点数为 2,事件C,D至少有一个发生，掷出的点数可以是124,6.梳理 一般地，关于事件的运算，有下表：定义表示法事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发AU B（或 A+ B）生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）父事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发A n B（或 AB）生，

3、则称此事件为事件 A与事件B的父事件（或积事件）知识点三互斥与对立的概念 思考 一粒骰子掷一次，事件E = 出现的点数为3，事件F = 出现的点数大于 3，事件G=出现的点数小于 4，贝y E n F是什么事件？ EU F呢？ Gn F呢？ G U F呢？答案 En F =不可能事件，E U F = 出现的点数大于 2, E, F互斥，但不对立；Gn F =不可能事件，GU F =必然事件，G, F互斥，且对立.梳理 一般地，有下表：互斥事件若An B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥若An B = ?，贝U A与B互斥对立事件若An B为不可能事件，A U B为必然 事件，那么称事件 A

4、与事件B互为对 立事件若 An B = ?，且 A U B= U,贝U A与B对立知识点四概率的基本性质思考 概率的取值范围是什么？为什么？答案 概率的取值范围是 01之间，即OW P(A)W 1;由于事件的频数总是小于或等于试验 的次数，所以频率在 01之间，因而概率的取值范围也在01之间.梳理概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围为0,1.必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A U B)= P(A) + P(B).特别地，若A与B为对立事件，则 P(A)= 1 P(B).P(A U B)= 1, P(A n B)= 0.n题型探究

5、类型一事件关系的判断例1在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A= 出现1点; B= 出现2点; C= 出现3点; D = 出现4点; E = 出现5点; F =出现6点 ; G = 出现的点数不大于1 ; H = 出现的点数小于5 ; I = 出现奇数点; J =出现偶数点 请根据这些事件，判断下列事件的关系：(1) BH ; (2)DJ; (3)EI;(4)AG.答案？(2)?？(4)=解析 当事件B发生时，事件 H必然发生，故B? H ;同理D? J, E? I易知事件A与事件 G相等，即A = G.反思与感悟 (1)不可能事件记作 ?，任何事件都包含不可能事件(2) 事件的包含关系与集合

6、的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记 忆(3) 事件A也包含于事件 A,即A? A.(4) 两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生跟踪训练 1 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从 40张扑牌 (红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从 1 到 1 0)中任意抽取 1 张( 1 ) “抽出红桃”与“抽出黑桃” ;(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3) “抽出的牌的牌面数字为5 的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”解 (1)是互斥事件，不是对立事件理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，

7、 “抽出红桃 ”和“抽出黑桃 ”是不可能同时发 生的，所以是互斥事件由于还可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生， 所以二者不是对立事件(2) 既是互斥事件，又是对立事件理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出红色牌 ”与“抽出黑色牌 ”不可能同时 发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3) 不是互斥事件，也不是对立事件理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出的牌的牌面数字为 5的倍数 ”与“抽出 的牌的牌面数字大于 9”这两个事件可能同时发生， 如抽出的牌的牌面数字为 10，因此二者 不是互斥事件，当然也不可能是对立事件类型

8、二 事件的运算例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取 3个球，设事件 A=3个球中有1个红球 2个白球,事件B= 3个球中有2个红球1个白球，事件C = 3个球中至少有1个红球, 事件D = 3个球中既有红球又有白球 .求：(1)事件 D 与 A， B 是什么样的运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件？解（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D = AU B.（2）对于事件C,可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故 C n A= A.引申探究本例中，若设事件E=3个红球,事件F =3个球中至少有一个白球,那么事件C与B

9、,E是什么运算关系？ C与F的交事件是什么？解 由事件C包括的可能结果有 1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B? C, E? C,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个 白球，所以C n F = 1个红球2个白球，2个红球1个白球 = D.反思与感悟（1）利用事件间运算的定义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.（2）利用Venn图借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2掷一枚骰子，下列事件：A= 出现奇数点 , B= 出现偶数点 , C= 点数

10、小于3, D = 点数大于2, E= 点数是3 的倍数 求：（1）An B, BC.（2）AU B, B+ C. D , AC, D + E .解 （1）An B= ?, BC = 出现 2 点 （2）AU B = 出现 1,2,3,4,5 或 6 点,B+ C = 出现 1,2,4 或 6 点,D = 点数小于或等于2 = 出现1或2点,AC = 出现1点,D + E = 出现 1,2,4 或 5 点 类型三用互斥、对立事件求概率1 1例3甲、乙两人下棋，和棋的概率是1,乙获胜的概率为 彳，求：（1）甲获胜的概率；（2）甲2 3不输的概率.1解(1) “甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立

11、事件，所以“甲获胜”的概率为1_ 1 = 13 6.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)=1+1= 2.6231 2方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)=1 -3=3故甲不输2的概率为2.3反思与感悟(1)只有当A、B互斥时，公式 P(AU B) = P(A) + P(B)才成立；只有当 A、B互为对立事件时，公式 P(A)= 1 P(B)才成立.(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立

