2022届高三数学一轮复习（原卷版）第五节 二项分布与正态分布 教案

1、1第五节第五节二项分布与正态分布二项分布与正态分布核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养2结合结合 n 次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养3结合频率分布直方图结合频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点考查正态分布曲线的特点、3原则的应用原则的应用，凸显直观想象的核心凸显直观想象的核心素养素养理清主干知识理清主干知识1条件概率条件概率(1)

2、条件概率的定义条件概率的定义设设 a，b 为两个事件为两个事件，且且 p(a)0，称称 p(b|a)p ab p a 为在为在事件事件 a 发生的条件下发生的条件下，事件事件 b 发发生的条件概率生的条件概率(2)条件概率的性质条件概率的性质条件概率具有一般概率的性质，即条件概率具有一般概率的性质，即 0p(b|a)1.如果如果 b，c 是两个互斥事件，则是两个互斥事件，则 p(bc)|a)p(b|a)p(c|a)2相互独立事件的概率相互独立事件的概率(1)相互独立事件的定义及性质相互独立事件的定义及性质定义：设定义：设 a，b 是两个事件，若是两个事件，若 p(ab)p(a)p(b)，则称事

3、件，则称事件 a 与事件与事件 b 相互独立相互独立性质：若事件性质：若事件 a 与与 b 相互独立，那么相互独立，那么 a 与与b，a与与 b，a与与b也都相互独立也都相互独立(2)独立重复试验概率公式独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的在相同条件下重复做的 n 次试验称为次试验称为 n 次独立重复试验，若用次独立重复试验，若用 ai(i1,2，n)表示第表示第 i次试验结果，则次试验结果，则 p(a1a2a3an)p(a1)p(a2)p(an)(3)二项分布的定义二项分布的定义在在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中，设事件设事件 a 发生的次数为发生的次数为 x，在每次试验中事件在

4、每次试验中事件 a 发生的概率为发生的概率为 p，则则 p(xk)cknpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量此时称随机变量 x 服从二项分布，记作服从二项分布，记作 xb(n，p)，并称，并称 p 为成功概率为成功概率3正态分布正态分布(1)正态曲线的定义正态曲线的定义函数函数，(x)12e22()2x ，x(，)，其中实数其中实数和和(0)为参数为参数，称称，(x)的图的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态分布的定义及表示正态分布的定义及表示2如果对于任何实数如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量随机变量 x 满足满足 p(axb

5、)错误错误!，(x)dx，则称随机变则称随机变量量 x 服从正态分布，记作服从正态分布，记作 n(，2)(3)正态曲线的特点正态曲线的特点曲线位于曲线位于 x 轴的轴的上方上方，与，与 x 轴不相交轴不相交曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线 x对称对称曲线在曲线在 x处达到峰值处达到峰值1 2.曲线与曲线与 x 轴之间的面积为轴之间的面积为 1.当当一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由确定，曲线随着确定，曲线随着的变化而沿着的变化而沿着 x 轴轴平移平移当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越，表示总体的分布越

6、集中集中；越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越，表示总体的分布越分散分散(4)正态分布中的正态分布中的 3原则原则p(x)0.682_6.p(2x2)0.954_4.p(3x3)0.997_4.澄清盲点误点澄清盲点误点一、关键点练明一、关键点练明1(条件概率条件概率)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占天的比例甲市占 20%，乙市占，乙市占 18%，两地同时下雨占，两地同时下雨占 12%，记，记 p(a)0.2，p(b)0.18，p(ab)0.12，则，则 p(a|b

7、)和和 p(b|a)分别等于分别等于()a.13，25b.23，25c.23，35d.12，35解析解析：选：选 cp(a|b)p ab p b 0.120.1823，p(b|a)p ab p a 0.120.235.2(正态分布正态分布)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布 n(0，2)若若 p(2)0.023，则，则 p(22)()a0.477b0.628c0.954d0.977解析：解析：选选 c0，p(2)p(2)0.023，p(22)120.0230.954.3(二项分布二项分布)设随机变量设随机变量 xb6，12 ，则，则 p(x3)等于等于_3解析解析：xb6，12

