二元一次方程组的解法教学设计

1、二元一次方程组的解法【教学目标】知识与技能： 根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组。过程与方法： 1通过探索，领会并掌握解二元一次方程的方法。 2体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解 两个一元一次方程，由此感受“划归”思想的广泛应用。情感态度价值观：通过自主探索、合作交流，感受化归的数学思想，从而享受学习数学的乐趣，提高学习数 学的信心。【教学方法】引导发现法，谈话讨论法【课时安排】3 课时【第一课时】【教学重点】应用代入消元法解二元一次方程组【教学难点】了解数学研究中“化未知为已知”的化归思想【教学过程】1创设情境，复习导

2、入（1）已知方程 x 2y 4，先用含 x的代数式表示 y ，再用含 y的代数式表示 x。并比 较哪一种形式比较简单。（2）选择题：元一次方程组 3x 2y 4 的解是5x 2y 6x1 Ay1x 1 x 1 x 1B 1 C 1 D 1yyy2 2 2通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解。那么， 已知一 个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习。今有鸡兔同笼，上有三十五头。 下有九十四足，问鸡兔各几只。 思考讨论：列出二元一次方程组，如何处理才能将二元的转化为一元的呢？ 2探索新知例 1： 解方程 y x 6 x 2y 9 分析：求方程的解的过程

3、叫做方程组， 由方程组的解的概念可知， 解方程组 y x 6 x 2y 9 就是要求出同时满足此方程组中的两个方程的 x和 y的值。由于方程组中同一字母表示同一数 量，所以方程中的 x与方程中的 x 相等，经过一系列的变型，求出方程组的解。 定义：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来， 再代入另一个方程中， 实现消元法，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消 元法，简称代入法。3大家谈谈x y 17（1）你能用上述方法解方程组 吗？5x 3y 75（2）学生活动：积极思考，在练习本上求解，研究如何消元，然后小组讨论，互相交流 教师巡视指导，发现并纠

4、正学生的问题，把书写过程规范化。方程（ 1）的 x的系数是 1，所以将（ 1）变形，代入另一个方程消元比较简单。 解：由，得 y=17-x 把代入，得 5x+3（17-x ）=75，5x+51-3x=75，2x=24，x=12 把 x=12 代入，得 y=5x 12y5检验后，师生共同讨论：1)2)对于本题，你还可以怎样求解？把 y 37代入可以求出 y 吗？(可以)代入或有什么好处？(运算简便)3)谈一谈解二元一次方程组的基本思路。上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法。你能简单说说用代入法解二元 次方程组的基本思路吗？4)(5)引导学生自主解决课本中大家谈谈的解方程组的题。 学生活动：

5、小组讨论，选代表发言，教师进行指导。纠正后归纳：设法消去一个未知数， 把二元一次方程组转化为一元一次方程。教师补充说明，最后完整地总结定义。 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来， 代入另一个方 程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解。 代入消元法 (elimination by substitution)，简称 代入法 。4变式训练，培养能力 课本“练习”。这种解方程组的方法叫做1)2)51由 y 5x 1可以得到用 y表示 x84在y ax b 中 ， 当 x 5 时 ， y 6 ； 当 x 1 时 ，选择：若x2是方程组y1mx ny 1的

6、解，则（nx my 8)m2m 3 m 1m1AB C Dn3n2n8n65总结、扩展 谈谈你这节课的收获是什么？解二元一次方程组的思想通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确。6课时小结通过本节课的学习，同学们一定会体会到方程组中的两个未知数一般不能同时求出来的， 必须先想办法消去一个未知数， 把方程组的问题化为我们已学过的一元一次方程的问题， 这种 思想方法叫做“消元法”。 解二元一次方程组的基本思想方法就是通过“消元”将二元转化为 “一元”。代入法是解二元一次方程组的一种基本方法。【第二课时】【教学重点】熟练应用代入消元法解二元一次方程组。【教学难点】

7、灵活应用代入消元法解二元一次方程组。【教学过程】1复习引入x y 17（1）例 2：（1）方程组如何求解？解题思想是什么？解题的步骤是什5x 3y 75（2）么？（2）将方程 2x 7y 8 写成用含 x的代数式表示 y的形式；写成用含 y 的代数式 表示 x 的形式。2探索新知通过上一节的学习， 我们知道解二元一次方程组的基本思想是消元， 而且当方程组中有一 个方程可以直接变为用一个未知数来表示另一个未知数的形式时，就可以用直接代入法求解。现在研究不具备上述条件的二元一次方程组，如何求解呢？例 3： 解方程组 3x 10y 14 （1）10x 15y 32 （2）引导学生思考： （1）从一个

8、方程中求出 x=含 y 的代数式，或 y=含 x 的代数式，具体应怎 样实现这一步？（2）如果由某个方程实现了（ 1）中的表示法，将它代入到哪一个方程转化为一元一次方 程？（3）怎样求出另一个未知数的值？学生活动： 积极思考上述问题， 按自己的想法解这个方程组。 然后向大家展示并讲解不同 解法老师鼓励学生互相点评，对每一种解法进行相应的肯定和完善，并板书标准解题过程。分析：这里两个方程中未知数的系数都不是 1，方程中 x 的系数是 3，比较简单，可以 将方程中的 x用含 y的代数式表示出来。解：由得 3x=14-10yx 14 10y将代入，得 10 14 10y 15y 323即 140-1

