2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(一)数学理试题(解析版)（精编版）

1、2018 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】由复数的运算法则有：，则实部和虚部之积为.本题选择 b 选项 .2. 设集合， 则（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】求解指数不等式可得：， 据此有：.观察选项，只有c 选项符合题意.本题选择 c 选项 .3. 命题“若， 则”的逆否命题是（）a.若，则b.若c.若，则d.若，则，则【答案】 d【解析】逆否命题同时否定条件和结论，然后将

2、条件和结论互换位置，据此可得： 命题 “若，则”的逆否命题是若，则.本题选择 d 选项 .4. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0 时，输入的实数的值为 （）20第页a. -3b. -3 或 9c. 3 或 -9d. -9 或-3【答案】 b【解析】结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数：的函数值， 且函数值为，据此分类讨论：当时，；当时，；综上可得，输入的实数的值为或 .本题选择 b 选项 .5. 刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率， 理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的

3、面积 .若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】 设圆的半径为，则圆的内接正六边形可以分解为6 个全等的三角形，且每个三角形的边长为， 据此可得，圆的面积为，其内接正六边形的面积为，利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是.本题选择 b 选项 .点睛： 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件a 满足的不等式，在图形中画出事件a 发生的区域，据此求解几何概型即可.6. 如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何

4、体的三视图，则该几何体的体积为（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】结合三视图可知该几何体是圆锥的一半，且圆锥底面半径，圆锥的高据此可知该几何体的体积：.本题选择 a 选项 .7. 设满足约束条件，则的最大值是 （）a. -15b. -9c. 1d. 9【答案】 c【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，观察可得目标函数在点处取得最大值：.本题选择 c 选项 .，点睛： 求线性目标函数z ax by(ab0的) 最值，当b 0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当b0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最

5、小时，z值最大 .8. 若 4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置， 则共有（）种不同的站法.a. 4b. 8c. 12d. 24【答案】 b【解析】由不对号入座的结论可知，三个人排队，对对号入座的方法共有2 种， 据此结合乘法原理可知，满足题意的站法共有：种.本题选择 b 选项 .9. 函数在的单调递增区间是（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】整理函数的解析式有：若，则，据此可知函数的单调递增区间满足：，即， 则函数的单调递增区间是.本题选择 c 选项 .10. 已知双曲线的一条渐近线与圆相切， 则该双曲线的离心率为（）a. 2b.c.d.【答案】 b【解析】由

6、双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：，即：，由直线与圆的位置关系可得：，整理可得：，则：，据此有：.本题选择 b 选项 .点睛： 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a， b，c 的齐次式， 结合 b2 c2 a2 转化为 a， c 的齐次式， 然后等式 (不等式)两边分别除以a 或 a2 转化为关于e的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )11. 在各项都为正数的等比数列中，若，且， 则数列的前项和是（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】由等比数列

7、的性质可得：，则数列的公比：，数列的通项公式：，故：，则数列的前项和是：.本题选择 a 选项 .点睛： 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项， 切不可漏写未被消去的项， 未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的12. 设函数是定义在上的偶函数 ， 且， 当时， 若在区间内关于的方程（且）有且只有4 个不同的根，则实数的取值范围是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】由已知在上递减，是偶函数，则在上递增，又，即的图象关于直线对称，因此在上递减，在上递增（实际上是周期为4 的周期函数） ，方程在区间内有 4 个根，即函数与函数的图象有 4 个交

8、点，如图，所以且，解得，故选 d点睛：（ 1）本题考查函数零点与方程根的关系问题，解题方法把方程的根转化为函数图象交点，如本题中方程在上有 4 个根，转化为函数与函数的图象在上有 4 个交点，为此先作出函数的图象，根据已知得出是周期为4 的周期函数，再根据偶函数的性质可以作出的图象；（ 2）如满足，则是其对称轴；（ 3）如果的图象有两个对称轴和，则它是周期函数，是它的一个周期.二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上 .13. 已知随机变量， 若， 则 【答案】 0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线对称，则：，则：.14. 在推导等

9、差数列前项和的过程中， 我们使用了倒序相加的方法， 类比可求得 【答案】 44.5【解析】令，则：，两式相加可得：,故：，即.15. 已知正三角形（为坐标原点）的顶点在抛物线上， 则的边长是 【答案】【解析】设点a 位于第一象限，由抛物线图形的对称性可知，直线的方程为：， 联立直线方程与抛物线方程可得交点坐标为：，则，结合两点之间距离公式可得：,即的边长是.16. 已知是直角边为2 的等腰直角三角形，且为直角顶点 ，为平面内一点 ， 则的最小值是 【答案】 -1【解析】以a 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 则，利用向量的坐标运算法则有：，据此可知，当，即点坐标为时，取得最小值