8、，p(x3)c361231123516.答案答案：5164(相互独立事件相互独立事件)甲、乙、丙三人将参加某项测试他们能达标的概率分别是甲、乙、丙三人将参加某项测试他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为则三人都达标的概率为_，三人中至少有一人达标的概率为，三人中至少有一人达标的概率为_解析解析：每个人是否达标是相互独立的，：每个人是否达标是相互独立的，“三人中至少有一人达标三人中至少有一人达标”的对立事件为的对立事件为“三人均未达标三人均未达标”，设三人都达标为事件设三人都达标为事件 a，三人中至少有一人达标为事件，三人中至少有一人达标为事件 b，则则 p(a)0

9、.80.60.50.24，p(b)10.20.40.50.96.答案答案：0.240.96二、易错点练清二、易错点练清1 (条件概率公式使用错误条件概率公式使用错误)由由 0,1 组成的三位数编号中组成的三位数编号中， 若事件若事件 a 表示表示“第二位数字为第二位数字为 0”，事件事件 b 表示表示“第一位数字为第一位数字为 0”，则，则 p(a|b)_.解析解析：因为第一位数字可为：因为第一位数字可为 0 或或 1，所以第一位数字为，所以第一位数字为 0 的概率的概率 p(b)12，第一位数字为，第一位数字为 0且第二位数字也为且第二位数字也为 0，即事件即事件 a，b 同时发生的概率同时

10、发生的概率 p(ab)121214，所以所以 p(a|b)p ab p b 141212.答案答案：122(恰有一个发生理解错误恰有一个发生理解错误)计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格合格”与与“不合格不合格”， 只有两部分考试都只有两部分考试都“合格合格”者者， 才给颁发计算机才给颁发计算机“合格证书合格证书” 甲甲、乙两人在理论考试中乙两人在理论考试中“合格合格”的概率依次为的概率依次为45，23，在操作考试中在操作考试中“合格合格”的概率依次为的概率依次为12，56，所有考试是否合格相互之间没有影响则甲、乙进

11、行理论与操作两项考试后，恰有一人获所有考试是否合格相互之间没有影响则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得得“合格证书合格证书”的概率为的概率为_解析解析：甲获得：甲获得“合格证书合格证书”的概率为的概率为451225，乙获得，乙获得“合格证书合格证书”的概率是的概率是235659，两，两人中恰有一个人获得人中恰有一个人获得“合格证书合格证书”的概率是的概率是25159 125 592345.答案答案：23454考点一考点一事件的相互独立性及条件概率事件的相互独立性及条件概率考法考法(一一)条件概率条件概率例例 1(1)现有现有 3 道理科题和道理科题和 2 道文科题共道文科题共 5 道

12、题道题，若不放回地依次抽取若不放回地依次抽取 2 道题道题，则在第则在第 1次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为次抽到理科题的概率为()a.310b.25c.12d.35(2)2020 年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难为了顺利迎接高考，某省制年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难为了顺利迎接高考，某省制定了周密的毕业年级复学计划为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测定了周密的毕业年级复学计划为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测已的筛查学生

13、先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测已知随机抽一人检验呈阳性的概率为知随机抽一人检验呈阳性的概率为 0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病假设该疾病患病率为患病率为 0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为，且患病者检验呈阳性的概率为 99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为概率为()a0.99%b99%c49.5%d36.5%解析解析(1)法一法一：设第：设第 1 次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件 a，第，第 2 次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件 b，则，则 p(b|a)p ab

14、p a 32a253512.故选故选 c.法二法二：在第：在第 1 次抽到理科题的条件下，还有次抽到理科题的条件下，还有 2 道理科题和道理科题和 2 道文科题，故在第道文科题，故在第 1 次抽到理次抽到理科题的条件下，第科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为次抽到理科题的概率为12.故选故选 c.(2)设设 a 为为“某人检验呈阳性某人检验呈阳性”，b 为为“此人患病此人患病”，则，则“某人检验呈阳性时他确实患病某人检验呈阳性时他确实患病”为为 b|a，由题意知，由题意知 p(b|a)p ab p a 99%0.1%0.2%49.5%，故选，故选 c.答案答案(1)c(2)c方法技巧方法

