理数二轮复习学案：解答题应试技巧必备

1、应试技巧必备活用4招巧解“中高档”解答题髙考数学解答题的答题方式不同于选择题和填空题，解答题既要结果又要过 程，考生必须严格按照推理的方式按部就班地进行解答和表述.因此对于基础性 的解答题要做到'对而全”，防止被扣“步骤分”；对于中高档题目要学会“踩 点得分”，也就是我们常说的“缺步解答、跳步解答、逆向解答和退步解答” 妙招1缺步解答化繁为简，能解多少算多少如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们 分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少 就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明 显的题目，或者是已

2、经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分， 最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”.结合示例：本例第(1)问是椭圆离心率的求解问题，难度较小，而第(2)问有一 定难度，如果不能拿全分，可采用缺步解答，尽量多得分.首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，若需要设直线方程，应考虑 直线的斜率是否存在，因此当直线1的斜率不存在时，求出点Q的坐标为 (0, 2芈j,这是每位考生都应该能做到的.其次，联立直线方程与椭圆方程并设 出M N,。的坐标通过严需+爲得到刍=£+占+罂1 Q 然后由X1+X2及XX2联想一元二次方程根与系数的关系，将问题解决到壬=血_3 是完

3、全可以做到的，到此已经可以得到9分.另外，考虑到点Q在直线/上，将点 0坐标代入所设直线方程就能得到100，2)23W=18,到此便可以得到10分.到 此不能继续往下解时，我们也已经得到绝大部分分数了.同学们可以根据此法求解 下面的例题.典例1 (12分)已知椭圆C：%+恭=l(Qb>0)的两个焦点分别为Fi(-l,0), F2(l,0),且椭圆C经过点厝,寻.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 设过点4(0,2)的直线/与椭圆C交于M, N两点，点。是线段MN上的点,2 1 1MlAQ|2 = L4M|2 + l4N|2,求点。的轨迹方程规范解答(1)由椭圆定狡知，2a = PFii +

4、 PF2 = Aj(|+1+所以a=2又由已知，c=l,所以椭圆C的离心率_£122 由知，椭圆C的方程为y+r=l.设点Q的坐标为(心)力 当直线/与X轴垂直时，直线/与椭圆C交于(0,1), (0, 一1)两点，此时点Q的坐标为(0, 2书6分 当直线/与x轴不垂直时，设直线/的方程为y=kx+2.因为M, N在直线/上，可设点M, N的坐标分别为(Q, hi+2), (x2,2),则 L4MI2=(1+Zt)xt, L4M2 = (1+)A又 L4(2I2=x2+0'-2)2 = (1+2)x2.2 _ 1 1田AQ2AM-AN2i 付即#卄茹吐4*分将尸尬+2代入y+

5、/= 1中，得(2疋+1)/+8匕+6=0.由=(8灯2_4X(2Q+l)X6>0,得.z- _8£ 6 由可知，兀1十兀2 = 2疋+XlX2=2k2+9代入中并化简，得 v2=lofe-因为点Q在直线y=Ax+2上，所以比=口，代入中并化简,10分得 10(y-2)2-3x2=18 _33由及疋，可知0 v/v, 即用(一誓,o)u(o,豹 又(0, 2芈)满足 10(-2)2-3x2=18, 故半,f由题意，Qx, y)在椭圆C内，所以一 lWyWl,9 9 又由 10©2)2=18 + 3/ 有©2)2丘j所以点0的轨迹方程为10（¥-2）

6、23=18,12分其中列一爭，尊y胡,2一学妙招2跳步解答左右逢源，会做哪问做哪问对设有多问的数学问题，若前一问不会解，而后面的几问又是自己容易解的, 或是可用前一问的结论来求解的，此时应放弃前一问的求解，着重攻后面的几问, 并将前一问的结论作为后几问的条件使用，巧妙地配合题设条件或有关定理来解 答后面的问题.这种利用自己根本不懂或不会证明的问题作条件来解后几问的做 法，就是数学解题中的“跳步解答”，即：前问难做后问易，弃前攻后为上计.结合示例：本例第(1)问可利用函数的单调性及零点存在性定理较简单解决， 但第(2)问较麻烦，很多同学不会做或耽误较长时间，从而延误了第(3)问的解答. 事实上，

7、由题意可知，第(3)问的解答与第(2)问没有任何关系，但与第(1)问是相关 的，且非常容易解答，因此我们可跨过第(2)问，先解决第(3)问，从而增大了本题 的得分率，这是解决此类题的上策之举.同学们可利用此法求解此题.典例2(12分)设函数办(力=0+加+"“丘1<, b, cWR).(1) 设b=l, c= l,证明：力心)在区间£ 1)内存在唯一零点；(2) 15/7 = 2,若对任意劝,x2e-l,l,有如)一朋2)IW4,求b的取值范围;(3) 在(1)的条件下，设知是加(x)在百，1)内的零点，判断数列X2, X3,，劝 的增减性.规范解答证明:b=f c=

8、-l,心2 时，fn(x)=x,+x-.又当1)时，几(劝=必円+ 1>0,J；心)在G，1)上是单调递增的./心)在区间猪，1)内存在唯一睿点.(2)当 n=2 时,f2(x)=jr+bx+c.对任意M,恐W T, 1 都有临(卫)一应)1 W 4,等价于应(力在一1,1上的最大值与最小值之差MW4. 携此分类讨论如下：当亍>1,即1/?1>2时,M=!/i(l)-/i(-l)l=2lbl>4,与题设矛盾.当一 1W-号V0,即0VbW2时,MF1W4恒成立. 当 0即一2WbW0 吋,W4恒成立.综上可知，一2WbW2故b的取值范围为一2,2fnXn） = A?r

