9知识讲解_匀变速直线运动的速度与位移的关系基础

1、匀变速直线运动的速度与位移的关系【学习目标】1、会推导公式V v02 ax222、掌握公式vt Vo 2 ax，并能灵活应用【要点梳理】要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系根据匀变速运动的基本公式Vt Vo at，1 2x Vot at ，22 2消去时间t,得Vt Vo 2ax 即为匀变速直线运动的速度一位移关系.要点诠释： 式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便，应优先采用. 公式中四个矢量 Vt、Vo、a、x也要规定统一的正方向. 要点二、匀变速直线运动的四个基本公式(1) 速度随时间变化规律：Vt V

2、o at .1 2(2) 位移随时间变化规律：x Votat .22 2(3) 速度与位移的关系：Vt Vo 2 ax . 平均速度公式：V xo Vt , x Vo Vlt .2 2要点诠释：运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选取正方向公式(1)中不涉及x，公式(2)中不涉及Vt，公式(3)中不涉及t，公式(4)中不涉及a,抓住各公式特点，灵活选取公式求解共涉及 五个量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量.要点三、匀变速直线运动的三个推论要点诠释：(1)在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即x = aT2(又称匀变速直线运动的判别式)推证：设物体以初速

3、 vo、加速度a做匀加速直线运动，自计时起时间 T内的位移1 2x-i voTaT .2在第2个时间T内的位移1 2X2 Vo g2T 評2丁)旨32VoTaT .2即厶x= aT2.进一步推证可得xn 1XnXn 2XnT2xn 3 xn3T2 a再T2 X2-X1 = X3-X2=二Xn-Xn-1，据此可补上纸带上缺少的长度数据.(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度即Vt2-VoVtV2推证:由 vt = vo+at,知经-时间的瞬时速度2Vt2Vota g .y2由得atVt Vo，代入中，得Vt/21(Vt Vo)即Vt2VoVt2(3)某段位移内中间位置的瞬时速

4、度Vx与这段位移的初、末速度 V0与Vt的关系为2Vx22(応 Vt2).推证：由速度位移公式2Vt2ax，知 Vx2 V； 2a g-.2 2将代入可得Vx2 v222VtVx22 (Vo Vt2).要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式要点诠释：初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律 对我们解决很多运动学问题很有帮助.设以t= o开始计时，以T为时间单位，则(1) 1T 末、2T 末、3T 末、可由Vt= at,直接导出(2) 第一个T内，1： 3： 5:：(2n-1).瞬时速度之比为V1 ： V2： V3： = 1： 2： 3：.

5、第二个T内，第三个 T内，第 n个T内的位移之比为：X1：X2：X3：X n =推证：由位移公式2 1 22at 得 *1aT，X2X31 2 a(2T)21-a(3T)2-aT223aT222a(2T)22325aT2 .2可见，X1 : X2 : X3 :Xn = 1 : 3 : 5 :：(2n-1).即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比.2 2 2(3) 1T内、2T内、3T内、位移之比为：x1 : X2 : X3 : 1 : 2 : 3 :，1 2可由公式x at直接导出.2(4)通过连续相同的位移所用时间之比t1 ： t2： t3： ggg：tn 1

6、:(.2 1): C，3,2): ggg: n .n 1).推证：由x 1at2知t12同理：t3则t1： t2： t3：: tn 1:( ,2 1): C，3- .2): : (、nn 1).X1、X2、 X3要点五、纸带问题的分析方法(1) “位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为若X2- X1 = X3-X2 = = Xn Xn 1 = 0,则物体做匀速直线运动.若 X2- X1 = X3-X2 = =Xn Xn 1 = X丰0,则物体做匀变速直线运动.(2) “逐差法”求加速度，根据X4-X1= X5-X2 = X6-X3= 3aT2( T为相邻两计数点的时间间

7、隔，有X4 X-Ia1 , a23T然后取平均值，即X5X23Ta3X6X33T(X6X5X4) (X3X2X1)9T这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性.要点诠释：如果不用“逐差法”求，而用相邻的X值之差计算加速度，再求平均值可得:1 x2 Xi5 T2X3X2X5X4X6 XX6Xi5T比较可知，逐差法将纸带上Xi到X6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了X1和X6两个实验数据，实验结果只受 X1和X6两个数据影响，算出 a的偶然误差较大.其实从上式可以看出， 逐差法求平均加速度的实质是用 (X6+X5+X4)这一大段位移减去(X3+X2+X1)这一 大段位移，那么在处理纸带时，可

8、以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T)2而不是 3T2.(3) 瞬间速度的求法在匀变速直线运动中，物体在某段时间t内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻-时的瞬时速度2相同，即vt v .所以，第2(4) “图象法”求加速度，加速度.n个计数点的瞬时速度为： vn即由vnXn Xn 12T亍，求出多个点的速度，画出v-t图象，直线的斜率即为【典型例题】2 2类型一、公式vt v° 2aX的应用例1、(2015临沂市期末考)我国已经成为世界上高铁系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最快、在建规模最大的国家；人们也越来越关注高铁的安全工作；假设某次列车

9、以324km/h的速度匀速行驶，然后在离车站9km处开始制动刹车，列车匀减速到站并刚好安全停车.求：(1) 该列车进站时的加速度；(2) 列车减速运动的时间.【答案】见解析【解析】 (1) 324km/h=90m/s ,根据匀变速直线运动的速度位移公式得，匀减速运动的加速度220.45m/s .0 v00 8100 , 2am /s2x 2 9000(2)列车减速运动的时间 t90s0.45200 s2 2使用vt v。2ax可大大简化解题过程.【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解, 举一反三【变式1】(2015济南市期末考)一辆汽车行驶在水平公路上，为避免发生交通事故，突

