2022年2022年高数函数与极限教案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载授课时间： 20年 9 月 日使用班级：授课时间： 20年 9 月 日使用班级：授课章节名称：第 1 章 函数.极限与连续第 1 节 函数（二）.第 2 节 极限教学目的：1. 懂得复合函数的定义及复合过程,分段函数的定义及表示方法,极限的概念,函数左极限与右极限的概念；2. 娴熟把握 x和 xx0 时 fx的极限存在的充要条件；3. 懂得无穷大.无穷小的概念；4. 把握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质,会用无穷小量的性质求教学重点：1. 函数极限与数列极限的概念,求极限的方法；2. 无穷大量与无穷小量的概念及性质.教学难点：1. 函数极限

2、的定义；2. 无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用；教学方法： 讲授,启示式.讲练结合教学手段： 传统讲授；作业：层次 1：书 16 页 1.2（1）（ 2）.4.6层次 2：书 16 页 5.7教案实施成效追记：（手书）第 1 章 函数.极限与连续第 1 节 函数（二）.第 2 节 极限复习及课题引入 （时间： 5 分钟）：1.作业题处理；2.复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关学问点；讲授新内容一.函数的概念（二） （时间： 15 分钟）1.复合函数：【引例】（公司员工问题）某公司员工的工资占公司利润的如干比例,而公司的利润又取决于所销售的商品的数量,因此,该公司员工的工资由所销售商

3、品的数量打算；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义 7 设 yfu、 其中 ux、 且函数 ux的值域包含在函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数 yfu的定义域内 、 就称 yfx为由 yfu与 ux复精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载合而成的 复合函数 、 其中 u 称为中间变量 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如, y留意：u 2 、 usinx 可复合成 ysin 2 x .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.并不为任意两个函数都能构成复合函数.精品学习资料

4、精选学习资料 - - - 欢迎下载2如 , y1u 2和 ux22就 不 能 构 成 复 合 函 数 ； 因 为 对 函 数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2y1u而言,必需要求变量 u1,1,而ux22 ,所以对任何 x 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值, y 都得不到确定的对应值；.利用复合函数不仅能将如干个简洁的函数复合成一个函数,仍可以 把一个较复杂的函数分解成几个简洁的函数,这对于今后把握微积分的运算时很重要的；例 4.将以下复合函数进行分解.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) yln cos x ;2y3 sin x .精品学习资料

5、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 1yln cos x 为由yln u 、ucosx 复合而成的 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) y3 sin x 为由 y3 u 、usinx 复合而成的 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.初等函数：定义 8：由基本初等函数经过有限次的四就运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数,称为初等函数 .x xx 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如： yln cos x , y, ycos2 x2 等都

6、为初等函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x13.分段函数：定义 9：在自变量的不同变化范畴中, 对应法就用不同式子表示的函数,称为分段函数 .注:(1) 分段函数仍然为一个函数,而不为几个函数,分段函数的定义域为各段函数定义域的并集 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 分段函数一般不为初等函数. 除 yx例如：x、x0、x、 x0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载符号函数：sgn x1、x0、x1、x0、0、 就为一个分段函数, 其定义域为 0、 ；精品学习资料精选学习资料 - -

7、 - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5.设 y2 x 、11、- 1x、 , 01x0、x1、求 fx30 、 f1 、 f22 及函数的定义域；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： f020 、 f12111 、 f2221 ,函数的定义域为1、3 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.极限概念：（时间： 10 分钟）【引例】：中国古代哲学家庄周在庄子.天下篇中引述惠施的话： “一尺之锤,日取一半,万世不竭；”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载析：这句话的意思为指一尺的木棒,第一

8、天取它的一半,即1 尺,；第2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二天再取剩下的一半,即1 尺；第三天再取其次天剩下的一半,即41 尺；这8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载样一每天地去下去,而木棒为永久也取不完的；尽管木棒永久也取不完,可到了肯定的时候,仍能看得见吗？看不见意味着什么？不就为快没了吗？终极的时候,就近乎没有了；它的终极状态就趋于零；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【极限概念引出】事实上,假设木棒为一个单位长,用xn 表示第 n 天截精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取之后所剩下的长度

9、,可得x1 、 x1 、 x1 、.、 x1 、.、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载123248n2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载,这样x1 、 x2 、 x3 、.、 xn 、. 构成一列有次序的数；设想n 无限增大（记为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n）,在这个过程中, xn 无限接近于一个确定的数值（零） ,这个确定的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）,n时的极限；复习 高中学问 ： 数列的概念.通项概念x1 、 x2 、 x3 、.、

