构造法在立体几何解题中的应用

1、    构造法在立体几何解题中的应用    周洪玉【摘 要】文章就立体几何教材中常见的一些基本立体图形进行梳理，同时对这些典型的基本图形在解题中应用进行分析。【关键词】化归思想；构造法；基本图形解决数学问题的过程，本质上就是不断的叙述问题、转化问题，直到找到某些能解决问题的“东西”的过程，同时转化也是减少运算的重要途径，从而使解题速度得到提高。可以说，数学问题的解决过程无不是在不间断的转化过程中得到解决的。因此解决数学问题的过程中我们提倡“遇困难，要转化”的基本思想方法，这就是的高中数学重要的转化与归的思想方法。转化与化归思想：指在研究的和解决数学问题时

2、，将遇到的难解决的问题，通过某种转化，归结为已经解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决。转化与化归的原则：将不熟悉的问题转化为熟知的问题熟悉化原则；将抽象的问题转化为具体直观的问题 直观化原则；将复杂问题转化为简单的问题简单化原则；正面讨论比较困难时，应从问题的反面去探求正难则反原则。转化与化归思想的要素：转化什么、转化到何处去、怎么进行转化、有几种转化方式。转化与化归的方法：换元法、数形结合法、参数法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、一般方法、等价问题法、补集法等。其中构造法指“构造”出一个合适数学模型，从而把问题转化成易于解决的问题。一、利用教材中立体几何中的基本图形“解决”问

3、题立体几何解题的重要基础是作图，几何作图的基本原则，强调立体与实际，因此解决问题过程中要善于利用教材中典型例题、典型习题、公理、定理、性质“解决”所对应的基本图形，现将就这些典型的基本图形在解题中应用进行分析。教材问题：如果有一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上。教材习题：经过一个角的顶点引这所在平面的斜射线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，求证：这条斜线在平面内的射影是这个的平分线。三垂线定理，基本构成：一面四线三垂直，可处理空间两直线的垂直问题、点直线的距离问题。最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线与这个平面内经

4、边斜足的直线所成的一切角中最小的角，可得公式cos=cos1cos2，公式也可用来求异面直线所成的角。长方体的性质：长方体的一条对角线长的平方等于同一个顶点上三条棱长的平方和；体对角线长等于它外接球的半径；可将一个对棱相等的空间四面体内置于长方体内；共点的两两互垂的三条线段可构造一个长方体。正方体的性质：正方体是特殊的长方体，正四面体可内置于正方体；正四面体的相关距离、角度计算中借助正方体来研究；正方体有外接球、内切球、内嵌球（内切球不断膨胀与正方体的所有棱均相切）；共点且两夹角相等三条直线由正四面体来构造。球的截面的性质：一个平面截一个球面，所得的截线是以球心在截面内的射影为圆心，以r=（其

5、中r为球的半径，d为球心到截面的距离）为半径的一个圆，截面是一个圆。平面的法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，那么向量a叫球做平面的法向量。二、巧用构造基本图形：解决“问题”立体几何常见问题有证明空间的平行与垂直关系、空间角、空间距离等。问题的解决一般有两条途径，即两种转化方式，：空间问题平面化、构造基本图形来解决问题；两种方法：传统的几何法（找证算）、空间向量坐标法（建系点的坐标向量的坐标代入公式运算）。例：如右图，adp为正三角形，四边形abcd为正方形，平面pad平面abcd，m为平面abcd内的一动点，且满足mp=mc，则点m在正方形ab

6、cd内的轨迹为（点o为正方形abcd的中心）（）a b c d分析：对于条件mp=mc易联想平面几何中的结论：平面内一动点m到线段pc两端点的距离相等，动点m在线段pc的中垂线上，往空间拓展，则中垂线过线段的中心，中垂线的方向呢？不确定，动起来，形成一个平面，即线段pc的中垂面，至此构造了一个点m所在平面；题设又要求点m同时必须在平面ac上，那么点m在两个平面的交线上，是一条线段，故排除选c、d，如何确定这条交线呢？找两个点，两个平面的公共点，结合选项，选项b中的点b不能充当点m的角色，排除选项b，正确选项为a，可进一步进行验证。例：四面积pabc可，三条侧棱两两垂直，m是面abc内一点，且点

