2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4讲　第1课时　高效演练分层突破

1、 基础题组练 1 (2020 河南豫南九校联考)设定义在(0， )上的函数 f(x)的导函数 f(x)满足 xf(x)1，则( ) af(2)f(1)ln 2 bf(2)f(1)1 df(2)f(1)1f(x)1x(ln x)， 即 f(x)(ln x)0.令 f(x)f(x)ln x，则 f(x)在(0，)上单调递增，故 f(2)ln 2f(1)ln 1，即 f(2)f(1)ln 2. 2若 0 x1x2ln x2ln x1 be x2e x1x1e x2 dx2e x1x1e x2 解析：选 c令 f(x)exx， 则 f(x)xexexx2ex（x1）x2. 当 0 x1 时，f(x)0

2、， 即 f(x)在(0，1)上单调递减，因为 0 x1x21， 所以 f(x2)f(x1)，即e x2x2x1e x2，故选 c 3已知函数 f(x)aexln x1.(e2.718 28是自然对数的底数) (1)设 x2 是函数 f(x)的极值点，求实数 a 的值，并求 f(x)的单调区间； (2)证明：当 a1e时，f(x)0. 解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1x. 由题设知，f(2)0，所以 a12e2. 从而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x. 当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0. 所以 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)

3、上单调递增 (2)证明：当 a1e时，f(x)exeln x1. 设 g(x)exeln x1，则 g(x)exe1x. 当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0时，g(x)g(1)0. 因此，当 a1e时，f(x)0. 4(2020 武汉调研)已知函数 f(x)ln xax，ar. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 a0 时，证明：f(x)2a1a. 解：(1)f(x)1xax2xax2(x0) 当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增 当 a0 时，若 xa，则 f(x)0，函数 f(x)在(a，)上单调递增； 若

4、 0 xa，则 f(x)0 时，f(x)minf(a)ln a1. 要证 f(x)2a1a，只需证 ln a12a1a， 即证 ln a1a10. 令函数 g(a)ln a1a1，则 g(a)1a1a2a1a2(a0)， 当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0， 所以 g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以 g(a)ming(1)0. 所以 ln a1a10 恒成立， 所以 f(x)2a1a. 5(2020 福州模拟)已知函数 f(x)eln xax(ar) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 ae 时，证明：xf(x)ex2ex0. 解：(1)f(x)exa(

5、x0) 若 a0，则 f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增； 若 a0，则当 0 x0，当 xea时，f(x)0，所以只需证 f(x)exx2e，当 ae 时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 所以 f(x)maxf(1)e. 记 g(x)exx2e(x0)， 则 g(x)（x1）exx2， 所以当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，g(x)单调递增， 所以 g(x)ming(1)e. 综上，当 x0 时，f(x)g(x)，即 f(x)exx2e， 即 xf(x)ex2ex0. 6已知函数 f(x)ln xex(r) (1)若函数 f(x)是单调函

6、数，求 的取值范围； (2)求证：当 0 x11x2x1. 解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)， 因为 f(x)ln xex， 所以 f(x)xexxexx， 因为函数 f(x)是单调函数， 所以 f(x)0 或 f(x)0 在(0，)上恒成立， 当函数 f(x)是单调递减函数时，f(x)0， 所以xexx0，即 xex0，xexxex. 令 (x)xex，则 (x)x1ex， 当 0 x1 时，(x)1 时，(x)0， 则 (x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以当 x0 时，(x)min(1)1e，所以 1e. 当函数 f(x)是单调递增函数时，f(x)0， 所以xexx0，即 xex0，xexxex， 由得 (x)xex在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又 (0)0，x 时，(x)0，所以 0. 综上， 的取值范围为，1e0，) (2)证明：由(1)可知，当 1e时， f(x)1eln xex在(0，)上单调递减， 因为 0 x1f(x2)， 即1eln x1ex11eln x2ex2， 所以 e1x2e1x1ln x1ln x2. 要证 e1x2e1x11x2x1， 只需证 ln x1ln x21x2x1