10、xn 、. 当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列就为依据肯定次序排列成的一列数,一般记为x1 、 x2 、 x3 、.、 xn 、. ,简精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记为 xn ,其中xn 称为数列的 通项；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如,数列1、2、3、4、5,的通项为xnn ,可以记为 n；数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1、 1 、

11、1 、 1 、 1 、.的通项为 x1 ,可以记为 1；数列2、22 、2 3 、24 、2 5 、. 、 的通项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2345nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 xn2 n ,可以记为 2 n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列 xn 也可看成自变量为正整数n 的函数： xnfn ,其定义域为全精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载体正整数,当自变量 n 依次取 1、2、3、,一切正整数时,对应的函数值

12、就排精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载列成数列 xn ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.（极限概念）定义10：（教学方法：板书）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于数列 x n 、 如当 n 无限增大时 、 通项xn 无限接近于某个确定的常数a 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就常数 a 称为数列 xn 的极限、 此时也称数列 xn 收敛于 a 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim xn记为 na 或 xna n精品学习资料精

13、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如数列 xn 的极限不存在 、 就称数列 xn 发散 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：数列极限为个动态概念,为变量无线运动渐进变化的过程,为一个变精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载量（项数为 n ）无线运动的同时另一个变量（对应的通项 xn ）无限接近于某一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载个确定常数的过程,这个常数（极限）为这个无线运动变化的最终趋势；（依据函数关系的定义,引出数列为特殊的函数这个概念）例 1.（画数轴数形结合思想）精品学习资料精选学习资料 - - -

14、欢迎下载（ 1） xnn1: n2、 3 、24 、 5 、346 、.、 n5n1 、.；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） ） xn1: 1 、 1 、3 n391 、 12781、.、 13n、. ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） ） xn1 n:1、1、1、1、.、1 n 、.；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：当时 n,数列（ 1）的通项 xnn1越来越接近于常数1；而数列（2）nn精品学习资

15、料精选学习资料 - - - 欢迎下载的通项 xn1越来越接近于常数0,数列（3）的通项 3nxn1在-1 与 1 之间精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交替显现而不趋于任何确定的常数,所以,（1） ） lim n11；nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） ） limn（3） ） limn10 ； 3n1 n 不存在；（析：从数轴上标出一些点,来说明数列无限运动变精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载化的最终趋势）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载三.函数的极限 （时间： 20 分钟）数列为一种特殊形式的函数, 把数列的极限推广

16、可得到函数的极限；依据自变量的变化过程,分两种情形争论；1. x时函数 fx的极限（教学方法：讲解） （7 分钟）【引例】（设备折旧问题）某高校为进行以工作过程为导向的课程教学,购置一批数控机床为教学设备,投资额为 100 万元,每年的折旧费为这批数控机床账面价格（即以前各年折精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载旧费用提取后余下的价格）1 ,那么这批数控机床的账面价格（单位：万元）10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第一年为 100,其次年为 100*9 ,第三年为 100*（109 ）2 ,第四年为 100（*109 ）3 , 、10精品学习资料精选学习资料 - -

17、- 欢迎下载第 n 年为 100*（ 9 ）n ,那么,当 n无限增大时,该批数控机床的账面价格如何变10化？明显,从它的变化趋势可以看出, 随着年数的无限增大时, 账面价格无限接近于 0.引例反映了一个特点： 当自变量逐步增大时, 相应的函数值逐步接近于一个确定的常数；为此给出下面定义；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义 11：函数yf x在、内有定义,如x无限增大时,相应的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数值f x无限接近于一个确定的常数a,就称函数f x以 a 为极限；记为精品学习资料精选学习资料 - - -

18、欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxf x =a或f xa（ x）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x如当 x（或 x）时,函数无限接近于一个确定的常数a,记为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxf x =a或 limf x =a.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim10、 lim10、lim 10、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如, xxxxxx（画出图形说明）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不难

19、证明,函数有以下关系；f x在 x时的极限与在 x, x时的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 1： lim f xalimf xlimf xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxx例 2.（书 16 页 3）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载争论 lim exx为否存在；（依据函数图像观看）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. xx0 时函数 fx的极限（ 13 分钟）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）邻域概念：精品学习资料

20、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 x0 、r 且0 、 就开区间x0、 x0称为点x0 的邻域 、 记为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ux0 、u,即x0 、 x x0xx0.x xx0x0、 x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 x0 称为这邻域的中心,称为这邻域的半径 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有时用到的领域需要把领域的中心去掉；点x0 的领域去掉中心x0 后,称为点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精

