二面角求解方法

1、二面角求解方法（总10页）GHALi 页仅作-Company One 1 封面，使用请直接删除二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题 形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结 如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所 成的角就是二面角的平面角。2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由 垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为 二面角的平面角。3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线

2、所成的角就 是二面角的平面角。4、投影法：利用S投影沪S被投細cos&这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题5异面直线距离法：EF2=m2+n2+d22mn cosQ例若p是AABC所在平面外一点，而APBC和AA3C都是边长为2的正三角形,PA=V6,求二面角P-BC-A的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形,故釆用定义法解：取BC的中点E,连接AE、PEV AC=AB, PB=PC.AE丄 BC, PE 1BC- 为二面角P-BC-A的平面角在 PAE 中 AE=PE= x/3 , PA=品ZPEA=90°二二面角P-BC-A

3、的平面角为90%例2:已知A4BC是正三角形，PA丄平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。思维二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。P解1：（三垂线定理法）取AC的中点E,连接BE,过E做EF丄PC,连接BF PA丄平面ABC, PAu平面PAC平面PAC丄平面ABC,平面PACCI平面ABC=AC. BE丄平面PAC由三垂线定理知BF丄PCZBFE为二面角A-PC-B的平面角设PA=1,E为AC的中点，BE二乌EF二芈24BE l.tan ZBFE=J6EF ZBFE=

4、arctan yfb解2：（三垂线定理法）ZFM4为二面角A-PC-B的平面角设PA=1, AM二叵,AS兰竺=竺2PE 75廊停篇=子J4?ZFMA=argsi n 亍解3：（投影法）过B作BE丄AC于E,连结PEP4丄平面ABC, PAu平面PAC平面PAC丄平面ABC,平面PACfl平面ABUAC. BE丄平面PACAPEC是APBC在平面PAC上的射影设 PA=1J!J PB=PC=VI,AB=：LS SPEC由射影面积公式得，C。化斗:.& = argcosV7T,解4：（异面直线距离法）过A作AD丄PC,BE丄PC交PC分别于D、E设 PA=1,则 AD=耳,PB二PC=返

5、. BE=冷=匹,CE= ,DE=返丄 M 4442由异面直线两点间距离公式得AB?二AD2+BE2+DE22ADBES&®"¥，"点评本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。例3：二面角a-EF-p的大小为120。，A是它内部的一点，AB丄a, AC丄0,B、C为垂足。(1) 求证：平面ABC丄&，平面ABC丄0(2) 当AB=4cm/AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：(1)设过ABC的平面交平面&于BD,交平面0于CD. AB丄 a,ABu平面 ABC平面ABC丄a,同理

6、平面ABC丄0(2)vAB丄 a.AB 丄 EF同理AC1EF.EF丄平面ABDC .BD 丄 EF, CD 丄 EFZB DC二 120°ZBAC=60e:.BC= 42 +62 - 2x4x6CO560c = 2街cm有正弦定理得点A到EF的距离为：d=_£_ = ±iHcmsin 603二面角的求法一、复习引入：1、什么是二面角及其平面角范圉是什么 从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角a-1-po 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。 范围：&引0,龙2、二

7、面角出现的状态形式有哪些竖立式2.二面角的类型及基本方法（1）四种常规儿何作求法射影面积法cos 0 =S射影姜边彤/S务边形（2）向量法：设不和齐分别为平面a,戸的法向量，二面角a-1-p的大小为0,向量Vn结论 设不和方分别为平面a,戸的法向量，二面角a-1-p的大小为0,向量不、方的夹角为G）,则有&+血=兀或0 = CD结论：一般地，若设二需分别是平面久0的法向量，则平面Q与平面0所成的二面角&的计算公nnt式是：0 = arccos（当二面角为锐角、直角时）或0 = -arccos/?m（当二面角为钝角时）,其”m中锐角、钝角根据图形确定。二、例题讲解:以锥体为载体，

8、对求角的问题进行研究例1、如图'在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD/BC,ZABC=90°, SA丄平面AC, 丄SA=AB=BC=1, AD=2 求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出SMCD与S/.SAB即可， 故所求的二面角0应满足cos6»=色逛-xlxl一 2点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定 理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。解法2：（三垂线定理法）解：延长CD、BA交于点E,连结SE即平面CSD与平面BSA的交线

