高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：选修4-1几何证明选讲word版含答案(精编版)

1、选修 41几何证明选讲1平行线截割定理与相似三角形了解平行线截割定理，理解相似三角形的判定和性质定理，了解直角三角形射影定理2圆的初步(1)理解圆周角定理，理解圆的切线的判定和性质定理及弦切角定理(2)理解相交弦定理、割线定理、切割线定理(3)理解圆内接四边形的判定与性质定理知识点一平行线截割定理与相似三角形1平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条

2、直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似3相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方4直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应

3、相等，那么它们相似(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似(3)判定定理3： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似5直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项易误提醒1在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误2在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误3射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚

4、定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用自测练习 1.(2016鞍山模拟 )如图，在 ?abcd 中， e 是 bc 上一点，beec23，ae 交 bd 于点 f，则 bffd 的值为 _解析： 因为 adbc，be ec23，所以bead25，因为adbc，所以 bffdbead 25，即 bffd 25. 答案：252.如图， d，e 分别是 abc 的边 ab，ac 上的点， debc 且addb2，那么 ade 与四边形dbce 的面积比是 _解析 ： debc， ade abc，sadesabcad2ab2. addb2，adab23，sadesabc49，故sades四边形dbce

5、45. 答案：453.在 rtacb 中，c90 ，cdab 于 d，若 bdad19，则 tanbcd 的值为 _解：由射影定理得cd2ad bd，又 bdad19，令 bdx，则 ad9x(x0)cd29x2， cd3x. rtcdb 中 ，tanbcdbdcdx3x13. 答案：13知识点二圆的初步1圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(3)推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径2圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直

6、线是圆的切线(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角4圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项易误提醒1解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，要注意角之间关系，易于混淆

7、导致错误2使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用自测练习 4.如图所示， cd 是圆 o 的切线，切点为c，点 b 在圆 o 上， bc2， bcd30 ，则圆 o 的面积为 _解析 ：过 b 作 o 的直径 ba，连接 ac(图略 )，则 acb90 .又由弦切角定理得cab bcd30 ， ab2bc4.半径 oa2， s r24.答案： 45.如图所示，已知o 的割线 p ab 交 o 于 a，b 两点，割线pcd经过圆心，若pa3， ab4，po 5，则 o 的半径为 _解析：设 o 的半径为r.由割线定理得pa pbpc pd,3 7(por)(por

8、)，即 2125r2， r24， r2. 答案： 2 考点一平行线分线段成比例定理的应用|1.如图， 等边三角形def 内接于 abc，且 debc，已知 ahbc于点 h，bc4，ah3，求 def 的边长解： 设 dex，ah 交 de 于点 m，显然mh 的长度与等边三角形def 的高相等，又 debc， 则debcamahahmhah， 所以x4332x32x2，解得 x43. 2.如图，在 abc 中，点 d 是 ac 的中点，点e 是 bd 的中点， ae 交bc 于点 f，求bffc的值解： 如图，过点d 作 dm af 交 bc 于点 m. 点 e 是 bd 的中点，在 bdm

9、 中， bf fm. 又点 d 是 ac 的中点，在 caf 中， cm mf，bffcbffm mc12. 平行线分线段成比例定理及推论的应用(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题考点二相似三角形的判定及性质|1如图， ad，be 是 abc 的两条高， dfab，垂足为f，交 be 于点 g，交 ac 的延长线于 h，求证： df2 gf hf. 证明 ：在 afh 与 gf

10、b 中，因为 h bac90 ， gbf bac90 ，所以 h gbf. 因为 afh bfg90 ，所以 afh gfb，所以hfbfafgf，所以 af bf gf hf . 因为在 rt abd 中， fd ab，所以 df2af bf.所以 df2gf hf . 2.如图， m 是平行四边形abcd 的边 ab 的中点，直线l 过点 m分别交 ad， ac 于点 e，f，交 cb 的延长线于点n.若 ae2，ad6，求afac的值解： adbc， aef cnf，afcfaecn，afafcfaeaecn. m 为 ab 的中点，aebnambm1， aebn，afacafafcfa

