2022年完整版,最新人教版九年级数学上册知识点总结史上最全

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载数学上册学问点总结21.1 一元二次方程学问点一一元二次方程的定义等号两边都为整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数为2（二次）的方程,叫做一元二次方程；留意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数为2；为整式方程；学问点二一元二次方程的一般形式一般形式： ax2 + bx + c = 0a 0.其中, ax2 为二次项, a 为二次项系数； bx 为一次项, b 为一次项系数； c 为常数项；学问点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根；方程的解的定义为解方程过程中验根的依据；

2、21.2 降次解一元二次方程21.2.1 配方法学问点一直接开平方法解一元二次方程（1） ） 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边为非负数,可以直接开平方；一般地,对于形如x2=aa 0 的方程,依据平方根的定义可解得x1=a 、x 2=a .（2） ） 直接开平方法适用于解形如x2=p 或mx+a2=pm0 形式的方程, 假如 p0,就可以利用直接开平方法；（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方1崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载根有两个,它们互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；（4） ） 直接开

3、平方法解一元二次方程的步骤为：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方, 使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程,求出原方程的根；学问点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的为降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；配方法的一般步骤可以总结为：一移.二除.三配.四开；（ 1） 把常数项移到等号的右边；方程两边都除以二次项系数； 方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式； 如等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解；21.2.2 公式法学问点一公式法解一元二次方程（1） ） 一般地,

4、对于一元二次方程ax2+bx+c=0a 0 ,假如 b2-4ac 0,那么方程的两个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b根为 x=2b4ac2a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们可以由一元二方程的系数a、b、c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法；（2） ） 一元二次方程求根公式的推导过程,就为用配方法解一般形式的一元二次方程2ax +bx+c=0a 0 的过程；（3） ） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式： ax2+bx+c=0a0 ,一般 a化为正值确定公式中a、b、c的值,留意符

5、号；2崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2求出 b-4ac 的值；如 b-4ac 0,就把 a、b、c和 b-4ac 的值代入公式即可求解,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22如 b -4ac 0,就方程无实数根；学问点二一元二次方程根的判别式式子 b2-4ac叫做方程ax2 +bx+c=0a0 根的判别式,通常用希腊字母表示它,即=b2-4ac.2 0,方程 ax +bx+c=0a 0 有两个不相等的实数根一元二次方程=0,方程 ax2+bx+c=0a 0 有两个相等的实数根根的判别式2 0,方程 ax +bx+c=0a 0 无实数根21.2 3因式

6、分解法学问点一因式分解法解一元二次方程（1） ） 把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法；（2） ） 因式分解法的具体步骤： 移项,将全部的项都移到左边,右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式. 平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程；3崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 解一元一次方程即可得到原方程的解；学问点二用合适的方法解一元一次方程方 法 名理论依据适用范畴称直接开平平方根的意形如 x2=p 或（ mx+n）2=pp

7、方法义0配方法完全平方公式全部一元二次方程公式法配方法全部一元二次方程因式分解当 ab=0,就 a=0一边为 0,另一边易于分解法或 b=0成两个一次因式的积的一元二次方程；21.2.4一元二次方程的根与系数的关系121212如一元二次方程x2 +px+q=0的两个根为 x 、x、 就有 x +x =-p、xx =q.2bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如一元二次方程ax+bx+c=0a 0 有两个实数根 x1、x 2、 就有 x1+x2=,、x 1x2=aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22.3实际问题与一元二次方程学问点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：（

8、1） ） 审：为指读懂题目,弄清题意,明确哪些为已知量,哪些为未知量以及它们之间的等量关系；（2） ） 设：为指设元,也就为设出未知数；4崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） ） 列：就为列方程,这为关键步骤、 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程；（4） ） 解：就为解方程,求出未知数的值；（5） ） 验：为指检验方程的解为否保证明际问题有意义,符合题意；（6） ） 答：写出答案；学问点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1） ） 数字问题三个连续整数：如设中间的一个数为x,

