2022届高三数学一轮复习（原卷版）单元测试四

1、 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1函数 ycos2x6的最小正周期是 ( ) a.2 b c2 d4 解： 函数 ycos2x6的最小正周期 t22.故选 b. 2(2017天津)设 r，则“1212”是“sin12”的 ( ) a充分而不必要条件 b必要而不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 解：根据条件，由1212得 06，推出 sin12，而当 sin12时，取 6，612412.故选 a. 3(2016江西三校联考)函数 ysin2x 的图象的一个对称中心为 ( ) a(0，0) b. 4，0 c

2、.4，12 d.2，1 解：因为 ysin2x1cos2x2，令 2x2k，kz，所以 x4k2，kz，所以函数 ysin2x 的图象的一个对称中心为4，12.故选 c. 4(2016全国卷) 函 数 f(x) cos2x 6cos2x 的最大值为 ( ) a4 b5 c6 d7 解：因为 f(x)12sin2x6sinx2sinx322112，而 sinx1，1，所以当 sinx1 时，f(x)取最大值 5.故选 b. 5已知函数 f(x)cos2x3cos2x，其中xr，给出下列四个结论： 函数 f(x)是最小正周期为 的奇函数； 函数 f(x)图象的一条对称轴是直线 x23； 函数 f(

3、x)图象的一个对称中心为512，0 ； 函数 f(x)的递增区间为k6，k23，kz. 则正确结论的个数是 ( ) a1 b2 c3 d4 解：f(x) cos2x3cos2xcos2xcos3sin2xsin3cos2xsin2x6， 不是奇函数， 错；f23sin4361， 正确； f512sin0，正确；令 2k22x62k32，kz，得 k6xk23，kz，正确综上知正确结论的个数为 3.故选 c. 6(2018届湖南永州第三次联考)将函数 f(x)sin(2x)|2的图象向左平移6个单位后的图象关于原点对称，则函数 f(x)在0，2上的最小值为 ( ) a.32 b.12 c12 d

4、32 解： 将函数 f(x)sin(2x)|f(3)， 要得到函数f(x)的图象， 可将函数 y2cosx3的图象 ( ) a向右平移12个单位长度 b向右平移6个单位长度 c向左平移12个单位长度 d向左平移6个单位长度 解：函数 f(x)2cosx3 的一个对称中心是(2，0)，即 f(2)0，所以 2cos23 0，23 2 k(kz) ， 6 k(kz) ， f(x) 2cosx36k. 因 为f(1)f(3) ， 所 以2cos6k 2cos56k ， 故不妨取 k0， 6，f(x)2cosx362cos3x12，可将函数 y2cosx3的图象向右平移12个单位长度故选 a. 12若

5、 tan2tan5，则cos310sin5 ( ) a1 b2 c3 d4 解：cos310sin5coscos310sinsin310sincos5cossin5 cos310tansin310tancos5sin5cos3102tan5sin3102tan5cos5sin5 cos5cos3102sin5sin310sin5cos5 cos5cos310sin5sin310cos25sin31012sin25 3cos10cos103.故选 c. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分 13已知 sin13， 则 sin(2 019)_. 解：sin(2 019)sin(

6、)sin13.故填13. 14cos43cos77sin43cos167的值为_ 解 ： cos43 cos77 sin43 cos167 cos43cos77sin43(sin77)cos12012.故填12. 15(2017北京)在平面直角坐标系 xoy 中，角 与角 均以 ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 sin13，则 sin_. 解：如图， 作出单位圆，假设角 与角 终边与单位圆的交点分别为 a， b， 根据 sin13， 得 a 的纵坐标为13.， 的终边关于 y 轴对称， 则 b 的纵坐标为13， 所以 sinsin13.故填13. 16在abc 中， 若ab ac7，

7、 |abac|6，则abc 的面积的最大值为_ 解：设角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，则由已知条件可知 bccosa7，a6.由余弦定理可知36b2c214，故 b2c250，2bcb2c250，故 bc25.sabc12bcsina 12bc1cos2a 12bc149（bc）212（bc）249122524912，当 bc5 时等号成立，故所求的最大值为 12.故填 12. 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)(2017江苏)已知向量 a (cosx，sinx)，b(3， 3)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)

8、a b， 求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解： (1)因为 a(cosx， sinx)， b(3， 3)， ab，所以 3cosx3sinx. 若 cosx0， 则 sinx0， 与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cosx0.于是 tanx33.又 x0， ， 所以 x56. (2)f(x)a b(cosx，sinx) (3， 3) 3cosx 3sinx2 3cosx6. 因为 x0，所以 x66，76， 从而1cosx632. 于是，当 x66，即 x0 时，f(x)取到最大值3； 当 x6，即 x56时，f(x)取到最小值2 3. 18(12 分)(2017天津)在

9、abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c.已知 ab，a5，c6，sinb35. (1)求 b 和 sina 的值； (2)求 sin2a4的值 解：(1)在abc 中，因为 ab，故由 sinb35，可得 cosb45. 由已知及余弦定理，有 b2a2c22accosb13，所以 b 13. 由正弦定理asinabsinb，得 sinaasinbb3 1313. 所以，b 的值为 13，sina 的值为3 1313. (2)由(1)及 ac，得 cosa2 1313，所以 sin2a2sinacosa1213，cos2a12sin2a513. 故 sin2a4sin2acos

10、4cos2asin47 226. 19(12 分)(2018哈师大附中高三三模)已知 a (2sinx ， sinx cosx) ， b (cosx ， 3(sinxcosx)，00，所以 b4. 20(12 分)(2017全国卷)abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.已知 sina 3cosa0，a2 7，b2. (1)求 c； (2)设 d 为 bc 边上一点， 且 adac， 求abd的面积 解：(1)由已知可得 tana 3，所以 a23. 在abc 中，由余弦定理得 284c24ccos23， 即 c22c240. 解得 c6(舍去)，或 c4. (2)由题设可得ca

11、d2， 所以badbaccad6. 故abd 面积与acd 面积的比值为 12abadsin612acad1. 又abc 的面积为1242sinbac2 3， 所以abd 的面积为 3. 21(12 分)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)cosx 的图象经如下变换得到： 先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)， 再将所得到的图象向右平移2个单位长度 (1)求函数 f(x)的解析式， 并求其图象的对称轴方程； (2)已知关于 x 的方程 f(x)g(x)m 在0，2)内有两个不同的解 ，求实数 m 的取值范围 解：(1)将 g(x)cosx 的图象上所有点的

12、纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y2cosx 的图象， 再将 y2cosx 的图象向右平移2个单位长度后得到 y2cosx2 的图象，故 f(x)2sinx，从而函数f(x)2sinx 图象的对称轴方程为 xk2(kz) (2)f(x)g(x)2sinxcosx525sinx15cosx5sin(x)(其中 sin15，cos25) 依题意，sin(x)m5在区间0，2)内有两个不同的解 ，当且仅当m51，故 m 的取值范围是( 5， 5) 22(12 分)设 f(x)sinxcosxcos2x4. (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角abc 中，角 a，b，c 的对边分别为a，b，c.若 fa20，a1，求abc 面积的最大值 解：(1)由题意知 f(x)sin2x21cos2x22 sin2x21sin2x2sin2x12. 由22k2x22k，kz， 可得4kx4k，kz； 由22k2x322k，kz， 可得4kx34k，kz. 所 以 函 数f(x) 的