2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点04 不等式及性质（解析版）

1、考点04 不等式及性质【命题解读】不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。【基础知识回顾】 1、两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2、不等式的性质(1)对称性：a>bb<a；(2)传递性：a>b，b>cac；(3)可加性：a>bacbc；a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc; a>b>0，c>d>0ac>bd； c&

2、lt;0时应变号(5)可乘方性：a>b>0anbn(nn，n1)；(6)可开方性：a>b>0 (nn，n2)3、常见的结论(1)a>b，ab>0<.(2)a<0<b<.(3)a>b>0,0<c<d>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0<<.4、两个重要不等式若a>b>0，m>0，则(1)<；>(bm>0)(2)>；<(bm>0)1、下列四个命题中，为真命题的是()a若a>b，则ac2>bc2

3、b若a>b，c>d，则ac>bdc若a>|b|，则a2>b2d若a>b，则<【答案】c【解析】当c0时，a不成立；2>1，3>1，而23<1(1)，故b不成立；a2，b1时，d不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选c2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设，则下列不等式中恒成立的是（ ）abcd【答案】cd【解析】当，满足条件但不成立，故a错误，当时，故b错误，则，故c正确，故d正确.故选：cd3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）.a若，则b若，则c若，

4、且，则d若，且，则【答案】bcd【解析】选项a：当取，时，本命题是假命题.选项b：已知，所以，故，本命题是真命题.选项c：，本命题是真命题.选项d：，本命题是真命题.故选：bcd4、若a，b，则a_b(填“”或“”)【答案】【解析】：易知a，b都是正数，log891，所以ba.5、已知1<x<4,2<y<3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_【答案】：(4,2)(1,18)【解析】1<x<4,2<y<3，3<y<2，4<xy<2.由1<x<4,2<y<3，得3<3x<12,4&

5、lt;2y<6，1<3x2y<18.考向一不等式的性质例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）a若，则b若，则c若则d若则【答案】bc【解析】若，则，故a错；若，则，化简得，故b对；若，则，又，则，故c对；若，则，故d错；故选：bc变式1、若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()a. b. c. d.【答案】c【解析】方法一因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除a，b，d.方法二由0

6、，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.变式2、已知x，yr，且x>y>0，则()a>0 bsinxsiny>0cxy<0 dln xln y>0【答案】c【解析】函数yx在(0，)上为减函数，当x>y>0时，x<y，即xy<0，故c正确；函数y在(

7、0，)上为减函数，由x>y>0<<0，故a错误；函数ysinx在(0，)上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故b错误；x>y>0¿xy>1¿ln (xy)>0¿ln xln y>0，故d错误变式3、（2020·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ）a若ab0，则a2b2b若ab4，则ab4c若ab，则ac2bc2d若ab0，m0，则【答案】ad【解析】对于a，若，根据不等式的性质则，故a正确；对于b，当，时，显然b错误；对于c，当时，故c错误；对于d，因

8、为，所以，所以所以，即成立，故d正确故选ad方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.考向二 不等式的比较大小例2、设a>b>0，试比较与的大小解法一(作差法)：因为a>b>0，所以ab>0，ab>0，2ab>0所以>0，所以>解法二(作商法)

9、：因为a>b>0，所以>0，>0所以1>1所以>变式1、若a<0，b<0，则p与qab的大小关系为()ap<q bpqcp>q dpq【答案】：b【解析】(作差法)pqab(b2a2)·，因为a<0，b<0，所以ab<0，ab>0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq<0，故p<q.综上，pq.故选b.变式2、已知a>b>0，比较aabb与abba的大小【解析】 ，又a>b>0，故>1，ab>0，>1，即>1，又abba>0，aab

10、b>abba，aabb与abba的大小关系为aabb>abba.变式3、设0<x<1，a>0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小解法一：当a>1时，由0<x<1知，loga(1x)<0，loga(1x)>0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)，0<1x2<1，loga(1x2)<0，从而loga(1x2)>0，故|loga(1x)|>|loga(1x)|当0<a<1时，同样可得|loga(1x)|>|loga(

11、1x)|解法二(平方作差)：|loga(1x)|2|loga(1x)|2loga(1x)2loga(1x)2loga(1x2)·logaloga(1x2)·loga>0|loga(1x)|2>|loga(1x)|2，故|loga(1x)|>|loga(1x)|方法总结：比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差变形判断差与0的大小得出结论(2)作商法，其步骤：作商变形判断商与1的大小得出结论(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小考向三 运用不等式求代数式的取值范围例3、设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.

12、【答案】5，10【解析】方法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.变式1、设那么的取值范围是_【答案】 【解析】：由题设得， 变式2、(2020·天津模拟)若，满足<<<，则2的取值范围是()a<2<0 b<2<c<2< d0<2<【答案】c【解析】：<<，<2<.<<，<<，<

13、;2<.又<0，<，2<.故<2<.方法总结：求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围1、（2019年高考全国ii卷理数）若a>b，则aln(ab)>0b3a<3bca3b3>0da>b【答案】c【解析】取，满足，知a错，排除a；因为，知b错，排除b；取，满足，知d错，排除d，因为幂函数是增函数，所以，故选c2、（2016新课标，理8）若，则abcd【答案】c【解析】，函数在上为增函数，故，故错误，函数在上为减函数，故，故，即；故错误；，且，即，即故错误；，故，即，即，故正确；故选3、（20

14、14山东）若，则一定有（ ）a b c d【答案】d【解析】由，又，由不等式性质知：，所以，故选d4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若，则下列不等式中正确的是（ ）abcd【答案】ad【解析】对a，由指数函数的单调性可知，当，有，故a 正确；对b，当时，不成立，故b错误；对c，当时，不成立，故c错误；对d，成立，从而有成立，故d正确；故选：ad.5、已知，则的取值范围是 【答案】【解析】令则，又，得则6、若则的大小关系是_【答案】【解析】：7、(1)若bcad0，bd>0，求证：；(2)已知c>a>b>0，求证：>.证明(1)bcad，bd>0，11，.(2)c>a>b>0，ca>0，cb>0.a>