9、就另两个数分别为x-1 , x+1；三个连续偶数（奇数） ：如中间的一个数为x,就另两个数分别为x-2、x+2 ；三位数的表示方法：设百位.十位.个位上的数字分别为a、b、c,就这个三位数为100a+10b+c.（2） ）增长率问题设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为x,就经过两次的增长或降低后的等量关系为 a（1x ） 2=b；（ 3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价 - 总成本；总利润 =单位利润×总销售量；利润 =成本×利润率（ 4）图形的面积问题依据图形的面积与图形的边.高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出

10、来,建立一元二次方程；二次函数学问点归纳及相关典型题5崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第一部分基础学问精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 定义：一般地,假如yax2bxc a、 b、 c 为常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 二次函数 yax 2 的性质（ 1）抛物线 yax 2 的顶点为坐标原点,对称轴为y 轴.（ 2）函数 yax 2 的图像与 a 的符号关系 .当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；当 a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .精品学习资料精选学习资料 - -

11、- 欢迎下载（ 3）顶点为坐标原点,对称轴为y 轴的抛物线的解析式形式为yax 2（a0）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 二次函数yax 2bxc的图像为对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 二 次 函 数 yax 2bxc用 配 方 法 可 化 成 ： ya xh 2k的 形 式 , 其 中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载hb , k 2a4acb 2.4a精品学习

12、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 二次函数由特殊到一般, 可分为以下几种形式： yax 2 ； yax 2k ； ya xh 2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ya xh 2k ； yax2bxc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. 抛物线的三要素：开口方向.对称轴.顶点.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时,开口向上；当 a0 时,开口向下；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 相等,抛物

13、线的开口大小.外形相同.平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊地, y 轴记作直线 x0 .7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数, 假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向.开口大小完全相同,只为顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点.对称轴的方法6崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（ 1）公式法： yax 2bxc2a xb 2a4acb2 4a,顶点为（b 4ac,2a4ab）,对称轴为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 xb .2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）配方法：运用配方的方法,将抛物

14、线的解析式化为ya xh 2k 的形式,得到顶精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点为 h 、 k ,对称轴为直线 xh .（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线为以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线为抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点为顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 抛物线 yax2bxc 中,a、 b、 c 的作用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） ） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2 中的 a 完全一样 .精品学习资料精选学习资料 - - -

15、 欢迎下载（2） ） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bxc 的对称轴为直线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xb ,故： b2a0 时,对称轴为 y 轴； ba0 （即 a .b 同号）时,对称轴在 y 轴精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载左侧； ba0 （即 a . b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） ） c 的大小打算抛物线yax 2bxc与 y 轴交点的位置 .精品学习资料精选学习资料

16、- - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x0 时, yc ,抛物线 yax 2bxc与 y 轴有且只有一个交点（ 0, c ）：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 c0 ,抛物线经过原点 ; c0 、 与 y 轴交于正半轴；c0 、 与 y 轴交于负半精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2x0 （ y 轴）（0、0 ）yax 2k

17、x0 （ y 轴）0、k 7崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ya xh 2xhya xh 2k当 a0 时xh h 、0 h 、 k 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yax 2bxc开口向上xb 2ab4acb 2,2 a4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a0时开口向下11. 用待定系数法求二次函数的解析式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）一般式： yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x . y 的值,通常挑选一般式 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

18、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1. x2 ,通常选用交点式： ya xx1xx2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12. 直线与抛物线的交点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） y 轴与抛物线 yax 2bxc得交点为 0、c .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）

19、与 y 轴平行的直线 xh 与抛物线 yax 2bxc有且只有一个交点 h 、ah 2bhc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）抛物线与 x 轴的交点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x .x ,为对应一元二次精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12方程 ax 2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（4）平行于

20、x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点. 1 个交点. 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载纵坐标相等,设纵坐标为k ,就横坐标为ax 2bxck 的两个实数根 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0 的图像 g 的交点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由方程组ykxn2的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l

21、 与 g精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yaxbxc有两个交点 ;方程组只有一组解时l 与g 只有一个交点； 方程组无解时l与 g 没有交点 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 6 ）抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc与 x 轴两交点为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a x ,0 , bx ,0,由于x . x 为方程ax 2bxc0 的两个根,故精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1x221212b 、 xxca a22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a

