高中数学第1章计数原理1.2.2第一课时组合与组合数公式学案新人教A版选修2-3-新人教

1、第一课时组合与组合数公式预习课本 p2124，思考并完成以下问题1组合的概念是什么？2什么是组合数？组合数公式是怎样的？3组合数有怎样的性质？ 新知初探 1组合的概念从n个不同的元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(mn) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法cmn组合数公式乘积式cmnamnammn(n1)(n2)(nm1)m！阶乘式cmnn！m！(nm) ！性质cmncnmn_， cmn1 cmn cm 1n_ 备注n，mn*且mn，规定： c0n1 点

2、睛 排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(nm) 个元素区别： 排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合 小试身手 1判断下列命题是否正确( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是c23.( ) (2) 从 1,3,5,7中任取两个数相乘可得c24个积 ( ) (3)1,2,3与 3,2,1是同一个组合( ) (4)c35543 60.( ) 答案： (1) (2) (3) (4) 2c2n10，则n的值为 ( )

3、 a10 b5 c3 d 4 答案： b 3从 9 名学生中选出3 名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( ) a504 种 b 729 种c84 种 d 27 种答案： c 4计算 c28c38c29_. 答案： 120 组合的概念 典例 判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1) 设集合aa，b，c，d，e，则集合a的子集中含有3 个元素的有多少个？(2) 某铁路线上有5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4) 把 3 本相同的书分给5 个学生，每人最多得1 本，有几种分配方法？ 解 (1) 因为本问题与

4、元素顺序无关，故是组合问题(2) 因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题， 但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题(3) 因为分工方法是从5 种不同的工作中取出3 种，按一定次序分给3 个人去干，故是排列问题(4) 因为 3 本书是相同的，无论把3 本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明

5、无顺序，是组合问题活学活用 判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1) 把 5 本不同的书分给5 个学生，每人一本；(2) 从 7 本不同的书中取出5 本给某个同学；(3)10 个人相互写一封信，共写了几封信；(4)10 个人互相通一次电话，共通了几次电话解： (1) 由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题(2) 从 7 本不同的书中，取出5 本给某个同学，在每种取法中取出的5 本并不考虑书的顺序，故它是组合问题(3) 因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题(4) 因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题. 有关组合数的计算与证明 典例 (1)

6、计算 c410c37a33；(2) 证明：mcmnncm 1n1. 解 (1) 原式 c410 a37109874321765210 210 0. (2) 证明：mcmnmn！m！(nm) ！n(n1)！(m1)！(nm) ！n(n1)！(m1) ！(nm) ！ncm 1n 1. 关于组合数公式的选取技巧(1) 涉及具体数字的可以直接用nnmcmn 1nnm(n1)！m！ (n1m) ！n！m！(nm) ！ cmn进行计算(2) 涉及字母的可以用阶乘式cmnn！m！(nm) ！计算(3) 计算时应注意利用组合数的性质cmncnmn简化运算 活学活用 1计算： c38n3nc3nn21的值解：3

7、8n3n，3n21n，9.5 n10.5.nn*，n10. c38n3nc3n21nc2830 c3031c230c13130292131466. 2求使 3cx7x 35a2x4成立的x值解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为3(x3) ！(x 7) ！4！5(x4) ！(x6) ！，即3(x3)4！5x6，即为 (x3)(x6) 40. x29x220，解得x11 或x 2. 经检验知x11 时原式成立3证明下列各等式(1)cmnm1n1cm 1n1；(2)c0nc1n 1c2n2 cm 1nm 1cm 1nm. 解： (1) 右边m1n1(n1) ！(m1) ！(n1) (m 1) ！

8、m1n1(n1) ！(m 1)！(nm)！n！m！(nm) ！cmn左边，原式成立(2) 左边 (c0n1c1n1) c2n2c3n3 cm 1nm 1(c1n2 c2n2) c3n3 cm 1nm 1(c2n3c3n 3) cm 1nm 1(c3n 4c4n 4) cm 1nm 1 cm 2nm 1cm 1nm 1cm 1nm右边，原式成立. 简单的组合问题 典例 在一次数学竞赛中，某学校有12 人通过了初试，学校要从中选出5 人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1) 任意选 5 人；(2) 甲、乙、丙三人必须参加；(3) 甲、乙、丙三人不能参加 解 (1)c512792

9、种不同的选法(2) 甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9 人中选 2 人，共有 c2936 种不同的选法(3) 甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9 人中选 5 人，共有c59126 种不同的选法解答简单的组合问题的思考方法(1) 弄清要做的这件事是什么事；(2) 选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3) 结合两计数原理利用组合数公式求出结果 活学活用 1一个口袋内装有大小相同的7 个白球和1 个黑球(1) 从口袋内取出3 个球，共有多少种取法？(2) 从口袋内取出3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？(3) 从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解

10、： (1) 从口袋内的8 个球中取出3 个球，取法种数是c3887632156. (2) 从口袋内取出3 个球有 1 个是黑球，于是还要从7 个白球中再取出2 个，取法种数是 c27762121. (3) 由于所取出的3 个球中不含黑球，也就是要从7 个白球中取出3 个球，取法种数是c3776532135. 2现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同的取法有多少种？解：分两类：第一类，含有1 张红色卡片，共有不同的取法c14c212264(种) ；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法c31