11、eaebnbcae2aebc. ae2，bcad6，afac222615. 3.如图所示， cd 垂直平分ab，点 e 在 cd 上，df ac，dgbe，f，g 分别为垂足求证： af acbg be. 证明： 因为 cd 垂直平分 ab，所以 adc bdc90 ，addb. 在 rtadc 中，因为df ac，所以ad2 af ac.同理bd2bg be.所以af acbg be. 1证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例2注意射影定理的其他变式考点三圆中有关定理及推

12、论的应用|(1)(2015 高考湖北卷 )如图，pa 是圆的切线， a 为切点，pbc是圆的割线，且bc3pb，则abac_. 解析 因为 pa 是圆的切线， a 为切点， pbc 是圆的割线，由切割线定理，知pa2pb pcpb(pbbc)因为bc3pb，所以 pa24pb2，即 pa2pb.由 pab pca，所以abacpbpa12. 答案 12(2)(2015高考全国卷 )如图， ab 是 o 的直径， ac 是 o 的切线， bc 交 o 于点 e. 若 d 为 ac 的中点，证明：de 是 o 的切线；若 oa3ce，求 acb 的大小解证明：如图，连接ae，由已知得， aebc，

13、acab. 在 rtaec 中，由已知得，dedc，故 dec dce. 连接 oe，则 obe oeb. 又 acb abc90 ，所以 dec oeb90 ，故 oed90 ，de 是 o 的切线设 ce1， aex，由已知得ab23，be12x2. 由射影定理可得，ae2ce be，所以 x212x2，即 x4x2120. 可得 x3，所以 acb60 . (1)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径 (或半径 )或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角(2)与圆有关的比例线段解题思路：见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理见到圆的两条割线就要想到割线定理见到圆的切线和割线

14、就要想到切割线定理1(2015 高考重庆卷 )如图，圆o 的弦 ab，cd 相交于点e，过点 a 作圆 o 的切线与dc 的延长线交于点p，若 p a6，ae9，pc3， ceed2 1，则 be_. 解析： 由切割线定理，知pa2pc pd，即 62 3pd，解得pd12，所以 cdpdpc9，所以 ce6， ed3.由相交弦定理，知ae bece ed，即 9be63，解得be2. 答案： 2 2如图所示， 已知 d 为 abc 的 bc 边上一点， o1经过点 b，d，交 ab 于另一点e，o2经过点 c，d，交 ac 于另一点f， o1与 o2的另一交点为g. (1)求证： a、e、g

15、、f 四点共圆；(2)若 ag 切 o2于 g，求证： aef acg. 证明 ：(1)如图，连接gd，四边形 bdge， cdgf 分别内接于 o1， o2， aeg bdg， afg cdg，又 bdg cdg180 ， aeg afg180 ，a、 e、g、f 四点共圆(2)a、e、g、f 四点共圆，aefagf，ag 与 o2相切于点g， agf acg， aef acg. 32.四点共圆的证明方法【典例】如图， ab 是 o 的直径，弦bd，ca 的延长线相交于点e，ef 垂直 ba 的延长线于点f. (1)求证： be deac cece2；(2)若 d 是 be 的中点，证明e，

16、 f，c，b 四点共圆思路点拨 (1)利用割线定理易证；(2)本题已知ab 是o 的直径，可得到线段相等，利用四个点到一定点的距离相等证明四点共圆解(1)证明：由割线定理得ea ecde be，所以 be de ac ceea ceac cece2，所以 be de ac cece2. (2)连接 cb，cd，fd. 因为 ab 是 o 的直径，所以 ecb90 ，所以 cd12eb. 因为 efbf，所以 fd 12be. 所以 e，f，c，b 四点到点d 的距离相等所以 e，f，c，b 四点共圆方法点评 四点共圆的证明方法：(1)若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆(2)若一个四边形

17、的一组对角的和等于180 ，则这个四边形的四个顶点共圆(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆(5)若 ab，cd 两线段相交于点p，且 pa pb pc pd，则 a，b，c，d 四点共圆(6)若 ab，cd 两线段延长后相交于点p，且 pa pbpc pd，则 a，b，c，d 四点共圆(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆跟踪练习 如图， 点 f 是 abc 外接圆上bc 的中点， 点 d，e 在边 ac 上，使得 adab