21、选学习资料 - - - 欢迎下载x0 的去心邻域,记为 ux0 、,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ux0 、 x | 0xx0x0、 x0x0 、 x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为了便利, 有时把开区间x0、 x0称为 x0 的左领域,把开区间x0 、 x0称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 x0 的右邻域；（ 2）举例说明： x1时,函数无限接近于多少？（书13 页图像）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载观看：当： x1 时,f xx1

22、,无限接近 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g xx21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当： x1 时,x1,无限接近 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx在 x=1 有定义, gx 在 x=1 处无定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义 12：假如当xx0 时、 函数f x无限趋近于一个确定的常数a、就称 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为函数f x 当xx0时的极限 、 记作limxx0f xa或fxa 当 xx0 时.精

23、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时也称limxx0f x存在；假如当 xx0 时、函数f x不趋近于任何一个确定的常精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数、 就称limxx 0f x不存在；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：1. 函数f x 当 xx 0 时的极限为否存在, 与f x 在点x0 处为否有定义无精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关. （如上例）2. 如函数极限存在,就极限值必唯独；（唯独性）1.单侧极限：（10 分钟）精品学习资料精选学

24、习资料 - - - 欢迎下载在争论当xx0时函数f x的极限问题中,对xx0 的过程,如限制精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载xx0 或 xx0 ,便显现了单侧极限的概念；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义 13：设f x在 x0的某左（或右）邻域内有定义,当自变量x从 x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的左（或右）侧无限接近于x0 时,函数f x的值无限接近于某一确定的常数a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就称 a 为 xx0

25、lim时函数limf x的左（或右）极限,记为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0f x=a（或xx0f x=a） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限；明显,下面结论成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 2：limxx 0f xalimxx0f xlimxx 0f xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x21、 x1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3设f x1 、 x1、, 求 lim f x、 lim f x、并争论 limf x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

26、下载2x1、x1x1x1x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由于,limfxlimx212, limfxlimx10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x1x1x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于limfxlimfx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由定理 2 可知,limf x. 不存在；（画出图像书 14 页图 1-6 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习：判定函

27、数xyx、 x1、 x22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在点 x2 为否存在极限？（讲授方法：数形结合,作图板演）四.无穷大量与无穷小量 （时间： 32 分钟） 1.无穷小量的定义：【洗涤成效】在用洗衣机清洗衣物时, 清洗次数越多, 衣物上残留的污渍就越少；当洗涤次数无限增大时,衣物上的污渍趋于零；在对很多事物进行争论时, 常遇到事物数量的变化趋势为零；为此, 给出如下定义；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载定义 14：在自变量的某一变化过程中,极限为0 的量称为该变化过程的无穷小量,简称无穷小；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如：当

28、 x0 时,为sinx、 3x、 x 2 , x>0 ,1-cosx 无穷小；当 x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,为 x2 2 无穷小；当 x时,为 1 、x1无穷小；2x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：1.无穷小量不为很小的数、 它为一个极限的概念；2.数零为唯独可作为无穷小的常数；3.无穷小为个变量；2.无穷小量的性质：性质 1.有限个无穷小量的代数和为无穷小量；例如,当 x0 时, xsin x为无穷小量；而无穷多个无穷小的代数和未必精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为无穷小,如l

29、im11nnn1.11 ；nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 2.无穷小量与有界量之积为无穷小量；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如,当 x0 时,xsin x为无穷小量；当 x时, 1 sin xx为无穷小量；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推轮 1.任一常数与无穷小量之积为无穷小量；例如,当 x0 时, 3sin x为无穷小量；推论 2.有限个无穷小量之积为无穷小量； （注：两个无穷小之商未必为无穷小）3.无穷小与函数极限的关系：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 3 函数lim fxa 的充分必要条件为fxa（其中lim0

30、 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意 定理 3 中,下面没有标明自变量变化过程的记号“lim ”为指自变量 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的变化过程可以为x种；x0, xx0, x, x, x中的任何一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如：limfx4 , 就 fx4,其中 lim0 ；又如,由于 12 x12 ,x1x1xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 lim 1xx0 ,所以 12x2 ；x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.无穷大量的定义：【本利核算】某人又本金 a元,银行存款年利率为 r 、 不考虑个人所得税, 那么,此人第一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载年末的本利和为a1r ,其次年,本利和为a1r 2 ,、 第 n 年末的本利精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习