9、.乂：DA丄平面SAB, 过A点作SE的垂线交于F如图.9：AD=-BC S.AD/BC2/. 'ADEs 'BCE:.EA=AB=SA乂：SA丄AE SAE为等腰直角三角形，F为中点，AF = -SE = SA = 又丄平面 SAE, AF丄SF 2 2 2山三垂线定理得DF丄SEA ZDFA为二面角的平面角,tanDM = = H即所求二面角的正切值.FA 2评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应 角；三求：通过计算求出相应的角。点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方 法关键是找垂直

10、于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找 垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个 面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。解法3：(向量法)解：如图，建立空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), C(-l, 1, 0), D(0,丄，0), S(0,20, 1),易知平面SAB的法向量为-=(0,丄，0)；设平面SDC的法向量为y, z),而DC=(-1, 2丄，0）, D5=（0, 一, 1）, T：丄面 SDC, ：丄 DC ,方丄万S , m丄朿. 2 2h

11、DC = 0n DS = 0_七=0得一一y+z=O 2'令兀=1 得：y = 2,乙=1。即-=(i, 2, 1)面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角0 ,. cos < n.m >=/. 0 =arccos 3故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos逅.3点评：通过此例可以看出：求二面角大小(空间面面角等于二面角或其补角)的常规方法是构造 三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程 序化，是一种有效方法。搭建平台，自主交流，数形结合

12、，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教 学的重难点，体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。以柱体为载体，对求角的问题进行研究ABBi上的点,且 大小.面DEF与面 个面的交线，所例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC AiBiCi的侧棱AAi和AiD=2BiE=BiCi.求过D、E、Ci的平面与棱柱的下底面所成二面角的 （几何法）解：在平面MiBiB内延长DE和AiBi交于F,则F是ABCi的公共点，Ci也是这两个面的公共点，连结CiF, CiF为这两 求的二面角就是D-CiF-Ai，VA1D/7B1E,且 AiD=2BiE,E、Bi分别为DF和AiF的中点.VAiBi=BiF=B

13、iCi，A FCi丄 ACi又面 AAiCiC丄面 AiBiCi，FCi 在面 AiBiCi 内，/. FCi丄面 AAiCiC.而 DCi 在面 AAiCiC 内, FCi丄 DCi. Z DC1A1 是二面角 D-FCi-Ai 的平面角.nTt由已知AiD=BiC=AiCi, r.ZDCiAi=4所求二面角的大小为7.法2：（向量法）解：建立如图的空间直角坐标系A-小“设则B点,1, 0）,设平面DE。的法向量为-=（x,(0,2,0)/D(0,0/2)/易知平面 AiBiCi 的法向量为:=(0,0,1),/3x + y - z = 02y 2z = 0z)，而窗5,S)，DC =(02

14、-2),由帀旋=0 二Vm DC】=0不妨设x = 0，得）,=2 = 1不=（0, 1,1) . cos < n.m >= /TVffi AiBxCi与面DEC|所成角的二面角为锐角0 ,4点评：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面 角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解 题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一 平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2,这点在二面角的棱上，连公共点和这 点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有

15、两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判 定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4,可知这两条直 线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。课堂反馈练习：如图，直四棱柱 ABCD-AiBiCiDi 的底面是梯形,ABCD, AD丄DC, CD=2, DDi=DA=AB=l, P、Q 分 别是CCi、CiDi的中点，求二面角B-PQ-D的大小。解：建立如图所示的坐标系Dxyz,3(1,1,0), P(0,2,Q(0,l,l) ,A(lz0,0),DA = (1,0,0),丽=(1,1,丄)，珏=(-1,0,1).

16、2因DA丄面PQD,所以DA是面PDQ的法向量。设n =（X.y.z）为面BPQ的法向量，则川丄BPm丄30_X+y + * = 0,解得-x+z=0cos In, DA)= - = ' Z nDAX = z r f .,SXh =(2,1,2),& = 2y7-从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角,32 因此二面角B-PQ-D的大小为arccos-.3点评：二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然

17、后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。三. 课堂小结:二面角的类型和求法可用框图:点评：自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再 次巩固。四、作业:如图，正三棱柱ABC-AlBlCl的底面边长为3,侧棱AA. = -<3 , D是CB延长线上一点，且BD = BC。求二面角BX-AD-B的大小。解：取BC的中点6 连AO。由题意平面ABC丄平面BCCe- AO丄BC , ：. AO丄平面BCC、B以O为原点，建立如图6所示空间3 39A (OA-a/3)，B ( = ,0,0), D (三,0,0)，2 22AD = (,0, V3),2 2i3BXD = (3,-V3,0) , BB； = (O,-