高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：9.4随机事件的概率word版含答案(精编版)

1、第四节随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别了解两个互斥事件的概率加法公式知识点一概率与频率1. 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件a 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件a 发生的频率具有稳定性我们把这个常数叫作随机事件a 的概率， 记作 p(a)2. 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此， 人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值3. 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0 p(a) 1. (2)必然事件的概率：p(a)

2、1.(3)不可能事件的概率：p(a) 0.易误提醒易将概率与频率混淆， 频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数 自 测 练 习 1给出下列三个命题，其中正确命题有 个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100 件，必有 10 件是次品；做7 次抛硬币的试验，结果3 次出现正面，因此正面出现的概率是3；随机事件发生的频率就是7这个随机事件发生的概率解析： 错，不一定是10 件次品；错，3是频率而非概率；错，频率不等于概率，7这是两个不同的概念 答案： 02. 某城市2015 年的空气质量状况如下表所示：污染指数t3060100110130140概率 p1101613730215130

3、其中污染指数t 50 时，空气质量为优；50< t 100 时，空气质量为良；100<t 150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015 年空气质量达到良或优的概率为 解析 ：由题意可知2015 年空气质量达到良或优的概率为p 1 1 1106353.答案： 35知识点二互斥事件和对立事件事件定义性质在一个随机试验中，我们把一次试验p(ab) p(a) p(b)， (事件 a， b是互斥事件 )；互斥事件下不能同时发生的两个事件a 与 b 称p(a1 a2 an) p(a1)p(a2)作互斥事件 p(an)( 事件 a1， a2， an任意两个互斥)在一个随机试验中，两个试验不会同

4、对立事件时发生，并且一定有一个发生的事件p( a ) 1 p(a)a 和 a 称为对立事件易误提醒互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 自测练习 3. 装有红球、 白球和黑球各2 个的口袋内一次取出2 个球，则与事件“两球都为白球” 互斥而非对立的事件是()“两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球至少有一个白球”a b c解析： 从口袋内一次取出d 2 个球，这个试验的基本事件空间 ( 白，白 )， (红，红 )，(黑，黑 )， (红，白 )， (红，黑 )， (黑

5、，白 ) ，包含 6 个基本事件，当事件a“两球都为白球” 发生时，不可能发生，且a 不发生时，不一定发生，不一定发生，故非对立事件，而 a 发生时，可以发生，故不是互斥事件 答案： a4. 运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5 的 5 名火炬手若从中任选3 人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()a. 3 107b.582c.10d.5解析： 从 1,2,3,4,5 中任取三个数的结果有10 种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有： (1,2,3) ， (2,3,4) ， (3,4,5) ，选出的火炬手的编号相连的概率为p 3 .10答案： a考点一事件的关系 |1. 一个均匀的

6、正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 a 表示向上的一面出现奇数点， 事件 b 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 c 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则( )a a 与 b 是互斥而非对立事件ba 与 b 是对立事件cb 与 c 是互斥而非对立事件d b 与 c 是对立事件解析： 根据互斥事件与对立事件的意义作答，a b 出现点数1 或 3 ，事件 a，b 不互斥也不对立；bc ?， b c ，故事件 b， c 是对立事件答案： d2. 设条件甲： “事件 a 与事件 b 是对立事件”， 结论乙： “概率满足p(a) p(b)

7、 1”， 则甲是乙的 ()a 充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析： 若事件a 与事件b 是对立事件，则ab 为必然事件，再由概率的加法公式得p(a) p(b) 1.设掷一枚硬币3 次，事件 a：“至少出现一次正面” ，事件 b：“ 3 次出现正面” ，则 p(a)答案： a7 8，p(b)1，满足8p(a) p(b)1，但 a， b 不是对立事件3. 在 5 张电话卡中，有3 张移动卡和2 张联通卡，从中任取2 张，若事件“ 2 张全是移动卡”的概率是3 ，那么概率是7 的事件是 ()1010a 至多有一张移动卡b恰有一张移动卡c都不是移动卡d至少有一张移动卡解

