2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 等比数列及其前n项和 教案

1、1第三节第三节等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系， 并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的数学表达式为an1anq(nn*，q 为非零常数)(2)等比中项：如果 a， g， b 成等比数列， 那么 g 叫做 a 与 b 的等比中项 即g 是 a 与

2、 b 的等比中项a，g，b 成等比数列g2ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1amqnm.(2)前 n 项和公式：snna1（q1） ，a1（1qn）1qa1anq1q（q1）.常用结论等比数列的常用性质1在等比数列an中，若 mnpq2k(m，n，p，q，kn*)，则 amanapaqa2k2 若数列an， bn(项数相同)是等比数列， 则an(0)，1an， a2n， an bn，anbn仍然是等比数列3等比数列an的前 n 项和为 sn，则 sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为 qn，其中当公比为1 时，n 为偶数时除外2一、思考辨析(正确的打“”，错误

3、的打“”)(1)满足 an1qan(nn*，q 为常数)的数列an为等比数列()(2)g 为 a，b 的等比中项g2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 sna（1an）1a.()(5)数列an为等比数列，则 s4，s8s4，s12s8成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改编1在等比数列an中，a32，a78，则 a5等于()a5b5c4d4ca25a3a72816，a54.又a5a3q20，a54.2等比数列an的前 n 项和为 sn，已知 s3a210a1，a59，则 a

4、1()a.13b13c.19d19cs3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1，即公比 q29，又 a5a1q4，a1a5q498119.故选 c.3在数列an中，a12，an12an，sn为an的前 n 项和若 sn126，则n_6a12，an12an，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列又sn126，2（12n）12126，解得 n6.4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 mb，然后每 3 秒自身3复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_秒，该病毒占据内存 8 gb(1 gb210mb)39由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列a

5、n，且 a12，q2，an2n，则 2n8210213，n13.即病毒共复制了 13 次所需时间为 13339(秒)考点 1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，q，n，sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前 n 项和公式时，注意分 q1 和 q1 两类分别讨论1.设 sn为等比数列an的前 n 项和，已知 3s3a42，3s2a32，则公比 q()a3b4c5d6b因为 3s3a42， 3s2a32， 所以两式相减， 得 3(s3s2)(a42)(a32)，即 3a3a4a3，得

6、a44a3，所以 qa4a34.2(2019全国卷)记 sn为等比数列an的前 n 项和若 a113，a24a6，则s5_1213设等比数列的公比为 q，由已知 a113，a24a6，所以13q3213q5，又q0，所以 q3，所以 s5a1（1q5）1q13（135）131213.43等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 sn，已知 a332，s392，则 a2_3 或32法一：(直接法)数列an是等比数列，当 q1 时，a1a2a332，显然 s33a392.当 q1 时，由题意可知a1（1q3）1q92，a1q232，解得 q12或 q1(舍去)a2a3q32(2)3.综上可知

7、a23 或32.法二：(优解法)由 a332得 a1a23.a3q2a3q3，即 2q2q10，q12或 q1.a2a3q3 或32.4(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记 sn为an的前 n 项和，若 sm63，求 m.解(1)设an的公比为 q，由题设得 anqn1.由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2.故 an(2)n1或 an2n1(nn)5(2)若 an(2)n1，则 sn1（2）n3.由 sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解若 an2n1，则 sn2n1.由 sm63 得 2m64，解得 m6.综上，m

8、6.抓住基本量 a1,q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优，如 t3，方法二避免了讨论考点 2等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若an1anq(q 是不为零的常数)，则数列an是等比数列；(2)等比中项法：若 a2n1anan2(nn，an0)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若 anaqn(a，q 是不为零的常数)，则数列an是等比数列设数列an中， a11， a253， an253an123an， 令bnan1an(nn*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)an253an123an，an2a

9、n123(an1an)，而 bnan1an，bn123bn，又 b1a2a123，bn是首项为23，公比为23的等比数列(2)由(1)知 bn2323n123n，anan123n1，6an(anan1)(an1an2)(a2a1)a112323223n1123n1233323n.逆向问题已知数列an的前 n 项和为 sn，且 sn2an3n(nn*)(1)求 a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数，使得an为等比数列？若存在，求出的值和通项公式 an，若不存在，请说明理由解(1)当 n1 时，s1a12a13，解得 a13，当 n2 时，s2a1a22a26，解得 a29，当 n3 时，s3

10、a1a2a32a39，解得 a321.(2)假设an是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面证明an3为等比数列：sn2an3n，sn12an13n3，an1sn1sn2an12an3，即 2an3an1，2(an3)an13，an13an32，存在3，使得数列an3是首项为 a136，公比为 2 的等比数列an362n1，即 an3(2n1)(nn*)(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2) 已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方

11、法求解，如本例的逆向问题教师备选例题设数列an的前 n 项和为 sn，已知 a11，sn14an2.(1)设 bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式7解(1)证明：由 a11 及 sn14an2，有 a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又sn14an2，sn4an12（n2） ，得 an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 bnan12an32n1，an12n1an2n34，故an2n是首项为12，公差为34的等差数列an2n

12、12(n1)343n14，故 an(3n1)2n2.(2019全国卷)已知数列an和bn满足 a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明： 由题设得 4(an1bn1)2(anbn)， 即 an1bn112(anbn)又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)知，anbn12n1，anbn2n1.所以 an1

13、2(anbn)(anbn)12nn12，8bn12(anbn)(anbn)12nn12.考点 3等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为 3 类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(1)一题多解已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()a7b5c5d7(2)设 sn是等比数列an的前 n 项和，若s4s23，则s6s4()a2b.73c.310d1 或 2(3)已知等比数列an共有 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_(1)d(2)b

14、(3)2(1)法一：(基本量法)设数列an的公比为 q，则由题意得a4a7a1q3a1q62，a5a6a1q4a1q5a21q98，所以q32，a11或q312，a18，所以 a1a10a1(1q9)7.法二：(性质法)由a4a72，a5a6a4a78，解得a42，a74或a44，a72.所以q32，a11或q312，a18，所以 a1a10a1(1q9)7.9(2)设 s2k，s43k，数列an为等比数列，s2，s4s2，s6s4也为等比数列，又 s2k，s4s22k，s6s44k，s67k，s6s47k3k73，故选b.(3)由题意，得s奇s偶240，s奇s偶80，解得s奇80，s偶160

15、，所以 qs偶s奇160802.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和 sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度教师备选例题数列an是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的 4 倍，前三项之积为 64，则此数列的通项公式 an_.1213n1设此数列an的公比为 q，由题意，知 s奇s偶4s偶，所以 s奇3s偶，所以 qs偶s奇13.又 a1a2a364，即 a1(a1q)(a1q2)a31q364，所以 a1q4.又 q13，所以 a112，所以 ana1qn11213n1.1.已知数列an是等比数列，若 a21，a518，则 a1a2a2a3anan1(nn)的最小值