63知识讲解_导数的几何意义_提高

1、导数的几何意义【学习目标】1 理解导数的几何意义。2.理解导数的全面涵义。3 掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。4.会求过点(或在点处)的切线方程。【要点梳理】(根据课标要求进行适当的深化与拓展。)要点一、导数几何意义1.平均变化率的几何意义一一曲线的割线函数y f(x)的平均变化率 一y 丄凹一丄切 的几何意义是表示连接函数y f(x)图像上两点割xx2 X|线的斜率。如图所示，函数f(x)的平均变化率x匚"一f(xi)的几何意义是：直线 AB的斜率。 x2 捲事实上，kAB 3bf(x2)f(xJ A。xA xBx2 为x换一种表述：曲线上一点p(x°, yo)及其附

2、近一点Q(x°x, yoy),经过点P、Q作曲线的割线PQ ,则有 kpQ (y0y) y0 亠。(Xox) Xo x要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。2.导数的几何意义一一曲线的切线如图1,当巳(Xn，f(Xn)( n 1,2,3, 4)沿着曲线f(x)趋近于点P(Xo,f(X。)时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点P即厶XT 0时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.定义：如右图，当点 Q(XoX,yoy)沿曲线无限接近于点 P(x°,y°),即X 0时，割线PQ

3、的极限位置直线 PT叫做曲线在点P处的切线。也就是：当 X 0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。即：k lim ylimx 0 xx 0MX。X)f(X)心)。要点诠释：(1)曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。(2 )切线斜率的本质函数在 x x0处的导数。(3 )曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。若曲线y f(X)在点P(Xo, f(Xo)处的导数不存在，但有切线，则切线与f'(x0) 0,切线与X轴正向夹角为锐角，f (X)瞬时递增；f'(Xo) 0 ,f (X)瞬时递减；f'(Xo) 0,切线与X轴零度角，瞬时无增减。XX轴垂直。切线与X轴

4、正向夹角为钝角,(4)曲线的切线可能和曲线有多个公共点；为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？”一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.记作:f (X)或 y，过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义 C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线12显然与曲线C有唯一公共点M,但我们不能说直线12与曲线C 相切；而直线li尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1 1是曲线C在点N处的切线。要点二、曲

5、线的切线(1 )用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤:求出切点 (Xo, f(Xo)的坐标； 求出函数y f (x)在点X)处的导数f (xo) 得切线方程y f (xo)f (x)(x Xo)(2)在点(x°,f(xo)处的切线与过点(xo, yo)的切线的区别。xo, yo)的切线，则强调切线在点(xo, f(xo)处的切线是说明点(xo, f (xo)为此切线的切点；而过点(xo，yo)的切线方程时，先应判断点是过点(xo, yo)，此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点(Xo, yo)是否为曲线f(X)上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点(X

6、i, f(Xi)，求过此切点的切线方程yy_!f'(XJ(XX1)，再将点(Xo，yo)代入，求得切点(捲，f(xj)的坐标，进而求过点(Xo，yo)的切线方程。要点三、导数的概念导函数定义：由函数f(X)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当时，f (Xo)是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的亦f (x x) f (x)即：f (x) y limx ox要点诠释：函数f(x)在点Xo处的导数f (Xo)、导函数f (x)之间的区别与联系。(1)函数在一点处的导数 f (xo)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2)函数的导数，是指某一区

7、间内任一点x而言的，也就是函数 f(x)的导函数。Xo处的函数值。导函数也简称导数，所以/I力在一点比处的导数导函数(3)函数f(x)在点X。处的导数f'(Xo)就是导函数f(X)在X所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。导函数求法：由导数的定义可知，求函数 y f(x)的导数的一般方法是:(1)求函数的改变量yf(xx)f(x) o(2)求平均变化率-yf(xx)f(x)oxx(3)取极限，得导数/y 二limx oyox要点四、导数的定义的几种形式：割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：f (x x) f

8、 (x) 一f (x) f (x x)f (x x) f (x)、y' lim;(或：y' lim； y' lim;)x 0xx 0xx 0xy' f'(xo) lim f(x) f(xo)。X Xox x0要点诠释：只要是 x0时，极限式所表示的是割线的斜率(或其若干倍)，就能表示为导数式。【典型例题】类型一、求曲线的切线方程【高清课堂：导数的几何意义 385147例1】 例1 曲线的方程为 y x2 1，那么求此曲线在点 P (1, 2)处的切线的斜率，以及切线的方程【解析】利用导数的几何意义，曲线在点P (1 , 2)处的切线的斜率等于函数 y x

9、2 1在x 1处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程由y x2 1得y (X2 1) 2x，所以曲线在点 P处的切线斜率为k y |x 1 2 ,过点P的切线方程为y 22(x 1)，即y 2x.【总结升华】求曲线上一点处切线的步骤： 求函数y=f(x)在点x xo处的导数，即曲线 y=f(x)在P(x。，f (xo)处切线的斜率。 由点斜式写出直线方程：y yo f (xo)(x xo)；如果y=f(x)在P(x。，f(x。)的切线平行于y轴(此x xo .时导数不存在)时，由切线定义知：切线方程为：举一反三:【变式】已知：曲线y x2 - 5上一点P(2,19)，求：点P处的切线方

