专题09 平面向量 9.3三角形四心及面积问题 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

1、题九 平面向量讲义9.3 三角形四心及面积问题题型一. 三角形四心考点1.重心1已知abc和点m满足ma+mb+mc=0若存在实数m使得am=m(ab+ac)成立，则m（）a1b12c13d14【解答】解：因为ab+ac=am+mb+am+mc=2am+mb+mc，又ma+mb+mc=0，所以mb+mc=ma=am，则ab+ac=2am+am=3am，所以am=13(ab+ac)，所以m=13，故选：c2已知o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足op=oa+（ab|ab|sinb+ac|ac|sinc）0，+），则点p的轨迹一定通过abc的（）a外心b内心c重心d垂心【

2、解答】解：|ab|sinb=|ac|sinc设它们等于t，op=oa+1t（ab+ac）而ab+ac=2ad1t（ab+ac）表示与ad共线的向量ap而点d是bc的中点，所以即p的轨迹一定通过三角形的重心故选：c3已知点p是abc所在平面内，且使得|pa|2+|pb|2+|pc|2取得最小值的点，则点p是abc的（）a重心b外心c垂心d内心【解答】解：根据题意，设oa=a，ob=b，oc=c，op=p，则|pa|2+|pb|2+|pc|2=(ap)2+(bp)2+(cp)2=3p22（a+b+c）p+（a2+b2+c2），当p=13（a+b+c）时，上式取得最小值，此时p是abc的重心故选：a

3、考点2.内心1o是平面上一定点，a，b，c是平面上不共线的三个点，动点p满足op=oa+(ab|ab|+ac|ac|)，0，+)，则p的轨迹一定通过abc的内心【解答】解：由于o是平面上一定点，a，b，c是平面上不共线的三个点，动点p满足op=oa+(ab|ab|+ac|ac|)，0，+)，即p在bac的平分线上，所以p的轨迹一定通过abc的内心故答案为：内2已知o是abc所在平面上的一点，a、b、c所对的边的分别为a，b，c，若aoa+bob+coc=0，则o是abc的（）a重心b垂心c外心d内心【解答】解：ob=abao，oc=acaoaoa+bob+coc=aoa+b（abao）+c（a

4、cao）bab+cac（a+b+c）ao而 aoa+bob+coc=0，（a+b+c）ao=bab+cac即 ao=ba+b+cab+ca+b+cac记ab=cn1，ac=bn2，其中n1、n2分别表示ab、ac方向上的单位向量则 ao=bca+b+c（n1+n2）由该式可以看出ao位于bac的角平分线上，故知o只能为内心，即角平分线交点故选：d考点3.外心1设p是abc所在平面内的一点，若ab(cb+ca)=2abcp，且|ap|=|cp|则点p是abc的（）a外心b内心c重心d垂心【解答】解：取ab的中点d，则ca+cb=2cd，ab(cb+ca)=2abcp，即2abcd=2abcp，a

5、b（cdcp）0，即abpd=0，p在ab的中垂线上，papb，又apcp，p为abc的外心故选：a2设p是abc所在平面内的一点，若ab(cb+ca)=2abcp且ab2=ac22bcap则点p是abc的（）a外心b内心c重心d垂心【解答】解：如图所示，取ab的中点d，则cb+ca=2cd，ab（cb+ca）2abcp，即2abcd=2abcp，ab（cdcp）=abpd=0，即abpd，p在ab的中垂线上，又ab2=ac22bcap（ab+ac）（abac）2bcap，（ab+ac）cb=2bcap，即cb（ab+ac）2cbap，点p也在bc的中垂线上，点p是abc的外心故选：a考点4.

6、垂心1已知o为abc所在平面上一点，且oa2+bc2=ob2+ca2=oc2+ab2，则o一定为abc的（）a外心b内心c重心d垂心【解答】解：oa2+bc2=ob2+ca2，oa2+（ocob）2=ob2+（oaoc）2，即oa2+ob2+oc22ocob=oa2+ob2+oc22ocoa，即ocob=ocoa，即oc（oboa）=ocab=0，即ocab，同理，obac，oabco是abc的垂心故选：d2o是平面上一定点，a，b，c平面上不共线的三个点，动点p满足op=oa+(ab|ab|cosabc+ac|ac|cosbca)，r，则p的轨迹一定通过abc的（）a外心b内心c重心d垂心【

7、解答】解：如图所示，过点a作adbc，垂足为d点则bcab|ab|cosabc=|bc|ab|cos(b)|ab|cosabc=|bc|，同理bcac|ac|cosacd=|bc|，动点p满足op=oa+(ab|ab|cosabc+ac|ac|cosbca)，rap=(ab|ab|cosabc+ac|ac|cosacd)，rapbc=(bcab|ab|cosabc+bcac|ac|cosacd)=(|bc|+|bc|)=0，apbc，因此p的轨迹一定通过abc的垂心故选：d题型二. 面积问题奔驰定理1已知点o为三角形abc内一点，oa+2ob+3oc=0，则sabcsaoc=3【解答】解：如图

8、，取bc中点d，ac中点e，连接oa，ob，oc，od，oe；oa+2ob+3oc=(oa+oc)+2(ob+oc) =2oe+4od =0 oe=2od；d，o，e三点共线，即de为abc的中位线；de=32oe，ab2de；ab3oe；sabcsaoc=3故答案为：32在abc中，d为三角形所在平面内一点，且ad=13ab+12ac，则sbcdsabd=（）a16b13c12d23【解答】解：由已知，在abc中，d为三角形所在平面内一点，且ad=13ab+12ac，点d在平行于ab的中位线上，且为靠近ac边，从而有sabd=12sabc，sacd=13sabc，sbcd=(11213)sa

9、bc=16sabc，有sbcdsabd=13故选：b3若点m是abc所在平面内一点，且满足|3amabac|=0，则abm与abc的面积之比值为13【解答】解：如图，取bc的中点为d，则ab+ac=2ad，|3amabac|=0，3amabac=0，3am=2ad，am=23ad，|am|=23|ad|，sabm=23sabd=23×(12sabc)=13sabc，sabmsabc=13故答案为：134平面上o，a，b三点不共线，设oa=a，ob=b，则oab的面积等于（）a|a|2|b|2(ab)2b|a|2|b|2+(ab)2c12|a|2|b|2(ab)2d12|a|2|b|2

10、+(ab)2【解答】解：soab=12|a|b|sina，b=12|a|b|1cos2a，b =12|a|b|1(ab)2|a|2|b|2 =12|a|2|b|2(ab)2；故选：c5已知点a（1，1），b（3，0），c（2，1）若平面区域d由所有满足ap=ab+ac（12，01）的点p组成，则d的面积为3【解答】解：设p的坐标为（x，y），则ab=（2，1），ac=（1，2），ap=（x1，y+1），ap=ab+ac，x1=2+y+1=+2，解之得=23x13y1=13x+23y+112，01，点p坐标满足不等式组123x13y12013x+23y+11作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形cdef及其内部其中c（4，2），d（6，3），e（5，1），f（3，0）|cf|=(43)2+(20)2=5，点e（5，1）到直线cf：2xy60的距离为d=|2×516|5=355平行四边形cdef的面积为s|cf|×d=5×355=3，即动点p构成的平面区域d的面积为3故答案为：36设 p、q为abc内的两点，且ap=25ab+15ac，a