6利用相似三角形测高1

1、第8页共4页4.6利用相似三角形测高1通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）2灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）一、情景导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗?二、合作探究探究点一：利用阳光下的影子测量高度【类型一】 影子在同一平面上时高度的测量如图所示，身高为 1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处， 已测得该同学在地面上的影长为 2m,旗杆在地面上的影长为 8m

2、, 那么旗杆的高度是多少呢？解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直， 因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.解：如图，用DC表示人的身高，EC表示人的影长，AB表示旗杆的高度，BC表示旗 杆的影长.由题意知 DC = 1.6m, EC= 2m , BC= 8m.太阳光 AC / DE ,/ E = Z ACB.又/ B = Z DCE = 90° ABCDCE.AB _ BC 即 AB _ 8DC CE，' 1.6 2解得 AB = 6.4 (m).故旗杆的高度是6.4m.方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它

3、们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同【类型二】 影子不在同一平面上时高度的测量77tG图EJ如图，在离某建筑物 CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地 面放置，影子 GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子 CD高为2m，那么这棵树的高是多少?解：方法一：延长 AD，与地面交于点 M，如图.根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比,所以BMB = CD =雷.因为 CD = 2m, FG = 1.2m , GH = 2m , BC = 4m,所以 CM = 10m,22所以 BM = BC + CM = (m)3所以AB

4、 _22 =122，AB= 4.4 ( m)故这棵树的高是4.4m.方法二：过点 D作AB的垂线，交AB于点M，如图.由题意可知 竽=至，而 DM = BC = 4m , AM = AB CD =( AB 2) m, FG = 1.2m , DM GHGH = 2m,所以AB42 =乎，解得 AB = 4.4 (m)故这棵树的高是4.4m.方法三：过点C作AD的平行线交AB于点P,如图.BP fG由题意可知=,而 BP= AB CD = (AB 2) m, BC= 4m, FG = 1.2m, GH = 2m,BC GH所以ABF =罗，解得AB = 4.4 (m).故这棵树的高是4.4m.方

5、法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质， 但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法 一简单.探究点二：利用标杆测量高度如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树 24m处立了一根高为 2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端 和树的顶端在同一条直线上 已知小明的眼高1.6m，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN / BD交CD于N,交EF 于 M，则可得 AEMACN.解：过点A作AN / BD交CD于N，交EF于M,因为人、标杆、树都垂直

6、于地面,所以/ ABF = Z EFD =Z CDF = 90°,所以 AB / EF / CD，所以/ EMA = Z CNA.因为/ EAM = Z CAN ,所以 AEMACN，所以 CN = AN.因为 AB = 1.6m, EF = 2m , BD = 27m , FD = 24m ,2 1 627 24所以 2_ClM= 2724，所以 CN = 3.6 ( m),所以 CD = 3.6+ 1.6= 5.2 (m).故树的高度为5.2m.方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.探究点三：利用镜子的反射测量高度为了测量一棵

7、大树的高度，某同学利用手边的工具(镜子、皮尺)设计了如下测量方案：如图，在距离树 AB底部15m的E处放下镜子；该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m;观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗?解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面(镜面)，然后利用相似三角形的知识求解解：如图，/ 1 = Z 2,/ DCE = Z BAE= 90° DCE BAE.DC CE1.5 1.2二=，即=,BA AE'BA 15'解得 BA = 18.75 ( m).因此，树高约为18.75m.方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高三、板书设计利用阳光下的影子测量高度利用相似三角形测高利用标杆测量高度利