2022届高三数学一轮复习（原卷版）第8讲　第2课时　高效演练分层突破

1、 基础题组练 1直线 l 与抛物线 c：y22x 交于 a，b 两点，o 为坐标原点，若直线 oa，ob 的斜率分别为 k1，k2，且满足 k1k223，则直线 l 过定点( ) a(3，0) b(0，3) c(3，0) d(0，3) 解析：选 a设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为 k1k223，所以y1x1y2x223.又 y212x1，y222x2，所以 y1y26.将直线 l：xmyb 代入抛物线 c：y22x 得 y22my2b0，所以 y1y22b6，得 b3，即直线 l 的方程为 xmy3，所以直线 l 过定点(3，0) 2以下四个关于圆锥曲线的命题： 设 a，b 为两个

2、定点，k 为正数，若|pa|pb|k，则动点 p 的轨迹是双曲线； 方程 2x25x20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线x225y291 与椭圆x235y21 有相同的焦点； 已知抛物线 y22px，以过焦点的一条弦 ab 为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为_(写出所有真命题的序号) 解析：a，b 为两个定点，k 为正数，|pa|pb|k，当 k|ab|时，动点 p 的轨迹是两条射线，故错误； 方程 2x25x20 的两根为12和 2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确； 双曲线x225y291 的焦点坐标为( 34，0)，椭圆x235y21 的焦点坐标为( 34，

3、0)，故正确； 设 ab 为过抛物线焦点 f 的弦，p 为 ab 中点，a，b，p 在准线 l 上的射影分别为 m，n，q， 因为 apbpambn，所以 pq12ab， 所以以 ab 为直径作圆，则此圆与准线 l 相切，故正确 故正确的命题有. 答案： 3(2020 福建五校第二次联考)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，上顶点m 到直线 3xy40 的距离为 3. (1)求椭圆 c 的方程； (2)设直线 l 过点(4，2)，且与椭圆 c 相交于 a，b 两点，l 不经过点 m，证明：直线ma 的斜率与直线 mb 的斜率之和为定值 解：(1)由题意可得，eca32，|

4、b4|23，a2b2c2，解得a4，b2， 所以椭圆 c 的方程为x216y241. (2)证明：易知直线 l 的斜率恒小于 0，设直线 l 的方程为 y2k(x4)，k0 且 k1，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 联立y2k(x4)，x216y241 得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0， 则 x1x216k(2k1)14k2，x1x264k(k1)14k2， 因为 kmakmby12x1y22x2 (kx14k4)x2(kx24k4)x1x1x2， 所以 kmakmb2k(4k4)x1x2x1x22k4(k1)16k(2k1)64k(k1) 2k(2k1)1(为定值)

5、 4(2019 高考全国卷)已知曲线 c：yx22，d 为直线 y12上的动点，过 d 作 c 的两条切线，切点分别为 a，b. (1)证明：直线 ab 过定点； (2)若以 e0，52为圆心的圆与直线 ab 相切，且切点为线段 ab 的中点，求该圆的方程 解：(1)证明：设 dt，12，a(x1，y1)，则 x212y1. 由于 yx，所以切线 da 的斜率为 x1，故y112x1tx1. 整理得 2tx12y110. 设 b(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直线 ab 的方程为 2tx2y10. 所以直线 ab 过定点0，12. (2)由(1)得直线 ab 的方程为 ytx

6、12.由ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21. 设 m 为线段 ab 的中点，则 mt，t212. 由于emab，而em(t，t22)，ab与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0. 解得 t0 或 t 1. 当 t0 时，|em|2，所求圆的方程为 x2y5224； 当 t 1 时，|em| 2，所求圆的方程为 x2y5222. 综合题组练 1(2020 广州市调研测试)已知动圆 c 过定点 f(1，0)，且与定直线 x1 相切 (1)求动圆圆心 c 的轨迹 e 的方程； (2)过点 m(2，0)的任一条直线 l 与轨迹 e 交于

7、不同的两点 p，q，试探究在 x 轴上是否存在定点 n(异于点 m)，使得qnmpnm？若存在，求点 n 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)法一：依题意知，动圆圆心 c 到定点 f(1，0)的距离，与到定直线 x1 的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心 c 的轨迹 e 是以 f(1，0)为焦点，x1 为准线的抛物线，其中 p2. 所以动圆圆心 c 的轨迹 e 的方程为 y24x. 法二：设动圆圆心 c(x，y)，依题意得(x1)2y2|x1|， 化简得 y24x，即为动圆圆心 c 的轨迹 e 的方程 (2)假设存在点 n(x0，0)满足题设条件 由qnmpnm 可知，直线 pn 与

8、 qn 的斜率互为相反数，即 kpnkqn0. 易知直线 pq 的斜率必存在且不为 0，设直线 pq：xmy2， 由y24x，xmy2得 y24my80. 由 (4m)2480，得 m 2或 m 2. 设 p(x1，y1)，q(x2，y2)，则 y1y24m，y1y28. 由得 kpnkqny1x1x0y2x2x0 y1(x2x0)y2(x1x0)(x1x0)(x2x0)0， 所以 y1(x2x0)y2(x1x0)0 即，y1x2y2x1x0(y1y2)0. 消去 x1，x2，得14y1y2214y2y21x0(y1y2)0， 即14y1y2(y1y2)x0(y1y2)0. 因为 y1y20，

9、所以 x014y1y22， 所以存在点 n(2，0)，使得qnmpnm. 2 已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦点分别为 f1(1， 0)， f2(1， 0)， 点 a1，22在椭圆 c 上 (1)求椭圆 c 的标准方程； (2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 c 有两个不同交点 m，n 时，能在直线 y53上找到一点 p，在椭圆 c 上找到一点 q，满足pmnq？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 解：(1)设椭圆 c 的焦距为 2c，则 c1， 因为 a1，22在椭圆 c 上， 所以 2a|af1|af2|2 2， 所以 a 2，b2a2c21， 所以椭圆 c 的方程为x22y21. (2)不存在满足条件的直线，证明如下： 设直线的方程为 y2xt， 设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，px3，53，q(x4，y4)，mn 的中点为 d(x0，y0)， 由y2xt，x22y21消去 x， 得 9y22tyt2