8、析： 至多有一张移动卡包含“一张移动卡， 一张联通卡 ” 、“两张全是联通卡”两个事件，它是 “ 2 张全是移动卡”的对立事件，故选a.答案： a123456789101112131415晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴161718192021222324252627282930晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨集合法判断互斥事件与对立事件的方法1由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥2事件a 的对立事件a 所含的结果组成的集合，是全集中由事件a 所含的结果组成的集合的补集考点二随机事件的概率|(2015 ·高考陕西卷 )随机抽取一个年份，对西安市该年4 月份的天气情况

9、进行统计，结果如下：日期天气日期天气(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4 月份的一个晴天开始举行连续不下雨的概率2 天的运动会，估计运动会期间解(1)在容量为30 的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为13.15(2)称相邻的两个日期为“ 互邻日期对 ” (如， 1 日与 2 日， 2 日与 3 日等 )这样，在4月份中， 前一天为晴天的互邻日期对有16 个，其中后一天不下雨的有14 个，所以晴天的次.日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为781. 某中学部分学生参加全国高中数学

10、竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩 (成绩都为整数，试题满分120 分)，并且绘制了条形统计图(如图所示 )，则该中学参加本次数学竞赛的人数为 ，如果 90 分以上 (含 90 分)获奖，那么获奖的概率大约是 解析： 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4 6 8 7 5 2 32； 90 分以上的人数为 7 5 2 14，所以获奖的频率为140.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.32答案： 320.437 5考点三互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100 元商品得1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1 个，一等奖10

11、 个，二等奖50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a， b， c.求：(1)p(a)， p(b)， p(c)；(2) 1 张奖券的中奖概率；(3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)p(a)1， p(b)10 1 ，p(c)501 0001 000 1 .201 000100(2)因为事件a，b，c 两两互斥， 所以 p(a b c) p(a)p(b) p(c) 1 1 1611 000.1 00010020.故 1 张奖券的中奖概率为611 0001 (3)p( a b ) 1 p(a b) 1 1 000 1100 9891 000.故 1 张奖券不中特等奖

12、且不中一.等奖的概率为9891 000求复杂互斥事件概率的两种方法(1) 直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2) 间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式p(a) 1 p( a )求得，即运用逆向思维( 正难则反 )，特别是 “ 至多”“ 至少” 型题目，用间接求法就会较简便2. 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2) 求该地 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率解： 记 a 表示事件：该车主购买甲种保险；b 表示事

13、件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险； c 表示事件： 该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；d 表示事件： 该车主甲、乙两种保险都不购买(1)由题意得p(a) 0.5，p(b) 0.3，又 c a b， 所以 p(c) p(a b) p(a) p(b) 0.5 0.3 0.8.(2) 因 为d与c是 对 立 事 件 ， 所 以p(d) 1 p(c) 1 0.8 0.2.31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至

14、16 件17 件及以上顾客数 (人)x3025y10结算时间 (分钟 /人)11.522.53已知这 100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占55%. (1)确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 (将频率视为概率)思路点拨 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反 ”思想求解解(1)由已知得25 y 10 55， x30 45，所以 x15， y 20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100 的简单随

15、机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1× 15 1.5× 30 2× 252.5× 20 3× 101.9(分钟 )100(2)记 a 为事件 “一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟 ”，a1，a2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5 分钟 ”，“该顾客一次购物的结算时间为3 分钟 ”，将频率视为概率得 p(a1) 20 1001p(a2) 10，5100 1 .101p(a) 1 p(a1) p(a2) 1 1 7 .51010故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟的概率为7 .10思想点

16、评 (1) 要准确理解题意， 善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义(2) 正确判定事件间的关系，善于将a 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式(3) 需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义跟踪练习 某产品分甲、 乙、丙三级， 其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下， 出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和 3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为 ()a 0.95b 0.97c0.92d 0.08解析： 记抽检的产品是甲级品为事件a，是乙级品为事件b，是丙级品为事件c，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为p(a)1 p(b) p(c) 1 5%3

17、% 92% 0.92.答案： ca 组考点能力演练1. 甲： a1、a2 是互斥事件；乙：a1、 a2 是对立事件，那么() a 甲是乙的充分不必要条件b. 甲是乙的必要不充分条件c. 甲是乙的充要条件d. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析： 根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件 答案： b2. 某射手的一次射击中，射中10 环、 9 环、 8 环的概率分别为0.2、0.3、 0.1，则此射手在一次射击中不超过8 环的概率为 ()a 0.5b 0.3c0.6d 0.9解析： 依题设知，此射手在一次射击中不超过8 环的概率为1 (0.2 0.3) 0.5.答案：