9、00y+45y=96化简得 y 45把y4 代入，得 x 25原方程组的解为3一起探究 通过解上面例题，大家总结一下解二元一次方程组的一般步骤。 学生活动：尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言。 之后，看课本，试着用几个字概括每个步骤。教法说明：学生可以真正理解每个步骤的含义，并提高总结概括能力 教师板书：1）变形（ y ax b ）2）代入消元（ y ）3）解一元一次方程得（ x ）4）把 x代入 y ax b 求解5）检验求得的结果是否正确。4大家谈谈例 4：解方程组7x 4y 10 04x 2y 5 0分析：（1）你准备对哪个方程进行变形？用含有哪个未知数的代数式

10、表示另一个未知数？ 怎样表示？（2）如何代入另一个方程中？ 学生活动：自主完成例 3 教师巡视，及时纠正学生的错误。找两名学生板演 总结：可见对每个二元一次方程组，若用代入消元法来解， 从哪个方程将哪个未知数用另 一个未知数表示出来都是可以的，但应该选择表示方法尽可能简单的。5巩固练习：用代入法解下列方程组3x 2y 5 5x 2y 15（1），6x 5y 1 8x 3y 232）错例辨析：解方程组 46xx 32yy 15 （2（1）1解：由得 y 1 1 6x 1把代入，得 6x 2 1 1 6x 12下略说明：把代入消元时，只能代入没有变形的方程中，不能代入，因为是变形来 的，把代入中最

11、终会出现 00 的形式。6总结、扩展（1）用代入法解二元一次方程组的步骤。 （2）用代入法解二元一次方程组的技巧：变形的技巧代入的技巧。（3）对一般形式的二元一次方程组用代入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消什么 元。选取的原则是：选择未知数的系数是 1或 1的方程；若未知数的系数不是 1 或1， 选系数的绝对值较小的方程。（4）对运算的结果养成检验的习惯。【第三课时】教学重点】熟练应用加减法消元法解二元一次方程组。教学难点】用减法消元时，当减去一个负系数时，总以为这个负系数为“ - ”就是减号。教学过程】1创设情境，复习导入（先引入课本的两思路问题） （1）用代入法解二元一次方程组的基本思

12、想是什么？ （2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确。例 5： 5x 3y 16(1)x2x 3y 2(2)y2学生活动：口答第（ 1）题，在练习本上完成第（ 2）题，一个同学说出结果。 上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”， 从而得 到了方程组的解。对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化 “二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容。2一起探究（1）上面第（ 2）题的两个方程中，未知数 y 的系数有什么特点？（互为相反数）。（2）能否根据这一特点来尽快实现消元，得到一个一元一次方程呢？试着解这个方程组 并与

13、同学交流。学生思考、讨论，按自己的想法来解。找学生说出自己的做法。 一位同学的做法：根据等式的性质， 如果把这两个方程的左边与左边相加， 右边与右边相 加，就可以消掉 y ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解。解：，得 7x 14x=2把 x 2 代入，得 10 3y 16 y 2x2y23做一做，谈一谈比较用这种方法得到的 x、 y 值是否与用代入法得到的相同。（相同） 上面方程组的两个方程中，因为 y 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去 了y。3x 2y 7练习：解方程组3x y 5分析：哪个未知数的系数有特点？（ x的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 x

14、 ？ （相减）学生活动：仿照上题消元的思路独自求解此题。解：，得 y=2把 y 2 代入，得 3x+2=53x=3x=1x1y2谈一谈：（ 1）检验一下，所得结果是否正确？（2）用可以消掉 x 吗？（可以）是用，还是用计算比较简单？（ 简单）（3）把 y=2代入， x的值是多少？ （1），是代入计算简单还是代入计算简单？ （代 入系数较简单的方程）提问：比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加 减法） 在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数） 什么条件下用加法、什么条件下用减法？ （某个未知数的系数互为相反数时用加法， 系 数相等时

15、用减法）小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等。例 6： 解方程组 5x 6y 7 （1）2x 3y 4 （2） （1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合） （2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（× 2）归纳：如果两个方程中， 未知数系数的绝对值都不相等， 可以在方程两边都乘以同一个适 当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元。学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示。解：× 2，得4x+6y=8- ，得x=-1把 x=-1 代入，得 -2+3y=4 ，即 y=2x1所以，方程组的解是 。y2谈一谈：（ 1）在例 5的解法中，×2 的目的是什么？ - 的目的是什么？（2）在例 5 的方程组中，进行怎样的变形可以由两个方程的加（或减）消去未知数x？我们将原方程组的两个方程相加或相减， 把“二元”化成了“一元”， 从而得到了方程组 的 解 。 像 这 种 解 二 元 一 次 方 程 组 的 方 法 叫 加 减 消 元 法 （ elimination by addition or subtraction ），简称“ 加减法 ”。学生活动：总结用加减