到两点的距离和最短问题的应用

1、 到两点的距离和最短问题的应用到两点的距离和最短问题的应用 廖华彬摘 要到两点距离和最短问题，在生产生活和学习中都有着广泛的应用。解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和应用数学解决实际问题方面有着不可替代的作用。关键词矩离和最短；轴对称；最小值；应用例 1：如图 1-1 所示，直线 l 的同侧有 a、b 两点，在直线 l 上求作一点 p，使ap+bp 值最小。简析这个问题，我们把它简称为“到两点的矩离和最短问题”。要求 ap+bp最小值，很容易联想到“两点之间，线段最短”。如何使 ap 和 bp 在一条线上呢？可以尝试通过轴对称变换达到目的。略解如图 1-2，作点 a 关于

2、直线 l 的对称点 c，连接 cb 交直线 l 于 p；则点p 就是所要求作的点。这种方法，我们称它为“轴对称法”。略证如图 1-2，在直线 l 上另任取一点 d，连接 ad、cd、bd，根据“三角形两边之和大于第三边”易知，ap+bp 值最小。概括这道题可概括为一个数学模型：到一直线同侧两点矩离和最短的点，就是其中一点关于这条直线的对称点与另一点的连线和这条直线的交点。此模型是图形与几何中的到两点的矩离和最短问题，解这类问题的思想和方法在生产生活和学习中都有着广泛的应用。解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和解决实际问题方面有着不可替代的作用。一、基础应用例 2：（200

3、5 南充中考题）点 p 是边长为 1 的菱形 abcd 对角线 ac 上一个动点，m、n 分别是 ab、bc 边上的中点，mp+mp 的最小值是（ ）简析根据题意画出图 2-1 来，由图 2-1 很容易想到这实际上是在 ac 上求点 p使到点 m、n 的矩离和最短；从而用轴对称法，由图 2-2 易求得 mp+mp 的最小值是 1，所以选 b。例 3：（2007 湖北荆门中考题）如图 1-1，要在河边 修建一个水泵站，分别向a、b 两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？简析这是生活中的一个实际问题，我们可以把它提炼概括为一个数学问题：实际上就是在直线 上求作一点，使它到点

4、a、b 两点的矩离和最小。因此我们可用“轴对称法”求解，如图 1-2。小结这些基础应用，不仅有利于学生掌握必需的数学基础知识与基本技能，更有利于学生数学思考、问题解决、情感态度等方面都得到发展。二、拓展应用例 4：如图 4，两条公路 oa、ob 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点p，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.简析这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题。经过分析，我们明白此题是要求作两点，使其与点 p 所围成的三角形的周长最小。于是我们很容易联想到“轴对称法”

5、。略解如图 4，分别作点 p 关于直线 oa 和 ob 的对称点 p1、p2 ，连结 p1p2 分别交 oa、ob 于 c、d，c、d 两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点。那么是不是最短的呢？我们可以用三角形两边之和大于第三边进行说明。例 5：（2011 内江市中考模拟卷三）在直角坐标系中有四个点 a（-8，3），b（-4，5），c（0，n），d（m，0），当四边形 abcd 的周长最短时，m/n 的值是简析这实际上是要在坐标轴上求作两点，使它们与 a、b 两点所围成的四边形的周长最小。从而我们可以想到用“轴对称法”来解。略解如图 3，分别作点 a、b 关于横轴、纵轴的对称点 m、

6、n，连接 mn 分别与坐标轴交于点 c、d。显然点 m（-8，-3）、n（4，5），易求得直线 mn 关系式：y=2/3x+7/3，从而点 c（0，7/3）、d（-7/2，0），因此 m/n=-3/2。小结这两道题都是一个两次应用轴对称变换的复合问题。到两点的矩离和最短问题的拓展应用，不仅促使学生对知识和技能的理解更加深刻，而且也鼓励了学生思维的创新。三、综合应用解析这是一个轴对称和平移的复合问题，也是一个关于到两点矩离和最短问题。我们观察发现，线段 pn=2 其值是确定的，可以将其平移；然后再通过轴对称变换，可求四边形 pabn 周长的最小值。略解用轴对称法解：如图 6-1，过 b 作 bf

7、x 轴且 bf=2，作点 a 关于 x 轴的对称点 e，连接 ef 交 x 轴于 p，在 x 轴截取 pn=2。连接 bn、ap，显然四边形pfbn 是平行四边形。显然点 e（1，3），f（2，-1），易求得直线 ef 关系式：y=-4x+7，从而点 p（7/4，0），因此 a=7/4。也可用数形结合的方法解：由两点间的矩离公式可得四边形 pabn 的周长为 ，当 值最小时，四边形 pabn 的周长最小。如图 6-2，作 bd=1，过 b 作 abbd，过 e 作 debd，使 ab=3，de=1，连接 ae 交 bd 于 c，则 bc=2-a，cd=a-1，线段ae= 的长即为代数式 的最小值。易知abcedc，从而有 ，解得 a=7/4。小结通过对到两点矩离和最短综合应用问题的解答，使学生了解所学过的数与代数、图形与几何知识之间的关系，加深对有关知识的理解；进一步体验发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，积累数学活动经验，发展综合应用意识和能力。通过对到两点距离和最短问题的应用，有利于学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果