15、技巧条件概率的条件概率的 3 种求法种求法定义法定义法先求先求 p(a)和和 p(ab)，再由，再由 p(b|a)p ab p a 求求 p(b|a)基本基本事件法事件法借助古典概型概率公式借助古典概型概率公式，先求事件先求事件 a 包含的基本事件数包含的基本事件数 n(a)，再求事件再求事件 ab 所包所包含的基本事件数含的基本事件数 n(ab)，得，得 p(b|a)n ab n a 5缩样法缩样法缩小样本空间的方法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况只研究剩下的情况，用古典用古典概型求解，它能化繁为简概型求解，它能化繁为简考法考法(二二)事

16、件的相互独立性事件的相互独立性例例 2(2019全国卷全国卷)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成分，当某局打成 1010 平后，平后，每球交换发球权每球交换发球权，先多得先多得 2 分的一方获胜分的一方获胜，该局比赛结束该局比赛结束甲甲、乙两位同学进行单打比赛乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立各球的结果相互独立在在某局双方某局双方 1010 平后，甲先发球，两人又打了平后，甲先发球，两人又打了 x 个球该局比赛结束个球该局比赛结

17、束(1)求求 p(x2)；(2)求事件求事件“x4 且甲获胜且甲获胜”的概率的概率解解(1)x2 就是某局双方就是某局双方 1010 平后平后，两人又打了两人又打了 2 个球该局比赛结束个球该局比赛结束，则这则这 2 个球均个球均由甲得分，或者均由乙得分由甲得分，或者均由乙得分因此因此 p(x2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)x4 且甲获胜，就是某局双方且甲获胜，就是某局双方 1010 平后，两人又打了平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且这个球该局比赛结束，且这 4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得个球的得分情况为前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分分，后两球

18、均为甲得分因此所求概率为因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.方法技巧方法技巧利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求易求)概率的相互独立事件的积事概率的相互独立事件的积事件件(3)代入概率的积、和公式求解代入概率的积、和公式求解针对训练针对训练1 从从 1,2,3,4,5 中任取中任取 2 个不同的数个不同的数， 事件事件 a

19、“取到的取到的 2 个数之和为偶数个数之和为偶数”， 事件事件 b“取取到的到的 2 个数均为偶数个数均为偶数”，则，则 p(b|a)()a.18b.14c.25d.12解析解析：选选 bp(a)c23c22c2541025，p(ab)c22c25110，由条件概率公式由条件概率公式，得得 p(b|a)p ab p a 1102514.2(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件件61,2,3 需要调整的概率分别为需要调整的概率分别为 0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立，各

20、部件的状态相互独立(1)求设备在一天的运转中，部件求设备在一天的运转中，部件 1,2 中至少有中至少有 1 个需要调整的概率；个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 x，求，求 x 的分布列及数学期望的分布列及数学期望解：解：(1)设部件设部件 1,2,3 需要调整分别为事件需要调整分别为事件 a，b，c，由题知由题知 p(a)0.1，p(b)0.2，p(c)0.3，各部件的状态相互独立，各部件的状态相互独立，所以部件所以部件 1,2 都不需要调整的概率都不需要调整的概率 p(ab)p(a)p(b)0.90.80.72，故部件故

21、部件 1,2 中至少有中至少有 1 个需要调整的概率为个需要调整的概率为 1p(ab)0.28.(2)x 可取可取 0,1,2,3，p(x0)p(abc)p(a)p(b)p(c)0.90.80.70.504，p(x1)p(abc)p(abc)p(abc)0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398，p(x3)p(abc)0.10.20.30.006，p(x2)1p(x0)p(x1)p(x3)0.092，所以所以 x 的分布列为的分布列为x0123p0.5040.3980.0920.006e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2)3p(x3)0.6.考点二考点二独立重复试验

22、与二项分布独立重复试验与二项分布典例典例(2021合肥模拟合肥模拟)“大湖名城大湖名城，创新高地创新高地”的合肥的合肥，历史文化积淀深厚历史文化积淀深厚，民俗和人文民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游研学游”的理想之地为了将的理想之地为了将来更好地推进来更好地推进“研学游研学游”项目项目， 某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间， 把把“研学游研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类