18、，beec. 证明： b，e，d，f 四点共圆证明： 如图，连接fc，fb，则 fcfb.连接 ef，则 cefbef，所以 bfe cfe .因为 a，b，f，c 共圆，所以 cabcfb 180 ，所以 cab2bfe180 .连接 bd，因为abad，所以 abd adb ，所以 cab2adb 180 .所以 adbbfe.所以 b，e，d，f 四点共圆a 组考点能力演练1.(2016大连模拟 )如图，已知d 为 abc 中 ac 边的中点， aebc，ed 交 ab 于 g，交 bc 延长线于f，若 bgga31，bc8，求 ae的长解： 因为 aebc， d 为 ac 的中点，所以

19、 aecf，aebfagbg13. 设 ae x，又 bc8，所以xx813，3xx8，所以 x4. 所以 ae4. 2.(2016洛阳模拟 )如图， ab 为圆 o 的直径， cd 为垂直于ab 的一条弦，垂足为e，弦bm 与 cd 交于点 f. (1)证明： a，e，f，m 四点共圆；(2)证明： ac2bf bmab2. 证明： (1)连接 am(图略 )，则 amb90 . abcd， aef 90 . amb aef180 ，即 a，e，f，m 四点共圆(2)连接 ac，cb(图略 )由 a，e，f，m 四点共圆，得 bf bm be ba. 在 rtacb 中， bc2be ba，

20、ac2cb2ab2， ac2bf bmab2. 3.已知：如图，在abc 中， abac， bac90 ，d，e，f 分别在ab， ac，bc上， ae13ac，bd13ab，且 cf13bc. 求证： (1)efbc；(2)ade ebc. 证明： 设 abac 3a，则 ae bda，cf2a. (1)cecb2a3 2a23，cfca2a3a23. 又 c 为公共角，故bac efc，由 bac90 得 efc90 ，故 efbc. (2)由(1)得 effcac ab2a，故aeefa2a22，adbf2a2 2a22，aeefadbf， ade fbe，所以 ade ebc. 4.(

21、2016兰州双基 )如图，在正abc 中，点 d，e 分别在 bc，ac 上，且 bd13bc，ce13ca，ad，be 相交于点p.求证：(1)四点 p，d，c，e 共圆；(2)apcp. 证明： (1)在正 abc 中，由 bd13bc，ce13ca，知： abd bce， adb bec，即 adc bec ，四点 p，d，c，e 共圆(2)连接 de(图略 )，在 cde 中，cd2ce，acd60 ，由正弦定理知ced90 ，由四点 p，d，c，e 共圆知， dpc dec ， apcp. 5.如图， 设 ab 为 o 的任一条不与直线l 垂直的直径， p 是 o与 l 的公共点，

22、acl，bdl，垂足分别为c，d，且 pcpd. (1)求证： l 是 o 的切线；(2)若 o 的半径 oa5，ac4，求 cd 的长解： (1)证明：连接op， acl，bdl， acbd. 又 oaob，pcpd，opbd，从而 opl. 点 p 在 o 上， l 是 o 的切线(2)由(1)可知 op12(acbd)，bd2opac10 46. 过点 a 作 aebd，垂足为e，则 bebdac642. 在 rtabe 中， aeab2be21022246. cd46. b 组高考题型专练1(2014 高考新课标全国卷)如图，四边形abcd 是 o 的内接四边形， ab 的延长线与dc

23、 的延长线交于点e，且 cbce. (1)证明： d e；(2)设 ad 不是 o 的直径， ad 的中点为m，且 mbmc，证明：ade 为等边三角形证明： (1)由题设知a，b，c，d 四点共圆，所以d cbe. 由已知得 cbe e，故 d e. (2)如图，设 bc 的中点为 n，连接 mn，则由 mbmc 知 mnbc，故 o 在直线 mn 上又 ad 不是 o 的直径， m 为 ad 的中点， 故 omad， 即 mnad. 所以 ad bc，故 a cbe. 又 cbe e，故 a e.由 (1)知， d e，所以 ade 为等边三角形2.(2015高考湖南卷 )如图，在 o 中，相交于点e 的两弦ab，cd 的中点分别是m，n，直线mo 与直线cd 相交于点f.证明：(1)men nom 180 ；(2)fe fnfm fo. 证明： (1)如图所示因为m，n 分别是弦ab，cd 的中点，所以omab，oncd，即 ome 90 ， eno 90 ，因此 ome eno180 .又四边形的内角和等于360 ，故 men nom180 . (2)由(1)知， o，m，e，n 四点共圆，故由割线定理即得fe f