11、23c34 220 12208( 种) 由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种) 层级一学业水平达标1c58c68的值为 ( ) a36 b84 c88 d 504 解析：选 a c58c68c69c3998732184. 2以下四个命题，属于组合问题的是( ) a从 3 个不同的小球中，取出2 个排成一列b老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌c在电视节目中，主持人从100 位幸运观众中选出2 名幸运之星d从 13 位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选 c 选项 a是排列问题，因为2 个小球有顺序；选项b是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项 c是

12、组合问题， 因为 2 位观众无顺序； 选项 d是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的选c3方程 cx14c2x414的解集为 ( ) a4 b 14 c4 或 6 d 14 或 2 解析：选 c 由题意知x2x4，2x414，x14或x14(2x4) ，2x414，x14，解得x4 或 6. 4某公司新招聘5 名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( ) a6 b 12 c24 d 36 解析：选b 甲部门分一名电脑编程人员有c13c12c33种分配方案，甲部门分两名电脑编程人员有 c23c1

13、2c22种分配方案由分类加法计数原理得，共有c13c12c33c23c12c2212(种 ) 不同的分配方案5从 5 名志愿者中选派4 人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( ) a60 种 b 48 种c30 种 d 10 种解析：选 c 从 5 名志愿者中选派2 人参加星期六的公益活动有c25种方法，再从剩下的3 人中选派2 人参加星期日的公益活动有c23种方法， 由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有 c25c2330 种故选 c6c03c14c25 c1821的值等于 _解析：原式c04c14 c25 c1821c15c25 c1821c1721c

14、1821c1822c4227 315. 答案： 7 315 7若已知集合p 1,2,3,4,5,6，则集合p的子集中含有3 个元素的子集数为_解析： 由于集合中的元素具有无序性，因此含 3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有c3620 种答案： 20 8不等式c2nn5的解集为 _解析：由 c2nn5，得n(n1)2n5，n23n100. 解得 2n3cx8. 解： (1) 原方程等价于m(m1)(m2)6m(m1)(m2)(m3)4321，4m3，m7. (2) 由已知得：x18，x8，x8，且xn*，cx183cx8，8！(x1)！(9 x) ！38！x！(8 x) ！. 即1

15、9x3x，x3(9 x) ，解得x274，x7,8. 原不等式的解集为7,8 10某区有7 条南北向街道，5 条东西向街道( 如图 ) (1) 图中有多少个矩形？(2) 从a点走向b点最短的走法有多少种？解： (1) 在 7 条南北向街道中任选2 条， 5 条东西向街道中任选2 条，这样4 条线可组成一个矩形，故可组成矩形有c27c25 210(个) (2) 每条东西向的街道被分成6 段，每条南北向街道被分成4 段，从a到b最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10 段，其中6 段方向相同，另4 段方向也相同，每种走法，即是从 10 段中选出6 段，这 6 段是走东西方向的(剩下 4 段即是走南

16、北方向的) ，共有 c610 c410210( 种)走法层级二应试能力达标1若 c4nc6n，则n的集合是 ( ) a6,7,8,9 b0,1,2,3 cn|n6 d 7,8,9 解析：选 a c4nc6n，c4nc6n，n6，?n！4！(n4) ！n！6！(n6)！，n6.?n29n 100，n6，?1n10，n6.nn*，n6,7,8,9. n的集合为 6,7,8,92将标号为1,2,3,4,5,6的 6 张卡片放入3 个不同的信封中， 若每个信封放2 张卡片，其中标号为1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) a12 种 b 18 种c36 种 d 54 种解析：选 b 由题意

17、，不同的放法共有c13c24343218 种3若从 1,2,3 ， 9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ( ) a60 种 b 63 种c65 种 d 66 种解析：选 d 和为偶数共有3 种情况，取4 个数均为偶数的取法有c441 种，取 2 奇数2 偶数的取法有c24c2560 种，取 4 个数均为奇数的取法有c455 种，故不同的取法共有160566 种4过三棱柱任意两个顶点的直线共15 条，其中异面直线有( ) a18 对 b 24 对c30 对 d 36 对解析：选 d 三棱柱共6 个顶点，由此6 个顶点可组成c46312 个不同四面体，而每个四面

18、体有三对异面直线则共有123 36 对5方程 cx17cx16 c2x216的解集是 _解析：因为cx17cx16cx116，所以 cx116c2x 216，由组合数公式的性质，得x 12x 2 或x12x216，得x1 3( 舍去 ) ，x25. 答案： 5 6某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册3 本，从中取出4 本赠送给4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有_种( 用数字作答 ) 解析：两种情况：选2 本画册， 2 本集邮册送给4 位朋友，有c246 种方法；选1本画册，3 本集邮册送给4 位朋友，有 c144 种方法，所以不同的赠送方法共有6410(种 ) 答案： 10 7已知 c4n，c5n，c6n成等差数列，求c12n的值解：由已知得2c5nc4nc6n，所以 2n！5！ (n5) ！n！4！(n4)！n！6！ (n6) ！，整理得n221n98 0，解得n7 或n14，要求 c12n的值，故n12，所以n 14，于是 c1214 c21414132191. 8已知集合aa1，a2，a3，a4，b0,1,2,