23、型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生省高一学生“研学游研学游”学校中，随机抽取了学校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下：所学校，统计如下：研学游类型研学游类型科技体验游科技体验游民俗人文游民俗人文游自然风光游自然风光游学校数学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游研学游”的学校中，随机抽取了的学校中，随机抽取了 3 所学校，并以统所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响类，

24、且不受其他学校选择结果的影响)(1)若这若这 3 所学校选择的研学游类型是所学校选择的研学游类型是“科技体验游科技体验游”和和“自然风光游自然风光游”，求这两种类型都，求这两种类型都有学校选择的概率；有学校选择的概率；(2)设这设这 3 所学校中选择所学校中选择“科技体验游科技体验游”的学校数为随机变量的学校数为随机变量 x， 求求 x 的分布列与数学期望的分布列与数学期望7解解(1)依题意，学校选择依题意，学校选择“科技体验游科技体验游”的概率为的概率为25，选择，选择“自然风光游自然风光游”的概率为的概率为15，若这若这 3 所学校选择研学游类型为所学校选择研学游类型为“科技体验游科技体验

25、游”和和“自然风光游自然风光游”，则这两种类型都有，则这两种类型都有学校选择的概率为学校选择的概率为pc2325215 c2315225 18125.(2)x 可能取值为可能取值为 0,1,2,3.则则 p(x0)c0335327125，p(x1)c132535254125，p(x2)c2325235 36125，p(x3)c332538125，x 的分布列为的分布列为x0123p2712554125361258125e(x)0271251541252361253812565.方法技巧方法技巧与二项分布有关的期望、方差的求法与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量求随机变量的期望与方差

26、时的期望与方差时，可首先分析可首先分析是否服从二项分布是否服从二项分布，如果如果b(n，p)，则用公则用公式式 e()np，d()np(1p)求解，可大大减少计算量求解，可大大减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时这时，可以综合应用可以综合应用 e(ab)ae()b 以及以及 e()np 求出求出 e(ab)，同样还可求出同样还可求出 d(ab).针对训练针对训练一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所一家面包房根据以往某种面

27、包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示示8将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续求在未来连续 3 天里，有连续天里，有连续 2 天的日销售量都不低于天的日销售量都不低于 100 个且另个且另 1 天的日销售量低天的日销售量低于于50 个的概率；个的概率；(2)用用 x 表示在未来表示在未来 3 天里日销售量不低于天里日销售量不低于 100 个的天数个的天数，求随机变量求随机变量 x 的分布列及数学期的分布列及数学期望望解解：(1)设设 a1表示事件表示事件“日销售量不低于日销售量

28、不低于 100 个个”，a2表示事件表示事件“日销售量低于日销售量低于 50 个个”，b表示事件表示事件“在未来连续在未来连续 3 天里，有连续天里，有连续 2 天的日销售量都不低于天的日销售量都不低于 100 个且另个且另 1 天的日销售天的日销售量低于量低于 50 个个”，因此，因此p(a1)(0.0060.0040.002)500.6，p(a2)0.003500.15，p(b)0.60.60.1520.108.(2)xb(3,0.6)，x 可能取的值为可能取的值为 0,1,2,3，相应的概率为，相应的概率为p(x0)c03(10.6)30.064，p(x1)c130.6(10.6)20.

29、288，p(x2)c230.62(10.6)0.432，p(x3)c330.630.216.故故 x 的分布列为的分布列为x0123p0.0640.2880.4320.216e(x)30.61.8.考点三考点三正态分布正态分布典例典例为提高城市居民生活幸福感为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民减少居民乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通

30、拥堵准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量 x 满足正态分布满足正态分布 n(，2)在公交在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图过统计得到如图频率分布直方图9(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计，2的值；的值；(2)在统计

31、学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不可能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机一次试验中，小概率事件是不可能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的调查了该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候车时间超过名乘客候车时间超过 15 分钟，试判断分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，并说明理由该天公交车准点率是否正常，并说明理由参考数据参考数据： 19.24.38， 21.44.63， 26.6