9、4" Xn 1=0,(3) 法:设Xn是办(X)在猪，厶+1仇+1)=或：1+ 勿+i 1=0,于是有 Jn（Xn） = 0 =后+1（A7i +1）=£： I + Xn+1 1 V 兄;+1 + Xh+ 1 11）又由（1）知&（X）在G，1）上是单调递增的，故 xnxn+i(n2)t所以数列也，X3, , A/J,是递增数列.12分法二：设心是加(X)在E，1)内的唯一零点，fn+)=(兄;J + 一 1)(1" ' +1 1)=x!n 1 +劝一 1 V 乂;+x“ 1 =0,则fn + (X)的零点Xn+1在(巫1)内,故心Xn+1(&qu

10、ot; 22),所以数列X2, X3, An,是递增数列.12分妙招3逆向解答逆水行舟，往往也能解决问题有些数学命题的求解，开始入手还较为顺畅，但一到最后就难以继续进行了. 此时若知悉它的大致趋势和结果，可以从所求结论的形式、特点，进行反推、凑 形，直到得出大致与所要达到的目标相当、相同或相似的式子，再来巧妙地进行 沟通也是可行的.对于这一步虽然是自己做不到的，但这样写了几下，却可能全都 是对的也就是说，对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探 求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有困难就逆推，直接证有困 难就反证.即：解题结论路难行，倒推凑形亦为径.1 2结合示例：解

11、答本例第(3)问利用了逆向解答，把不等式lnx占一土巧妙地转r 2化为xnx>不等式左边是爪)，右边看作一个新的函数心)，只需说明/min> /(A)max即可.同学们不妨釆用此招求解该题.典例 3(12 分)已知 f(x)=xn x, g(x)=-x1-ax3.求函数/U)的最小值；(2)对一切xe(O, +oo),欲r)$g(x)恒成立，求实数"的取值范圉；1 2(3)证明：对一切xe(o, +8),都有1“>工-忑成立.规范解答(iyv)= ln卄1，当 xeo, £时，/(x)<0, /(X)单调递减；当皿华，+°°)时，

12、/3>0,/单调递増： 所以/(X)的最小值为yQ)=3(2)Mnxx2+ax39 则 aW21nx+x+二，3设 /z(x) = 21nx+x+-(x>0), I“ z (x+3)(x1)、则”(x)=分,4分 当牙丘(0,1)时，3V0, /心)单调递减； 当xe(l, +8)时，/f(x)>0, /7(X)单调递增，5分所以 /j(x)min = /l(l) = 4.因为对一切xG(O, +°°),欲x)$g(x)恒成立，所以dW/?(x)min=4,即a的取值范围为(一8, 4.7分T 2(3)证明：问题等价于证明xnx>一-(%e(0, +

13、8)8分e e由(1)可知/(x)=xlnx(xW(O, +°°)的最小值是一丄，当且仅当时取得.9分ey 91 x设心）=-（xe（o, + 8）,则 mx）=易知心）max = W（1）=7.且两函数不会同时取得一丄T 2、所以有xlnxJ11分1 ?从而对一切xG(O, 4-oo),都有山/一亍成立.12分e CA-妙招4退步解答以退为进，列出相关内容也能得分“以退求进”是一个重要的解题策略.对于一个较一般的问题，如果你一时不 能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂 退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论

14、. 总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维, 达到对"一般”的解决.结合示例：求解本例第(2)问时，若不能正确判断其结论，也应说明直线是 否存在，同时应对直线垂直于x轴这一特殊情况给予说明，这就是所说的从一 般到特殊，逐步解答.同学们不妨依据此招求解本题.典例4 (12分)如图，O为坐标原点,双曲线Ci：奇一話=1(如0,加0) 和椭圆C2：缶+器=1("2加0)均过点彳羊，1),且以Cl的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求Cl, C2的方程;(2)是否存在直线I,使得/与Ci交于A, 3两点，与C2只有一个公共

15、点，且I西+前1 = 1恥I,证明你的结论.规范解答(1)设C2的焦距为2c2,由题意知，2° = 2凶1=2. 从而 6/1 = 1, C2=l因为点所以,1在双曲线X2一話=1上,右=1, 故 员=3.由椭圆的定义知26/2 =+ (1 + 1)2 = 2 羽+(1-1)2+于是 6/2 =V5, bl=alci=2.故Cl, C2的方程分别为2=1,(2)不存在符合题设条件的直线.5分若直线/垂直于X轴，因为/与C2只有一个公共点，所以直线/的方程为X =迈或 x=2.当 x=y2时，易知 A(&,萌)，B(g -a/3),所以I阪+旋1 = 2迈，I乔1 = 2羽.此时,OA + OBAB.当 x=-yj2时，同理可知，IOA + OBAB.y=kj：+m9由SI若直线/不垂直于x轴，设/的方程为y=kx+m.得(3Zr)22kmxnr 3 = 0.当/与Ci相交于人3两点时，设A(xh yi), B(x29 y2).则也是上述方程的两个实根，从而Xl+X2 =2km3心F + 3 皿=疋二？3k23nrlr-3于是 yiyi=k2xxi+k