12、事件，再用公式P(A) = 1 P(入)求解.跟踪训练3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件 B = “抽到二等品”，事件 C= “抽到三等品”.已知P(A) = 0.65, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 ()A. 0.20 B. 0.39 C. 0.35 D. 0.90答案 C解析：抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)= 0.65 ,抽到的不是一等品的概率是1 0.65 = 0.35.当堂训练1. 从1,2,，9中任取两数，其中： 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇 数和两个数都是奇数； 至少有一个

13、奇数和两个数都是偶数； 至少有一个奇数和至少有 个偶数.在上述各对事件中，是对立事件的是()A . B . C. D .答案 C解析 从1,2 ,，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只 有中的两个事件才是对立事件.2. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是 0.42 ,摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 ()A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7答案 C解析/摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是 1 0.42- 0.28=0.3，故选 C.3中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运

14、会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为3 为7,乙夺得冠军的概率为 丄，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.4答案1928解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进3 119行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为3+1=磐./4284如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环n、川构成，射手命中I、n、川的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 .答案 0.10解析"射手命中圆面I”为事件A,"命中圆环n”为事件B,&quo

15、t;命中圆环川”为事件C,“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为 P(A U BU C)= P(A)+ P(B)+ P(C) = 0.35+ 0.30 + 0.25 = 0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D) = 1 P(AU BU C)= 1 0.90 = 0.10.5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.求：(1)他乘火车或飞机去的概率； (2)他不乘轮船去的概率.解 设乘火车去开会为事件 A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件 C,乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥.(1) P(A+

16、 D) = P(A)+ P(D) = 0.3+ 0.4 = 0.7.(2) P= 1 P(B)= 1 0.2 = 0.8.-规律与方法1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生， 但是不可能两个事件同时发生， 也不可能两个事件都不发生. 所 以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.2互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A U B)= P(A) +

17、 P(B).3. 求复杂事件的概率通常有两种方法：(1) 将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2) 先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.40分钟课时作业其中 i = 0,1,2,3.那么 A= A1U A2U A3表示()B 至少击中1发一、选择题1打靶3次，事件Ai表示“击中i发”A.全部击中C.至少击中2发D .以上均不正确答案 B解析 A“U A2U A3所表示的含义是 A1, A2, A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发，2发或3发，故选B.2抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件 A为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B为“落地 时向上的点数是偶数”，事件 C为“落地时向

18、上的点数是 2的倍数”，事件 D为“落地时 向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是 ( )A . A 与 B B . B 与 C C . A 与 D D . B 与 D答案 C解析 A与D互斥，但不对立.故选C.3.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量不小于4.85 g的概 率是0.32，那么质量在4.8,4.85）内的概率是（）A. 0.62 B. 0.38 C. 0.70 D. 0.68答案 B解析利用对立事件的概率公式可得P= 1 （0.3+ 0.32） = 0.38.4. 袋内装有红球 3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则

19、互斥而不对立的两个事件 是（）A .至少有一个白球与都是白球B .至少有一个白球与至少有一个红球C .恰有一个红球与一个白球一个黑球D .至少有一个红球与红、黑球各一个答案 C解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可.5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）1A.835B.8 C.87D.7答案解析由题意知4位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为1 116 , 4位同学都选周日的概率为畚 故周六、周日都有同学参加公益活动的1概率 P = 1 116161681 = 14= 7，故选 D.

20、6某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（） 恰有一名男生和全是男生; 至少有一名男生和至少有一名女生; 至少有一名男生和全是男生； 至少有一名男生和全是女生.A . B . C . D .答案 D解析 是互斥事件.恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生； 不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件.至少有一名男生与全是女生不可能同时发生.、填空题7袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 5答案5611 5解析 由题意知摸出的2只球的

21、颜色相同的概率为 二，故所求概率P= 1 -=-.66 68.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全保质期内的概率为351435,则至少取到1瓶已过保质期的概率为答案28145解析 事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料 ”是对立事件，根据对立事件的概率公式得9.抛掷一枚骰子两次，若至少有一个2814551点或2点的概率为5则没有1点或2点的概率是解析 记事件A为"没有1点或2点”，B为"至少有一个1点或2点”，则A与B是互54斥事件，且 A与B是对立事件，故 P(A)= 1 P(B)= 1 5= &am

22、p;10给出四对事件：某人射击 1次，“射中7环”与“射中8环”；甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；甲、乙两人各射击 1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标” 其中是互斥事件的有 对.答案 2解析 某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生， 故是互 斥事件；甲、乙两人各射击 1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生，故 不 是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两 个事件不可能同时发生， 故是互斥事件；甲、乙两人各射击

23、1次，“至少有1人射中目标” 与“甲射中目标，但乙未射中目标 ”，前者包含后者，故 不是互斥事件综上可知， 是互斥事件，故共有 2对事件是互斥事件.三、解答题 11 根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示:LCUU10击中环啟(1)确定图中a的值;(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)解由题图可得 0.01 + a+ 0.19 + 0.29+ 0.45= 1,所以 a= 0.06.(2)设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击, 击中环数为 8,9,10.所以 P(A)= 0.29+ 0.45+ 0.01 = 0.75.12. 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中 710环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中：(1) 命中9环或10环的概率；(2) 至少命中8环的概率；命中不足8环的概率.解 记事件“射击一次，命中k环”为A«k N , kw 10),则事件Ak之间彼此互斥.(1)设“射击一次，命中9环或10