2022年2022年高中数学解三角形知识点与历年各地高考真题汇总

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点无数（忧复解习三学二角）形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一. 正弦定理：学习必备精品学问点解三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即asin ab sin bc sin c2 r （其中 r 为三角形外接圆的半径）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 变形： 1）abcabc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinsinsin csinsinsin c精品学

2、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）化边为角：a : b : csina : sinb : sin c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a sin a ;bsin ba;sin a;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b sin bc sin ccsin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 ）化边为角： a2r sin a、b2 r sin b 、c2r sin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

3、载4 ）化角为边：sin aa ;sin bb ; sin aa ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin bbsin ccsin cc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5 ）化角为边：sin aa 、sin b 2 rb 、sin cc2r2 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 利用正弦定理可以解决以下两类三角形的问题：已知两个角及任意边,求其他两边和另一角；例：已知角 b、c、a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法：由a+b+c=18o0,求角 a、 由正弦定理 asin a ;bsin b ;asina ; 求出 b精品学习资

4、料精选学习资料 - - - 欢迎下载bsin b与 cc sin ccsin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o已知两边和其中边的对角,求其他两个角及另一边；例：已知边 a、b、a、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载asin解法：由正弦定理a 求出 c 边a sin ab sin b求出角b、 由 a+b+c=180求出角c,再使用正弦定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c sin c4. abc中,已知锐角 a,边 b,就 ab sin a 时, b 无解；b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab sin a 或 ab 时, b 有一个

5、解；b sin a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 b sin aa b 时, b 有两个解；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如：已知 a60、 a2、 b23 、 求 b 有一个解 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 a60、 b2、a23 、 求 b 有两个解 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：由正弦定理求角时,留意解的个数；二. 三角形面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. sabc1 ab sin c 21 bc s

6、in a 21 ac sin b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. sabc1 ab 2cr学习必备精品学问点、 其中 r 为三角形内切圆半径 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. sabcp pa pb pc 、其中 p1 a2b c 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. sabcabc 4 r、r 为外接圆半径精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. s abc2 r 2 sina sinb sinc 、r 为外接圆半径精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边

7、平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2c22bc cos a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b2a 2c22ac cos b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c2a 2b 22 ab cosc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 变形：cos ab 2c 2a 22bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

8、- 欢迎下载cos b222acb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos ca 2b 2c 22ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意整体代入,如：a 2c2b2ac1cos b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3利用余弦定理判定三角形外形：设 a . b . c 为c 的角.c 的对边,就：如,所以为锐角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 c2b 2a 2a为直角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如, 所以为钝角, 就为钝角三

9、角形3 利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题： 1）已知三边,求三个角 2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角四.应用题1. 已知两角和一边（如a.b.c）,由 a+b+c=求 c,由正弦定理求a.b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点2. 已知两边和夹角（如a.b.c）,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用a+b+c =,求另一角3. 已知两边和其中一边的对角（如a.b.a）,应用正弦定理求b,由 a+b+c= 求 c,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形4. 已知三边 a.b.c,应用余弦定理求a.b,再

10、由 a+b+c =,求角 c5. 方向角一般为指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角） ,通常表达成 . 正北或正南,北偏东××度,北偏西××度,南偏东××度,南偏西××度.6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中、 视线在水平线上方的角叫仰角 、 视线在水平线下方的角叫俯角.视线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载五.三角形中常见的结论铅仰角直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）三角形三角关系： a+b+c=18线°02

11、）三角形三边关系：； c=180° a+b ；俯角水平线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两边之和大于第三边：,；两边之差小于第三边：,；视线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3）在同一个三角形中大边对大角：ab4) 三角形内的诱导公式：absin asin b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin absin c 、cos ab cos c 、tan abtanc 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tan ab2tanc 22csin 22

12、 cccos 2 c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos22sin 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5) 两角和与差的正弦.余弦.正切公式(1) sin± sincos±cossin.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点(2) cos±cos cos .sin sin .(3) tan ± tan ±tan 1.tan tan.6) 二倍角的正弦.余弦.正切公式(1) sin 22sincos.(2) cos 2cos2 sin 2 2cos2 11 2sin 2 .精品学习资料精选学

13、习资料 - - - 欢迎下载2(3) sin1cos 2 22; cos1cos 2 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2tan(4) tan 21tan 2 .7) 三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形高考真题及答案解析精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. （15 北京理科）在【答案】 1【解析】abc 中, a4 , b5 , c6,就 sin 2asin c精品学习资料精选学习资料 - -