18、a3. 从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()a “至少有一个黑球”与“都是黑球” b“至少有一个黑球”与“都是红球” c“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” d“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析： a 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；b 中的两个事件是对立事件；c 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件， 不是互斥关系； d 中的两个事件是互斥而不对立的关系故选d.答案： d4(2016 ·云南一检 )在 2,0,1,5 这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2 是取出的三个不同数的中位数的概率为()35a. 4b.8

19、11c.2d.4解析： 分析题意可知，共有(0,1,2) ， (0,2,5) ， (1,2,5) ，(0,1,5)4 种取法，符合题意的取法.有 2 种，故所求概率p 12答案： c5. (2015 ·孝感二模 )某天下课以后，教室里还剩下2 位男同学和2 位女同学如果他们依次走出教室，则第2 位走出的是男同学的概率为()11a. 2b.3c.14d.15解析： 已知 2 位女同学和2 位男同学走出的所有可能顺序有( 女，女，男，男) ，(女，男， 女，男 )，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第 2 位走出的是男同学的概率p3 1.

20、62答案： a6. (2016 ·温州十校联考 )记一个两位数的个位数字与十位数字的和为a.若 a 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1 的概率为 解 析 ： 根 据 题意 ，个 位数 字 与十 位 数字 之和 为奇 数且不 超过5 的 两位 数 有：210,12,14,21,23,30,32,41,50 ，共 9 个，其中个位是1 的有 21,41，共 2 个，因此所求的概率为9.答案： 297. 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是 解析： 设摸出红球、 白球

21、、 黄球的事件分别为a、b、c，由条件知p(a b) p(a) p(b)0.65，p(bc) p(b)p(c) 0.6，又 p(a b) 1 p(c)， p(c) 0.35， p(b)0.25.答 案 ： 0.25 8中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为3，乙夺得冠军的概率为71，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 4解析：由于事件 “ 中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件 “甲夺得冠军 ” 和“乙夺得冠军 ” ，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥， 所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为371194

22、 28.答案： 19289. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类， 并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨 )：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率“ 厨余垃圾 ” 箱里厨余垃圾量400解： (1)厨余垃圾投放正确的概率约为23.厨余垃圾总量 400 100100(2) 设生活垃圾投放错误为事件a，则事

23、件a 表示生活垃圾投放正确事件 a 的概率约为 “ 厨余垃圾 ” 箱里厨余垃圾量、“ 可回收物 ” 箱里可回收物量与“其他垃圾 ” 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即p( a )约为 400240 601 0000.7，所以 p(a)约为 1 0.70.3.10. 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求： (1)至多 2 人排队等候的概率是多少？ (2)至少 3 人排队等候的概率是多少？解： 记“ 无人排队等候”为事件a，“ 1 人排队等候 ” 为事件 b， “2 人排队等候 ” 为事

24、件 c，“ 3 人排队等候 ” 为事件 d ，“ 4 人排队等候 ” 为事件 e，“ 5 人及 5 人以上排队等候” 为事件 f，则事件a、b、 c、 d、e、f 互斥(1) 记“ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 g，则g a b c，所以 p(g) p(a bc) p(a)p(b) p(c) 0.1 0.16 0.3 0.56.(2) 法一：记 “至少 3 人排队等候 ” 为事件 h ，则h d e f，所以 p(h ) p(d e f) p(d) p(e) p(f) 0.3 0.1 0.040.44.法二：记“ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 h，则其对立事件为事件g，所以 p(h )

25、 1 p(g)0.44.b 组高考题型专练1. (2014 ·高考陕西卷 )某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额 (元)01 0002 0003 0004 000车辆数 (辆)500130100150120(1) 若每辆车的投保金额均为2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2) 在样本车辆中， 车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占20% ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000 元的概率解： (1)设 a 表示事件 “ 赔付金额为3 000 元” ，b 表示事件 “ 赔付金额为4 000 元” ， 以频率估计概率得150p(a) 0.15， p(b) 120 0.12.1 0001 000由于投保金额为2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是