7、m到三个面pab、pac、pbc的距离分别是2、3、6，则点m到顶点p的距离是（）。分析：如图可构造出满足条件的长方体，其体对角线长7即为所求。.例：已知二面角-1-的大小为60°，m、n为异面直线，且m、n，则m、n所成的角为（）a.30° b.60° c.90° d.120°分析：易联想教材中的习题，但有些不同，m、n为异面直线，而不是相交直线，能转化吗？根据异面直线成角的概念，平移转化为相交直线成角空间问题平面化，答案易确定为d，错了，忽略了异面直线的范围，因此要注意思维的严谨性：求角，在哪里、如何的转化。例：如图正三棱锥a-bcd中，e

8、、f分别是ab、bc中点，efde，且ac=1，则正三棱锥a=bcd的外接球的体积（）a. b. c. d.分析：正三棱锥对棱垂直，得acbd，由efde，得ac平面abd，结论：ab、ac、ad两两垂直，构造正方体，构造外接球，体对角线与球的直径相等，得球的半径r=，正确选项为c。例：过空间一点作四条射线，每两条射线所成的角均相等，那么这个角的余弦值为（）分析：法一、构成正四面体，中心为p，与四个顶点连接起来，在三角形中完成计算。法二：构造正四面体，中心为p，过点p分别作四个面的垂线，转化为求侧面与底面所成二面角的补角问题，同样可以完成计算，答案为例：已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别

9、截球面得两个圆，若两圆的公共弦为2，则两圆的圆心距等于（）a.1 b. c. d.2分析：做图难，辅助线多；转化难。法一：做球面，两个平面截此球面，截面圆相交弦长为2，弦ab中点c。思路一：球面的截面的性质指导结引作图，连oo1，连oo2，构造平面，得矩形oo1co2；思路二：转化为平面，局部研究，其中一个截面圆，圆心o1，弦ab弦ab中点c，连o1c.同理：连o2c，连oo1，连oo2，得矩形oo1co2.在rtobc中，oc=法二：特殊化处理，使其中一个截面圆o2过球心o，则oo1=o1o2=。高中阶段，几乎每一个问题均要用到转化与化归的思想，当我们在研究数学问题思维受阻时，可等价转化为另

10、一种情形，即另一种情境使问题得到解决，这是一条有效解决问题的途径，同时高考对此思维想的考查也尤其重视，借此对考生的数学能力进行区分，因此在教学中要“善用，妙用”，以优化教学质量，更提高学生的数学能力和素质。endprint【摘 要】文章就立体几何教材中常见的一些基本立体图形进行梳理，同时对这些典型的基本图形在解题中应用进行分析。【关键词】化归思想；构造法；基本图形解决数学问题的过程，本质上就是不断的叙述问题、转化问题，直到找到某些能解决问题的“东西”的过程，同时转化也是减少运算的重要途径，从而使解题速度得到提高。可以说，数学问题的解决过程无不是在不间断的转化过程中得到解决的。因此解决数学问题的

11、过程中我们提倡“遇困难，要转化”的基本思想方法，这就是的高中数学重要的转化与归的思想方法。转化与化归思想：指在研究的和解决数学问题时，将遇到的难解决的问题，通过某种转化，归结为已经解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决。转化与化归的原则：将不熟悉的问题转化为熟知的问题熟悉化原则；将抽象的问题转化为具体直观的问题 直观化原则；将复杂问题转化为简单的问题简单化原则；正面讨论比较困难时，应从问题的反面去探求正难则反原则。转化与化归思想的要素：转化什么、转化到何处去、怎么进行转化、有几种转化方式。转化与化归的方法：换元法、数形结合法、参数法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、一般方法、等价问

12、题法、补集法等。其中构造法指“构造”出一个合适数学模型，从而把问题转化成易于解决的问题。一、利用教材中立体几何中的基本图形“解决”问题立体几何解题的重要基础是作图，几何作图的基本原则，强调立体与实际，因此解决问题过程中要善于利用教材中典型例题、典型习题、公理、定理、性质“解决”所对应的基本图形，现将就这些典型的基本图形在解题中应用进行分析。教材问题：如果有一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上。教材习题：经过一个角的顶点引这所在平面的斜射线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，求证：这条斜线在平面内的射影是这个的平分线。三垂线定理，基本构成：一面

13、四线三垂直，可处理空间两直线的垂直问题、点直线的距离问题。最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线与这个平面内经边斜足的直线所成的一切角中最小的角，可得公式cos=cos1cos2，公式也可用来求异面直线所成的角。长方体的性质：长方体的一条对角线长的平方等于同一个顶点上三条棱长的平方和；体对角线长等于它外接球的半径；可将一个对棱相等的空间四面体内置于长方体内；共点的两两互垂的三条线段可构造一个长方体。正方体的性质：正方体是特殊的长方体，正四面体可内置于正方体；正四面体的相关距离、角度计算中借助正方体来研究；正方体有外接球、内切球、内嵌球（内切球不断膨胀与正方体的所有棱均相切

