2022届高三数学一轮复习（原卷版）第七章 7.1不等关系与不等式-教师版

1、 进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，ab，a<b三种关系中的一种()(2)若>1，则a>b.(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变(×)(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小(×)(5)a>b>0，c>d>0>.()(6)若ab>0，则a>b<.()阶段训练题型一比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1，a2(0,1)，记ma1a2，na1a21，则m与n的大小关系是()am<n bm&g

2、t;ncmn d不确定(2)若a，b，c，则()aa<b<c bc<b<acc<a<b db<a<c答案(1)b(2)b解析(1)mna1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0.(a11)(a21)>0，即mn>0.m>n.(2)方法一易知a，b，c都是正数，log8164<1，所以a>b；log6251 024>1，所以b>c.即c<b<a.方法二对于函数yf(x)，y，易知当x&

3、gt;e时，函数f(x)单调递减因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系(1)设a，b0，)，a，b，则a，b的大小关系是()aab babca<b da>b(2)若a1816

4、，b1618，则a与b的大小关系为_答案(1)b(2)a<b解析(1)a0，b0，a2b2a2b(ab)20，ab.(2)()16()16()16()16，(0,1)，()16<1，1816>0,1618>0，1816<1618，即a<b.题型二不等式的性质例2(1)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()aab>ac bc(ba)<0ccb2<ab2 dac(ac)>0(2)若<<0，则下列不等式：ab<ab；|a|>|b|；a<b；ab<b2中，

5、正确的不等式有()a b c d答案(1)a(2)c解析(1)由c<b<a且ac<0知c<0且a>0.由b>c得ab>ac一定成立(2)因为<<0，所以b<a<0，ab<0，ab>0，所以ab<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是.思维升华解决此类问题常有两种方法：一是直接利用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件若a>0>b>a，c<d<0，

6、则下列结论：ad>bc；<0；ac>bd；a(dc)>b(dc)中成立的个数是()a1 b2 c3 d4答案c解析方法一a>0>b，c<d<0，ad<0，bc>0，ad<bc，故错误a>0>b>a，a>b>0，c<d<0，c>d>0，a(c)>(b)(d)，acbd<0，<0，故正确c<d，c>d，a>b，a(c)>b(d)，ac>bd，故正确a>b，dc>0，a(dc)>b(dc)，故正确，故选c.方法二取特

7、殊值题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3已知a>b>0，给出下列四个不等式：a2>b2；2a>2b1；>；a3b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()a bc d答案a解析方法一由a>b>0可得a2>b2，成立；由a>b>0可得a>b1，而函数f(x)2x在r上是增函数，f(a)>f(b1)，即2a>2b1，成立；a>b>0，>，()2()222b2()>0，>，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3<2a2b，不成立故选a.方法

8、二令a3，b2，可以得到a2>b2，2a>2b1，>均成立，而a3b3>2a2b不成立，故选a.命题点2求代数式的取值范围例4已知1<x<4,2<y<3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4,2)(1,18)解析1<x<4,2<y<3，3<y<2，4<xy<2.由1<x<4,2<y<3，得3<3x<12,4<2y<6，1<3x2y<18.引申探究1若将已知条件改为1<x<y<3，求xy的取值范围解1<

9、x<3，1<y<3，3<y<1，4<xy<4.又x<y，xy<0，4<xy<0，故xy的取值范围为(4,0)2若将本例条件改为1<xy<4,2<xy<3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1<xy<4,2<xy<3，<(xy)<10,1<(xy)<，<(xy)(xy)<，即<3x2y<，3x2y的取值范围为(，)思维升华(1)判断不等式是否成立的方法判断不等式是否成立，需要逐一给出推

10、理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是()a.> ba2<abc.< dan>bn(2)设a>b>1，c&

11、lt;0，给出下列三个结论：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有正确结论的序号是()a bc d答案(1)c(2)d解析(1)(特殊值法)取a2，b1，逐个检验，可知a，b，d项均不正确；c项，<|b|(|a|1)<|a|(|b|1)|a|b|b|<|a|b|a|b|<|a|，a<b<0，|b|<|a|成立，故选c.(2)由不等式性质及a>b>1知<，又c<0，>，正确；构造函数yxc，c<0，yxc在(0，)上是减函数，又a>b>1，ac<bc，正确；a&g