22、bx1x22x1x22x1x24x1 x2b4caab 4acaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次十三章旋转23.1 图形的旋转学问点一旋转的定义在平面内,把一个平面图形围着平面内某一点o转动一个角度,就叫做图形的旋转,点o叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角；我们把旋转中心.旋转角度.旋转方向称为旋转的三要素；学问点二旋转的性质旋转的特点：（1）对应点到旋转中心的距离相等； （ 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（ 3）旋转前后的图形全等；懂得以下几点：（ 1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心9崇德尚学笃行致新精品学习资料精

23、选学习资料 - - - 欢迎下载的距离相等,对应线段相等,对应角相等；（3）图形的大小和外形都没有发生改变,只转变了图形的位置；学问点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（ 2）对应点到旋转中心的距离相等,它为利用旋转的性质作图的关键；步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；转：即把直线按要求绕旋转中心转过肯定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点；接：即连接到所连接的各点；23.2 中心对称学问点一中心对称的定义中心对称：把一个图形围着某一个点旋转180°,假如它能够与另

24、一个图形重合,那么 就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心；留意以下几点：中心对称指的为两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合；学问点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键为作出该图形上关键点关于对称中心的对称点；最终将对称点依据原图形的外形连接起来,即可得出成中心对称图形；学问点三 中心对称的性质有以下几点：（1） ） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心10崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平分；（2） ） 关于中心对

25、称的两个图形能够相互重合,为全等形；（3） ） 关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或共线）且相等；学问点四中心对称图形的定义把一个图形围着某一个点旋转180°,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合,那么 这个图形叫做中心对称图形,这个点就为它的对称中心；学问点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中,假如两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p（x、y ）关于原点对称点为（ -x、-y）；其次十四章 圆24.1 圆24.1.1 圆学问点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内,线段 oa绕它固定的一个端点 o旋转一周,另一个端点 a 所形成的图形叫作圆；固定的端点 o叫

26、作圆心,线段 oa叫作半径；其次种：圆心为 o,半径为 r 的圆可以看成为全部到定点 o的距离等于定长 r 的点的集合；比较圆的两种定义可知： 第一种定义为圆的形成进行描述的,其次种为运用集合的观点下的定义,但为都说明确定了定点与定长,也就确定了圆；学问点二 圆的相关概念（1） ） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径；（2） ） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把11崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆；（3） ） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆；（4） ） 等弧：在同圆或等圆中,

27、能够相互重合的弧叫做等弧；弦为线段,弧为曲线,判定等弧首要的条件为在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才为等弧,而不为长度相等的弧；24.1.2 垂直于弦的直径学问点一圆的对称性圆为轴对称图形,任何一条直径所在直线都为它的对称轴；学问点二垂径定理（ 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧；如下列图,直径c为 cd,ab为弦,且 cd ab,mabam=bm垂足为 mac=bcdad=bd垂径定理的推论：平分弦（不为直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如上图所示,直径cd与非直径弦 ab相交于点 m, cd abam=bmac=bc ad=bd留意：由于圆的

28、两条直径必需相互平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必需不12崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为直径,否就结论不成立；24.1.3 弧.弦.圆心角学问点 弦.弧.圆心角的关系（1） 弦.弧.圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等；（2） 在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等；（3） 留意不能忽视同圆或等圆这个前提条件, 假如丢掉这个条件, 即使圆心角相等, 所对的弧. 弦也不肯定相等, 比如两个同心圆中, 两个圆心角相同, 但此时弧.弦不肯定相等；24.1.4 圆

29、周角学问点一圆周角定理（1） ） 圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2） ） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角为直角,90°的圆周角所对弦为直径；（3） ） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系；“同弧或等弧”为不能改为“同弦或等弦”的,否就就不成立了,由于一条弦所对的圆周角有两类；学问点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形：假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆；13崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载圆内接四边形