14、）；共点且两夹角相等三条直线由正四面体来构造。球的截面的性质：一个平面截一个球面，所得的截线是以球心在截面内的射影为圆心，以r=（其中r为球的半径，d为球心到截面的距离）为半径的一个圆，截面是一个圆。平面的法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，那么向量a叫球做平面的法向量。二、巧用构造基本图形：解决“问题”立体几何常见问题有证明空间的平行与垂直关系、空间角、空间距离等。问题的解决一般有两条途径，即两种转化方式，：空间问题平面化、构造基本图形来解决问题；两种方法：传统的几何法（找证算）、空间向量坐标法（建系点的坐标向量的坐标代入公式运算）。例：如右图

15、，adp为正三角形，四边形abcd为正方形，平面pad平面abcd，m为平面abcd内的一动点，且满足mp=mc，则点m在正方形abcd内的轨迹为（点o为正方形abcd的中心）（）a b c d分析：对于条件mp=mc易联想平面几何中的结论：平面内一动点m到线段pc两端点的距离相等，动点m在线段pc的中垂线上，往空间拓展，则中垂线过线段的中心，中垂线的方向呢？不确定，动起来，形成一个平面，即线段pc的中垂面，至此构造了一个点m所在平面；题设又要求点m同时必须在平面ac上，那么点m在两个平面的交线上，是一条线段，故排除选c、d，如何确定这条交线呢？找两个点，两个平面的公共点，结合选项，选项b中的

16、点b不能充当点m的角色，排除选项b，正确选项为a，可进一步进行验证。例：四面积pabc可，三条侧棱两两垂直，m是面abc内一点，且点m到三个面pab、pac、pbc的距离分别是2、3、6，则点m到顶点p的距离是（）。分析：如图可构造出满足条件的长方体，其体对角线长7即为所求。.例：已知二面角-1-的大小为60°，m、n为异面直线，且m、n，则m、n所成的角为（）a.30° b.60° c.90° d.120°分析：易联想教材中的习题，但有些不同，m、n为异面直线，而不是相交直线，能转化吗？根据异面直线成角的概念，平移转化为相交直线成角空间问题平

17、面化，答案易确定为d，错了，忽略了异面直线的范围，因此要注意思维的严谨性：求角，在哪里、如何的转化。例：如图正三棱锥a-bcd中，e、f分别是ab、bc中点，efde，且ac=1，则正三棱锥a=bcd的外接球的体积（）a. b. c. d.分析：正三棱锥对棱垂直，得acbd，由efde，得ac平面abd，结论：ab、ac、ad两两垂直，构造正方体，构造外接球，体对角线与球的直径相等，得球的半径r=，正确选项为c。例：过空间一点作四条射线，每两条射线所成的角均相等，那么这个角的余弦值为（）分析：法一、构成正四面体，中心为p，与四个顶点连接起来，在三角形中完成计算。法二：构造正四面体，中心为p，过

18、点p分别作四个面的垂线，转化为求侧面与底面所成二面角的补角问题，同样可以完成计算，答案为例：已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦为2，则两圆的圆心距等于（）a.1 b. c. d.2分析：做图难，辅助线多；转化难。法一：做球面，两个平面截此球面，截面圆相交弦长为2，弦ab中点c。思路一：球面的截面的性质指导结引作图，连oo1，连oo2，构造平面，得矩形oo1co2；思路二：转化为平面，局部研究，其中一个截面圆，圆心o1，弦ab弦ab中点c，连o1c.同理：连o2c，连oo1，连oo2，得矩形oo1co2.在rtobc中，oc=法二：特殊化处理，使其中一个截面圆

19、o2过球心o，则oo1=o1o2=。高中阶段，几乎每一个问题均要用到转化与化归的思想，当我们在研究数学问题思维受阻时，可等价转化为另一种情形，即另一种情境使问题得到解决，这是一条有效解决问题的途径，同时高考对此思维想的考查也尤其重视，借此对考生的数学能力进行区分，因此在教学中要“善用，妙用”，以优化教学质量，更提高学生的数学能力和素质。endprint【摘 要】文章就立体几何教材中常见的一些基本立体图形进行梳理，同时对这些典型的基本图形在解题中应用进行分析。【关键词】化归思想；构造法；基本图形解决数学问题的过程，本质上就是不断的叙述问题、转化问题，直到找到某些能解决问题的“东西”的过程，同时转