10、然紧急刹车，车轮停止转动，最终停下来，在公路上留下一段长度为 10m的直线刹车痕迹，路边限速显示牌显示该路段的 最高行驶速度为40km/h，若将汽车刹车的运动看做是匀减速直线运动，其加速度大小是5m/s2.(1) 请通过计算判断该车是否超速？(2) 求该车从开始刹车到停下来所需的时间？【答案】见解析【解析】（1）根据匀变速直线运动的速度位移公式得，v0 . 2as2一5一10m/ s 36km/ h 40km/ h该车不超速.（2）该车速度减为零的时间 t Vo °s 2sa 5【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系第5页】【变式2】某飞机着陆时的速度是 216km/h，随后匀

11、减速滑行，加速度的大小是2m/s 2 再由捲 VAt -at，解得Va 1m/s. 【总结升华】（1）运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律, 提高灵活运用知识的能力从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力.（2）对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优 先考虑用判别式厶x= aT2求解，这种解法往往更简捷.举一反三【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系第13页】【变式1】例题、跳伞运动员做低空跳伞表演，他从224m的高空离开飞机开始下落，最初未打开降落伞,。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？【答案

12、】900m 类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m,每一个时间间隔为 4s,求质点的初速度和加速度.【答案】a= 2. 5m/s2, va = 1 m/s【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同.解法一：（基本公式法）画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式:1 2X1VAtat .2X2 VA（2t）1 2 畀）2VAt.将 xi= 24m、解法二：（用平均速度公式）连续的两段时间t内的平均速度分别为:m/s 6m /s

13、, V24X2t64m/s4B点是AC段的中间时刻，贝U V1 Va Vb , V2216m /s.Vb Vc26 16 , m/s11m /s .得va= 1 m/s,vc=21 m/s,VcVa211 2 2am/s 2.5m/ s2t242解法三：（用厶x= aT2法）X2= 64m、t= 4s 代入上式解得： a= 2. 5m/s2, va = 1 m/s.由厶x= aT2，得a2.5m/ s2.x 402p p m /s T242自由下落一段距离打开降落伞 ，运动员以12.5m/s2的加速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员 落地的速度不得超过 5m/s (g=10m/s2).

14、求：运动员打开降落伞时，离地面的高度至少为多少？【答案】99m【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系第15页】且VQV2)做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞,s处有另一火车沿同方向以速度V2 (相对a应满足什么条件？【变式2】火车以速度V1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 于地面，【答案】a > (V1 V2)22s类型三、例3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第 运动后7s内的位移；(3)第5s内的位移.【答案】(1) 4.8m/s (2) 29.4m (3)5.4m【解析】物体的初速度 Vo= 0,且加速度恒定，可用推论求解.初速度为零的匀加速直线运

15、动的几个比例式的应用5s末的速度是6 m/s，试求:(1)第4s末的速度；(2)(1)因为vo= 0，所以vtat，即 vt * t ,故 V4： V5 = 4: 5 .第4s末的速度V44V5546m / s 4.8m / s .5(2)因为 vo= 0, V5= 6m/s,则加速度a字/s2t 51.2m /s2 ,1 2所以7s内的位移X7at721 .2 at 421 1.2 72m 29.4m .21 2(3)由 xat521 -1.225.4m .第5秒内的位移是5. 4m.举一反三【变式1】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初X2，已知X2- x1 = 6m； X1：

16、X2= 3: 7，求斜面的总长.【答案】12.5m【解析】由题意知，25m1.2 16m3 s内的位移为X1，最后3s内的位移为物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.由题意知X23,X2-X1= 6m，解得 X1= 4. 5m, X2= 10.5m .7由于连续相等时间内位移的比为1:3: 5:(2n-1),5故 xn= (2n- 1)X1，可知 10.5 = 4.5(2n-1)，解得 n -.3又因为x总 n2x1，所以斜面总长:4.5m12.5m.【总结升华】切忌认为物体沿斜面运动了6s,本题中前3s的后一段时间与后 3 s的前一段时间是重合的.类型四、纸带问题的处理例

17、4、在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50 Hz.如图所示为小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点之间都有四个点未画出.按 时间顺序取0、1、2、3、4、5六个点，用刻度尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离如图所示.M5816.0K 21J7 26.16 2H.94 mi44 « « 012 145（1）小车做什么运动？21.502m /s（2）若小车做匀变速直线运动，那么当打第3个计数点时小车的速度为多少？小车的加速度为多少？【答案】（1）小车做匀减速直线运动（2） 50.4cm/s【解析】(1)T = 0

18、. 02s，相邻计数点的时间间隔 t = 5T = 0. 1s，设相邻计数点间的位移分别为X1、X2、X3、X4、X5,可得：X1 = 8.78cm , X2 = 7.30cm, X3= 5.79cm, X4= 4. 29cm , X5 = 2.78cm , X2-X1 = -1. 48 cm , X3-X2 =-1.51cm, X4- X3= - 1.50cm , X5- X4= - 1.51cm,在误差允许范围内， X2- X1= X3-X2 = X4-X3 = X5-X4，所以小 车做匀减速直线运动.(2) V3j 5.79 叫怡 50.4cm/s. 2T2 0.1加速度aXs x4 x2(2.784.29 7.30 8.78) 106T6 0.11 222-m/s 21.502m /s ,负号表示加速度方向与初速度方向相反.【总结升华】用逐差法求加速度，碰到奇数个位移， 位移而求解.举一反三【变式】某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，理想的纸带，并在纸带上每 5个点取一个计数点，即相邻两计数点问的时间间隔为计数点都记为0、1、2、3、4、5、，如图所示甲、乙、丙三段纸带，分别是从三条不同纸带上撕下的.如本题中只有得到了在不同拉力下的A ?/J9L4J cm *|甲742X1至