12、t;b>1，c<0，ac>bc>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，正确第3课时阶段重难点梳理1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，br)；(2)作商法 (ar，b>0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bc注意c的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nn，n1)a，b同为正数可开方性a>b>0&g

13、t;(nn，n2)【知识拓展】不等式的一些常用性质(1)倒数的性质a>b，ab>0<.a<0<b<.a>b>0,0<c<d>.0<a<x<b或a<x<b<0<<.(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则<；>(bm>0)>；<(bm>0)重点题型训练典例设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_错解展示解析由已知得得32a6，64a12，又由可得2ab1，得02b3，32b0，又f(2)4a

14、2b，34a2b12，f(2)的取值范围是3,12答案3,12现场纠错解析方法一由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点a(，)时，取得最小值4×2×5，当f(2)4a2b过点b(3,1)时，取得最大值4×32×110，5f(2)10.答案5,10纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()a.> b.>

15、c|a|>b d.>答案b解析由题设得a<ab<0，所以有<成立，即>不成立2若a，b都是实数，则“>0”是“a2b2>0”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析>0>a>ba2>b2，但由a2b2>0>0.3若a，br，且a|b|<0，则下列不等式中正确的是()aab>0 ba3b3>0ca2b2<0 dab<0答案d解析由a|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b0时，ab<0成立，当b<0时，ab&l

16、t;0成立，ab<0成立.故选d.4若0<a<b，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_答案a<2ab<<a2b2<b解析0<a<b且ab1，a<<b<1，2b>1且2a<1，a<2b·a2a(1a)2a22a22<.即a<2ab<，又a2b2(ab)22ab12ab>1，即a2b2>，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b1>0，b1<0，a2b2b<0，a2b2<b，综上，a<2ab<<a2

17、b2<b.作业布置1已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()aad>bc bac>bdcac>bd dac>bd答案d解析由不等式的同向可加性得ac>bd.2若6<a<10，b2a，cab，那么c的取值范围是()a9c18 b15<c<30c9c30 d9<c<30答案d解析cab3a且cab，9<ab3a<30.3已知x>y>z，xyz0，则下列不等式成立的是()axy>yz bxz>yzcxy>xz dx|y|>z|y|答案c解析x>

18、;y>z且xyz0，x>0，z<0，又y>z，xy>xz.4设a，br，则“(ab)·a2<0”是“a<b”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析由(ab)·a2<0a0且a<b，充分性成立；由a<bab<0，当0a<b时 (ab)·a2<0，必要性不成立5设(0，)，0，那么2的取值范围是()a(0，) b(，)c(0，) d(，)答案d解析由题设得0<2<，0，0，<2<.6已知a，b，cr，那么下列命题中正确

19、的是()a若a>b，则ac2>bc2b若>，则a>bc若a3>b3且ab<0，则>d若a2>b2且ab>0，则<答案c解析当c0时，可知a不正确；当c<0时，可知b不正确；对于c，由a3>b3且ab<0，知a>0且b<0，所以>成立，c正确；当a<0且b<0时，可知d不正确7若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()aa>b b.>ca>b d.>答案a解析取a2，b1，排除b，d；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1

20、上递减，在1，)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a>ba>b，但g(a)>g(b)未必成立，故选a.8若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是()a.< blog2a>log2bca2b22a2b2 db<<<a答案c解析(a1)2(b1)2>0(由a>b>0，得a，b不能同时为1)，a2b22a2b2>0，a2b2>2a2b2，c项一定不成立9已知a，b，cr，有以下命题：若a>b，则ac2>bc2；若ac2>bc2，则a>b；若a&

21、gt;b，则a·2c>b·2c.其中正确命题的序号是_答案解析不对，因为c2可以为0；对，因为c2>0；对，因为2c>0.10已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_答案ab>c解析alog23log2log23，blog29log2log23，ab，又alog23>1，clog32<1，a>c.故ab>c.11已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab>0，bcad>0，则>0；若ab>0，>0，则bcad>0；若bcad>0，>0，则ab>0.其中正确的命题是_答案解析ab>0，bcad>0，>0，正确；ab>0，又&