32、5.16，0.841 3570.298 4,0.841 3560.3547,0.158 6530.004 0，0.158 6540.000 6，p(x)0.682 7，p(2x2)0.954 5，p(3x14.38)1p x0.003，即准点率正常即准点率正常方法技巧方法技巧正态分布下两类常见的概率计算正态分布下两类常见的概率计算(1)利用利用 3原则求概率问题时原则求概率问题时， 要注意把给出的区间或范围与正态变量的要注意把给出的区间或范围与正态变量的， 进行对比联系进行对比联系，确定它们属于确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个中的哪一个(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究

33、相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线线 x对称，及曲线与对称，及曲线与 x 轴之间的面积为轴之间的面积为 1.注意下面结论的活用：注意下面结论的活用：对任意的对任意的 a，有，有 p(xa)p(xa)；p(xx0)1p(xx0)；p(axb)p(xb)p(xa)针对训练针对训练(2021潍坊模拟潍坊模拟)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线10上随机抽取上随机抽取 10 000 个零件，并测量其内径个零件，并测量其内径

34、(单位：单位：cm)根据长期生产经验，认为这条生产根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径线正常状态下生产的零件的内径 x 服从正态分布服从正态分布 n(，2)如果加工的零件内径小于如果加工的零件内径小于3或大于或大于3均为不合格品，其余为合格品均为不合格品，其余为合格品(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的假设生产状态正常，请估计一天内抽取的 10 000 个零件中不合格品的个数；个零件中不合格品的个数；(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损已知每

35、件产品的利润亏损已知每件产品的利润 l(单位：元单位：元)与零件的内径与零件的内径 x 有如下关系：有如下关系：l5，x3，4，3x3.求该企业一天从生产线上随机抽取求该企业一天从生产线上随机抽取 10 000 个零件的平均利润个零件的平均利润附附：若随机变量若随机变量 x 服从正态分布服从正态分布 n(，2)，有有 p(x)0.682 7，p(2x2)0.954 5，p(3x3)0.997 3.解：解：(1)抽取的一个零件的尺寸在抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为之内的概率为 0.997 3，从而抽取一个零件，从而抽取一个零件为不合格品的概率为不合格品的概率为为 0.002 7，

36、因此一天内抽取因此一天内抽取的的 10 000 个零件中不合格品的个数约为个零件中不合格品的个数约为100000.002 727.(2)结合正态分布曲线和题意可知：结合正态分布曲线和题意可知：p(x3)0.001 35，p(3x3)0.001 35，故随机抽取故随机抽取 10 000 个零件的平均利润为：个零件的平均利润为：10 000l10 000(50.001 3540.157 360.840 050.001 35)56 557 元元一、创新命题视角一、创新命题视角学通学活巧迁移学通学活巧迁移二项分布与超几何分布的辨别方法二项分布与超几何分布的辨别方法典例典例写出下列离散型随机变量的分布列

37、写出下列离散型随机变量的分布列， 并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？何分布的是哪些？(1)x1表示表示 n 次重复抛掷次重复抛掷 1 枚骰子出现点数是枚骰子出现点数是 3 的倍数的次数的倍数的次数(2)x2表示连续抛掷表示连续抛掷 2 枚骰子，所得的枚骰子，所得的 2 个骰子的点数之和个骰子的点数之和(3)有一批产品共有有一批产品共有 n 件件，其中次品有其中次品有 m 件件(nm0)，采用有放回抽取方法抽取采用有放回抽取方法抽取 n 次次(nn)，抽出的次品件数为抽出的次品件数为 x3.(4)有一批产品共有有一批产品共有 n 件件

38、，其中其中 m 件为次品件为次品，采用不放回抽取方法抽采用不放回抽取方法抽 n 件件，出现次品的件数出现次品的件数11为为 x4(nmn0)解解(1)x1的分布列为的分布列为x1012npc0n13023nc1n13123n1c2n13223n2cnn13nx1服从二项分布服从二项分布，即即 x1bn，13 .(2)x2的分布列为的分布列为x223456789101112p136236336436536636536436336236136(3)x3的分布列为的分布列为x3012npc0n1mnnc1nmn1mnn1c2nmn21mnn2cnnmnnx3服从二项分布服从二项分布，即即 x3bn，