20、化也是减少运算的重要途径，从而使解题速度得到提高。可以说，数学问题的解决过程无不是在不间断的转化过程中得到解决的。因此解决数学问题的过程中我们提倡“遇困难，要转化”的基本思想方法，这就是的高中数学重要的转化与归的思想方法。转化与化归思想：指在研究的和解决数学问题时，将遇到的难解决的问题，通过某种转化，归结为已经解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决。转化与化归的原则：将不熟悉的问题转化为熟知的问题熟悉化原则；将抽象的问题转化为具体直观的问题 直观化原则；将复杂问题转化为简单的问题简单化原则；正面讨论比较困难时，应从问题的反面去探求正难则反原则。转化与化归思想的要素：转化什么、转化到何处

21、去、怎么进行转化、有几种转化方式。转化与化归的方法：换元法、数形结合法、参数法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、一般方法、等价问题法、补集法等。其中构造法指“构造”出一个合适数学模型，从而把问题转化成易于解决的问题。一、利用教材中立体几何中的基本图形“解决”问题立体几何解题的重要基础是作图，几何作图的基本原则，强调立体与实际，因此解决问题过程中要善于利用教材中典型例题、典型习题、公理、定理、性质“解决”所对应的基本图形，现将就这些典型的基本图形在解题中应用进行分析。教材问题：如果有一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上。教材习题：经过一个角的顶

22、点引这所在平面的斜射线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，求证：这条斜线在平面内的射影是这个的平分线。三垂线定理，基本构成：一面四线三垂直，可处理空间两直线的垂直问题、点直线的距离问题。最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线与这个平面内经边斜足的直线所成的一切角中最小的角，可得公式cos=cos1cos2，公式也可用来求异面直线所成的角。长方体的性质：长方体的一条对角线长的平方等于同一个顶点上三条棱长的平方和；体对角线长等于它外接球的半径；可将一个对棱相等的空间四面体内置于长方体内；共点的两两互垂的三条线段可构造一个长方体。正方体的性质：正方体是特殊的长方体，正四面体

23、可内置于正方体；正四面体的相关距离、角度计算中借助正方体来研究；正方体有外接球、内切球、内嵌球（内切球不断膨胀与正方体的所有棱均相切）；共点且两夹角相等三条直线由正四面体来构造。球的截面的性质：一个平面截一个球面，所得的截线是以球心在截面内的射影为圆心，以r=（其中r为球的半径，d为球心到截面的距离）为半径的一个圆，截面是一个圆。平面的法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，那么向量a叫球做平面的法向量。二、巧用构造基本图形：解决“问题”立体几何常见问题有证明空间的平行与垂直关系、空间角、空间距离等。问题的解决一般有两条途径，即两种转化方式，：空间问

24、题平面化、构造基本图形来解决问题；两种方法：传统的几何法（找证算）、空间向量坐标法（建系点的坐标向量的坐标代入公式运算）。例：如右图，adp为正三角形，四边形abcd为正方形，平面pad平面abcd，m为平面abcd内的一动点，且满足mp=mc，则点m在正方形abcd内的轨迹为（点o为正方形abcd的中心）（）a b c d分析：对于条件mp=mc易联想平面几何中的结论：平面内一动点m到线段pc两端点的距离相等，动点m在线段pc的中垂线上，往空间拓展，则中垂线过线段的中心，中垂线的方向呢？不确定，动起来，形成一个平面，即线段pc的中垂面，至此构造了一个点m所在平面；题设又要求点m同时必须在平面

25、ac上，那么点m在两个平面的交线上，是一条线段，故排除选c、d，如何确定这条交线呢？找两个点，两个平面的公共点，结合选项，选项b中的点b不能充当点m的角色，排除选项b，正确选项为a，可进一步进行验证。例：四面积pabc可，三条侧棱两两垂直，m是面abc内一点，且点m到三个面pab、pac、pbc的距离分别是2、3、6，则点m到顶点p的距离是（）。分析：如图可构造出满足条件的长方体，其体对角线长7即为所求。.例：已知二面角-1-的大小为60°，m、n为异面直线，且m、n，则m、n所成的角为（）a.30° b.60° c.90° d.120°分析：易联想教材中的习题，但有些不同，m、n为