30、的性质：圆内接四边形的对角互补；24.2 点.直线.圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系 学问点一点与圆的位置关系（1） 点与圆的位置关系有：点在圆外,点在圆上,点在圆内三种；（2） 用数量关系表示：如设 o的半径为 r ,点 p 到圆的距离 op=d,就有：点 p 在圆外dr ；点 p 在圆上d=r；点 p 在圆内dr ；学问点二过已知点作圆（1） ） 经过一个点的圆（如点a）以点 a 外的任意一点（如点o）为圆心,以 oa为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作很多个；· o1a·o2· o3（2） ） 经过两点的圆（如点a.b）以线段 ab的垂直平分线

31、上的任意一点（如点o）为圆心,以 oa（或 ob）为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作很多个；a14崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b（3） ） 经过三点的圆 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆,且只能作一个圆；如经过不在同一条直线上的三个点a.b.c作圆,作法：连接ab.bc（或 ab.ac或 bc.ac）并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点o, 以点 o为圆心,以 oa（或 ob.oc）的长为半径作圆即可,如图,这样的圆只能作一个；aobc学问点三三角形的外接圆与外心（1） ）

32、 经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆；（2） ） 外接圆的圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心；学问点四反证法（1） ） 反证法：假设命题的结论不成立,经过推理得出冲突,由冲突肯定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫做反证法；15崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） ） 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 从假设动身,经过规律推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相冲突的结论； 由冲突判定假设不正确,从而得出原命题正确；24.2.2 直线和圆的位置关系 学问点一直线与圆的位置关系

33、（1） ） 直线与圆的位置关系有：相交.相切.相离三种；（2） ） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示如设 o的半径为 r ,直线 l与圆心 0 的距离为 d,就有：直线 l和 o相交d r；直线 l和 o相切d = r；直线 l和 o相离d r；学问点二切线的判定和性质（1） ） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线为圆的切线；（2） ） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（3） ） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径； 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；学问点三切线长定理（1） ） 切线长的

34、定义：经过园外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长；（2） ） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；16崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） ） 留意：切线和切线长为两个完全不同的概念,必需弄清晰切线为直线,为不能度量的；切线长为一条线段的长,这条线段的两个端点一个为在圆外一点,另一个为切点；学问点四三角形的内切圆和内心(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做圆的外切三角形；(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心；

35、(3) 留意：三角形的内心为三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已知时,过三角形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角；24.2.3 圆和圆的位置关系 学问点一圆与圆的位置关系（1） ） 圆与圆的位置关系有五种： 假如两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种； 假如两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种； 假如两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交；（2） ） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：如设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别为r 1 r 2、 且 r 1 r 2,就有两圆外离d r 1+r 2两圆外切d=r1+r 2两圆相交r2-r 1

36、dr 1 +r 2两圆内切d=r2-r1两圆内含dr 2-r 124.3 正多边形和圆学问点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系特别亲密,把圆分成n（ n 为大于 2 的自然数）等份,顺次连接各17崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分点所得的多边形为这个圆的内接正多边形,这个圆就为这个正多边形的外接圆；正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距；学问

37、点二正多边形的性质（1） ） 正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成2n 个全等的直角三角形；（2） ） 全部的正多边形都为轴对称图形,每个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时,这个正 n 边形也为中心对称图形,正 n 边形的中心就为对称中心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） ） 正 n 边形的每一个内角等于24.4 弧长和扇形面积n2n180,中心角和外角相等,等于360；n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问点一弧长公式 l=n r180在半径为 r的圆中, 360°的圆心角所对的弧长

38、就为圆的周长c=2r,所以 n°的圆心精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载角所对的弧长的运算公式l=n×2r=nr ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问点二扇形面积公式360180精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2在半径为 r的圆中, 360°的圆心角所对的扇形面积就为圆的面积s=r ,所以圆心角2为 n°的扇形的面积为s 扇形 = nr；360比较扇形的弧长公式和面积公式发觉：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2s 扇形 = nrnr1 r1 lr 、所以s扇形1 lr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载360180222学问点三圆锥的侧面积和全面积18崇德尚学笃行致新精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载圆锥的侧面积为曲面,沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面绽开,简单得到圆锥的侧面展开图为一个扇形；设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r ,那么这个扇形的半径为l ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载扇形的弧长为 2r ,因此圆锥的侧面积s圆锥侧12 rl 2rl ；圆锥的全面积