二维形式柯西不等式优秀教学设计

1、二维形式柯西不等式教学目标】会证明二维柯西不等式及三角不等式。教学重难点】理解几何意义。教学过程】、复习准备：1提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案： a2b ab (a 0,b 0) 及几种变式。2练习：已知 abcd 为实数，求证 (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2证法：(比较法) (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2 =。 =(ad bc)2 0、讲授新课：1柯西不等式： 提出定理 1：若 abcd 为实数，则 (a b )(c d ) (ac bd) 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？(ac bd)2 (ad bc) 2 (ac bd)2 。 讨论：二维

2、形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(综合法) (a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2 b2c2 b2d 2要点：展开配方)2 2 2 2 证法三：(向量法)设向量 m (a,b)，n (c,d)，则|m| a2 b2 ，|n| c2 d2 。 m n ac bd ，且 m n |m|n|cos m,n ，则 |m n| |m|n| 。证法四：(函数法)设 f (x) (a2 b2)x2 2(ac bd)x c2 d2 ，则f (x) (ax c)2 (bx d)20 恒成立。 2(ac bd)2 4(a2 b2)(c2 d2 ) 0

3、，即。 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式： a2 b2 c2 d2 |ac bd| 或 a2 b2 c2 d2 |ac| |bd|或 a2 b2 c2 d2 ac bd 。 提出定理 2：设 , 是两个向量，则 | | | | | 。 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) 讨论：上面时候等号成立？( 是零向量，或者 , 共线) 练习：已知 abcd 为实数，求证 a b c d (a c) (b d) 。 证法：(分析法)平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？(构造三角形) 2教学三角不等式：出示定理 3：设 x1, y1, x2 , y2R，则x12y12x22y22(x1x

4、2)2(y1y2)2 。分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若 x1,y1,x2, y2 ,x3 , y3 R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？三、应用举例：例 1：已知 a，b 为实数，求证 (a b )(a b ) (a b ) 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路， 又可以简化运算。所以， 经典不等式是数学研究的有力工具。例题 2：求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值。分析：利用不等式解决最值问题， 通常设法在不等式的一边得到一个常数， 并寻找不等式 取等号的条件。 这个函数的解析式是两部分的和， 若能化为 ac+bd 的形式就能用柯西不

5、等式求 其最大值。( | ac bd| a2 b2 c2 d2 )解：函数的定义域为【 1，5】，且 y>0y 5 x 1 2 5 x52 ( 2)2 ( x 1) 2 ( 5 x)227 4 6 3当且仅当 2 x 1 5 5 x 时，等号成立，即127x 12277 时，函数取最大值 6 3课堂练习： 1 证明： (x 2+y4)(a 4+b2) (a2x+by2) 22求函数 y 3 x 5 4 6 x 的最大值。11例 3设 a， b 是正实数， a+b=1，求证 1 1 4 ab1 11 11 1分析：注意到 (a b)( ) ，有了 (a b)() 就可以用柯西不等式了a ba ba b四、巩固练习：1练习：试写出三维形式