10、是.点睛： 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答.17. 在中，已知内角对边分别是， 且.（）求；（）若，的面积为， 求.【答案】 （）（）【解析】试题分析：( )由题意利用正弦定理边化角可得，结合诱导公式和两角和差正余弦公式可得，结合三角形的性质可得( )由题意结合面积公式可得，然后利用角c 的余弦定理得到关于c 的等式

11、，整理计算可得.试题解析：（ ）由正弦定理得又又（ ）由面积公式可得18. 如图所示 ， 在四棱锥中， 平面平面， 底面是正方形 ，且，.（）证明：平面平面；（）求二面角的余弦值 .【答案】 （） 见解析 （）.【解析】试题分析：( )利用面面垂直的性质定理可得平面.据此有，结合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.( )取的中点为，的中点为，连接， 以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的余弦值为.法 2：若以为原点，建立空间直角坐标，则面的法向量面的法向量，计算可得为钝角，则余弦值为.试题解析：（

12、 ）证明：底面为正方形，.又平面平面， 平面.又平面， .，平面.平面， 平面平面.（ ）取的中点为，的中点为，连接易得底面，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得，设平面的一个法向量为而，即取得设平面的一个法向量为而，则即取得由图知所求二面角为钝角故二面角的余弦值为.法 2：若以为原点，建立空间直角坐标，如图， 不妨设正方形的边长为2可得面的法向量面的法向量由图可得为钝角余弦值为.点睛： (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2) 设 m， n 分别

13、为平面，的法向量，则二面角与<m ，n>互补或相等 .求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角19. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45 人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下列联表 .在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（） 请将列联表补充完整；试

14、判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关；（） 从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5 人，再从这5 人中随机抽取2 人.若所选 2 名学生中的“恋家”人数为， 求随机变量的分布列及期望.附：， 其中.0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828【答案】 （） 见解析 （） 见解析【解析】试题分析：( )由题意结合所给的数据写出列联表，据此计算可得与国别有关 .，则有的把握认为 “恋家 ”与否( )由题意可得：的可能取值为0， 1， 2，计算相应的概率值有：，据此得到分布列，计算数学期望有.试题解析：（ ）在家其他合计中

15、国223355美国93645合计3169100有的把握认为 “恋家 ”与否与国别有关.（ ）依题意得，5 个人中 2 人来自于 “在家中 ”是幸福， 3 人来自于 “在其他场所 ”是幸福，的可能取值为0， 1， 2，的分布列为013.20. 设为坐标原点 ， 动点在椭圆上， 过作轴的垂线 ， 垂足为，点满足.（） 求点的轨迹方程；（） 过的直线与点的轨迹交于两点 ， 过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点， 求证 ：为定值 .【答案】 （）（）.【解析】试题分析：( )设， 由题意可得， 则， 点在椭圆上，整理计算可得轨迹方程为.( )分类讨论：当与轴重合时，.当与轴垂直时，.当与 轴不垂直也不重

16、合时，可设的方程为，联立直线与椭圆的方程有， 结合弦长公式有，把直线与曲线椭圆联立计算可得.则据此，结论得证.试题解析：（ ）设，易知，又因为，所以，又因为在椭圆上，所以，即.（ ）当与轴重合时，.当与 轴垂直时，.当与 轴不垂直也不重合时，可设的方程为此时设，把直线与曲线联立，得，可得，.把直线与曲线联立，同理可得.点睛： 求定值问题常见的方法有两种：(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21. 已知，.（） 求函数图象恒过的定点坐标；（） 若恒成立 ， 求的值 ；（）在（）成立的条件下，证明：存在唯一的极小值点

17、， 且.【答案】 （）（）（） 见解析【解析】试题分析：( )因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证， 据此可得函数的图象恒过点. ( )原问题等价于恒成立 .构造函数， 分类讨论有：若时，不能恒成立 .若时，在时为极小值点， 满足题意时只需.讨论可得要使函数成立，只有在时成立 .( )结合( ) 的结论有， 构造函数，结合函数的性质可得一定有 2 个零点， 分别为的一个极大值点和一个极小值点，则函数在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.据此整理计算可得.试题解析：（ ）因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证， 此时，所以函数的图象恒过点.（ ）依题意得：恒成立，恒成立 .构

18、造函数，则恒过，若时， 在上递增，不能恒成立 .若时， .时，函数单调递减；时，函数单调递增，在时为极小值点，要使恒成立，只需.设，则函数恒过，函数单调递增；，函数单调递减，在取得极大值0，要使函数成立，只有在时成立 .（ ），设，令，在单调递减，在单调递增，在处取得极小值可得一定有 2 个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点设为函数的极小值点，则， ，因为，因为，所以在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.函数的极小值点的横坐标，函数的极小值， .（二）选考题：共10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .22. 选修 4-4：极坐标与参数方程设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点 ， 以原点为极点 ，轴的正