14、 - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析：sin2a2 sina cos a2ab 2c 2a2242536161精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sincsincc2bc6256精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：正弦定理.余弦定理2. （15 北京文科）在c 中, a3 , b6 ,2,就3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】4【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析：由正弦定理,得ab36,即,所以sin b2,所以b.精品学习资

15、料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin asin b3sin b242精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：正弦定理.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3（.15 年广东理科） 设abc 的内角 a ,b ,c 的对边分别为a ,b ,c ,如 a3 , sinb,c,26精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 b【答案】 1【考点定位】此题考查正弦定懂得三角形,属于简单题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4（.15 年广东文科） 设c 的内角,c 的对边分别为a ,b ,c 如 a2 ,c23 ,cos3 ,2精品学习资料精选学习资料 -

16、 - - 欢迎下载且 bc ,就 b（）a3b 2c 22d 3【答案】 b【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析：由余弦定理得：abc2bc cos,所以 2b232b23,即2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b26b80 ,解得： b2 或 b4 ,由于 bc ,所以 b2 ,应选 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：余弦定理5.15 年安徽理科 在abc 中, a、 ab46、 ac

17、3 2 、点 d 在 bc 边上, adbd ,求 ad 的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. （15 年安徽文科）在abc 中, ab6 ,a75 ,b45 ,就 ac；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】试题分析：由正弦定理可知：sin 180ab 7545 acsin 456sin 60acsin 45ac2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：正弦定理.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7. （15 年

18、福建理科）如锐角abc 的面积为 103,且 ab5、 ac8,就 bc等于 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 7【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析： 由已知得abc 的面积为1abac sin a220sina103 ,所以 sina3 , a 20、 ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 a由余弦定理得3bc 2ab2ac 22abac cos a49 , bc7 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点： 1.三角形面积公式；2.余弦定理精品学习资料精选学习资料 -

19、 - - 欢迎下载8. （15 年福建文科）如abc 中, ac3 , a450 , c750 ,就 bc 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】试题分析：由题意得b1800ac600 由正弦定理得acbc,就 bcac sin a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin bsin asin b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 bc3222 32精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：正弦定理10. （ 15 年新课

20、标2 理科） . abc中, d 为 bc上的点, ad 平分 bac, . abd 为. adc面积的 2 倍；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 求sinb;sinc2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如 ad =1, dc =求 bd 和 ac 的长 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点11.（ 15 年新课标2 文科） abc中 d 为 bc 上的点 、ad 平分bac、bd=2dc.（ i）求 sinb；sinc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ ii）如bac60o 、求b .精品学习资料精选学习资料 - -

21、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】（ i） 12； 30o .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：解三角形12.15 年陕西理科 c 的内角, c 所对的边分别为a , b , c 向量rrma、3b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与 ncos、sin平行（ i）求；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ ii）如 a7 , b2 求c 的面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】（ i ）；（ ii ） 33 32

22、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rr由于 m/n ,所以a sin b -3b cos a = 0 ,试题解析：（ i ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由正弦定理,得sinasinb -3 sinbcos a = 0又 sin0 ,从而 tan a =3 ,由于 0a,所以 a3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ii解法一：由余弦定理,得a2 = b 2+c2 -2bc cos a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 a =7 b

23、= 2、3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得 7 =4 + c2 -2c ,即c2 -2c -3 = 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 c > 0 ,所以 c = 3 .故abc的面积为1 bcsina = 33 .22考点： 1.平行向量的坐标运算；2.正弦定理； 3.余弦定理；4.三角形的面积公式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13（.15 年陕西文科）abc 的内角a、 b、 c 所对的边分别为ur a 、b、c ,向量 mr a、3b 与 ncos a、sin b 精品学习资料精选学习

24、资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点平行 .i求 a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ii如 a7、 b2 求abc 的面积 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 ia33； ii.32精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载urr试题解析：i精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 m / n ,所以a sin b3b cos a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由正弦定理,得sin

25、a sin b3sinb cos a0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 sin b0 ,从而 tan a3 ,由于 0a所以 a3ii解法一：由余弦定理,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2c22bc cos a ,而 a7、 b2 , a,3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得 74c22c ,即c22c30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 c0 ,所以 c3 ,故abc 面积为 1 bc sin a33 .22解法二：由正弦定理,得72精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin3sin b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点从而 sin b217精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由 ab 知 ab ,所以cos b277精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 sin csin absin b3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin b coscos b sin321,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3314所以abc 面积为 1 ab sin