10、程。x2【答案】对于函数y2 1 XX5 ,、212 12Xy(XX)X2xXXXXX(Xx)xy1y1 12xX，yIim -Iim (2xx) 2x 2 ，X(Xx)xx 0Xx 0'(xx)xXk y x 2则点P处的切线的斜率:切线方程：15x 4y 80。153例2.已知函数f (x) = x - 3x及y = f (x)上一点F(1 , - 2)，过点P作直线I.(1)求使直线I和y= f(x)相切且以F为切点的直线方程; 求使直线I和y= f (x)相切且切点异于点 F的直线方程y = g(x).【解析】 y = lim (xx)3 3(x x) 3x3 3xx 0(x

11、x)x则过点F且以F(1 , - 2)为切点的直线的斜率ki = f ' (1) = 0,所求直线方程为y = 2.(2)设切点坐标为(xo, x0 3xo),则直线I的斜率k2= f '( xo) = 3 x0 3,直线 I 的方程为 y ( x0 3x0) = (3x0 3)( x xo) 又直线I过点F(1 , 2),32 2 ( x0 3X0) = (3 X。 3)(1 X。),32- x° 3x0 + 2 = (3 x° 3)( X0 1),1解得X0= 1(舍去)或X0=.2故所求直线斜率k = 3X02 3 = 9 ,4991于是：y ( 2)

12、=工(x 1)，即 y =工 x +.444【总结升华】求曲线的切线时，要注意区分不同的说法：通常情况下，求曲线在某点处的切线时，该点即为切点；求曲线经过某点的切线时，该点不一定是切点。 同时本题也说明了曲线的切线与曲线可能有超过一个以上的公共点举一反三：【高清课堂：导数的几何意义 385147例2】【变式1】 求曲线y x3经过点P(1,1)的切线方程y 3x 2 ；【解析】本题要分点P(1,1)是切点和P(1,1)不是切点两类进行求解若点P(1,1)是切点，由y x3得y3x2则k 3，于是切线方程为y 1 3(x 1)，即若点P(1,1)不是切点，设切点为(x0,X03):则切线率k y

13、' 3x°2，所以3x02解之得X。2，所以k晋，所以切线方程是 y3(x 1)，即43y 4x【变式2】已知曲线y 1。x(1)求曲线过点A( 1，0)的切线方程;(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程。3【答案】(1)设过点A(1，0)的切线的切点坐标为1a, ，因为lim af (ax 0x) f (a)A，所以该a1切线的斜率为2,切线方程为ya-2(x a aa)将A( 1，0 )代入式，得a1-。所以所求的切线方程为2y=4x+4。(2)设切点坐标为P x0,丄Xo，由(1)知，切线的斜率为k 2，则X。12 X。么切点为p'.3,仝或 P' .3,

14、3所以所求的切线方程为1y 3x二或 ylx 2J。333【变式3】已知直线li为曲线y= x2+ x 2在点(1,0)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且l1 丄 12.求直线12的方程;求由直线11、12和x轴所围成的三角形的面积.【答案】2 2 lim (1 x) (1 x) 2(112)3(1) y'lx=1lim3x 0x即 y= 3x 3.2B(b, b + b 2),所以|1的方程为：y = 3( x 1), 设12过曲线y = x2 + x 2上的点y 'I“ |im (bx)2(bx 0X)2(b2 b 2)2b+1,x所以12的方程为:y (b2+ b 2

15、) = (2b+ 1).( x b)，即 y= (2 b+ 1)x b2 2.因为11丄I 2,所以3X (2b+ 1) = 1,所以2b=-，所以|2的方程为:31 22y 3x 63x 322得1652即I 1与I 2的交点坐标为(6,i)又I 1, 12与x轴交点坐标分别为(1,0)22亍0|)1所以所求三角形面积 S丄2类型二、利用定义求导函数22312512例 3.已知 f (x)、x 2 ,求 f '(x) , f '(2)2，所以【解析】因为(x x 2) (x 2) x(、x x 2. x 2)当 A xt 0 时，f '(x)，当 x=2 时，f &#

16、39;(2)2、x 2【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导。举一反三:【变式1】求函数y1x 在(0,【答案】yXX . X X , X X v X x)XXXXX(：X、Xx)(、X.X x)X XX-X ( . X1；X x)）内的导函数。X）Xv X X XX X X X，Xm<X【变式2】求函数y4在x=2处的导数。X解析解法一:（导数定义法）4(x 2)242212)X)24(x 2)242 oX 2)limx 0 Xlimx 0( x 2)2解法二：（导函数的函数值法）4(x x)2x(2x x2(xX) x)24(2 xx2(xX)X)2 y'

17、lXm04(2 x x)x2 (x x)_8o3X- f'(2) y'|X2类型三、导数的几种形式x例4.若f'(x0) 2，则迥=戶【解析根据导数定义：fg lim fx0 ( k) fg (这时 =_k), 、"k 0L所以严叫Hkx0x0xo- - fmoHk1 - 2/V f【总结升华(1)有一种错误的解法:根据导数的定义:f '(冷)lirfk)kf(xO(这时 x=k),moHkx0ff叫Hk1 - 2(2 )在导数的定义中，增量 x的形式是多种多样的，但不论厶 x选择哪种形式， y也必须选择与之 相对应的形式。利用函数f(x)在x=xo处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式。概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延， 才能灵活地应用概念进行解题。举一反三:【变式1】函数f (x)满足f'(1)2，则当x无限趋近于0时,f(1)(1) f(1 x)2x)f(12x)f(1)【答案】(1)(2)xlim f(1 x) f(1)x 0 2xlim f(1 2x)f(1)x 0hm f(1 x) f(1)丄 f'(1) 12x 0x22lim