39、mn .(4)x4的分布列为的分布列为x401knpcnnmcnnc1mcn1nmcnnckmcnknmcnncnmcnnx4服从超几何分布服从超几何分布名师微点名师微点二项分布与超几何分布的辨别方法二项分布与超几何分布的辨别方法二项分布二项分布超几何分布超几何分布特点特点在在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中， 设事设事在含有在含有 m 件次品的件次品的 n 件产品中件产品中，任任取取12件件 a 发生的次数为发生的次数为 x， 在每次在每次试验中事试验中事件件a发生的概率发生的概率为为pn 件，其中恰有件，其中恰有 x 件次品件次品概率概率公式公式p(xk)cknpk(1p)nk，k0

40、,1,2，np(xk)ckmcnknmcnn， k0,1,2， ， m(mminn，m，且且 nn，mn，n，m，nn n*)期望、方差期望、方差公式公式e(x)np，d(x)np(1p)e(x)nmn，d(x)nm nm nn n2 n1 当当 n时，超几何分布近似为二项分布时，超几何分布近似为二项分布二、创新考查方式二、创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向1夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到产后待幼鱼长大到 1

41、5 厘米左右厘米左右，又携带它们旅居外海又携带它们旅居外海一个环一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为 0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为 0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为()a0.05b0.007 5c.13d16解析：解析：选选 c设事件设事件 a 为鱼苗中的一个雌性个体在长江

42、口外浅海域长成熟，事件为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件 b 为该雌为该雌性个体成功溯流产卵繁殖性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知由题意可知 p(a)0.15，p(ab)0.05，p(b|a)p ab p a 0.050.1513.故选故选 c.2(多选多选)(2021泰安模拟泰安模拟)“杂交水稻之父杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了与推广，发明了“三系法三系法”籼型杂交水稻，成功研究出籼型杂交水稻，成功研究出“两系法两系法”杂交水稻，创建了超级杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学

43、发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：单位：cm)服从正态分布，其密度曲线服从正态分布，其密度曲线函数为函数为 f(x)110 2e2100200 x（）- -，x(，)，则下列说法正确的是，则下列说法正确的是()13a该地水稻的平均株高为该地水稻的平均株高为 100 cmb该地水稻株高的方差为该地水稻株高的方差为 10c随机测量一株水稻，其株高在随机测量一株水稻，其株高在 120 cm 以上的概率比株高在以上的概率比株高在

44、70 cm 以下的概率大以下的概率大d随机测量一株水稻，其株高在随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在和在(100,110)(单位：单位：cm)的概率一样大的概率一样大解析解析：选选 acf(x)110 2e2100200 x（）- -，故故100，2100，故故 a 正确正确，b 错误错误；p(x120)p(x80)p(x70)，故，故 c 正确；根据正态分布的对称性知：正确；根据正态分布的对称性知：p(100 x110)p(90 x100)p(80 x90)，故，故 d 错误故选错误故选 a、c.课时跟踪检测课时跟踪检测1甲甲、乙两人同时报考某一所大学乙两人同时报考某一所大学，甲被录

45、取的概率为甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为乙被录取的概率为 0.7，两人两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()a0.12b0.42c0.46d0.88解析：解析：选选 d因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人两人均未被录取均未被录取”， 由对立事件和相互独立事件概率公式由对立事件和相互独立事件概率公式， 知知 p1(10.6)(10.7)10.120.88.2用电脑每次可以自动生成一个用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数

46、，且每次生成每个实数都是等可能的，若用内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成该电脑连续生成 3 个实数，则这个实数，则这 3 个实数都大于个实数都大于13的概率为的概率为()a.127b23c.827d49解析解析： 选选 c由题意可得由题意可得， 用该电脑生成用该电脑生成 1 个实数个实数， 且这个实数大于且这个实数大于13的概率为的概率为 p11323，则用该电脑连续生成则用该电脑连续生成 3 个实数，这个实数，这 3 个实数都大于个实数都大于13的概率为的概率为233827.故选故选 c.3(多选多选)(2021济南模拟济南模拟)已知在某市的一次学情检测中，学生的数

47、学成绩已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 x 服从正态分服从正态分布布n(100,100)，其中，其中 90 分为及格线，分为及格线，120 分为优秀线下列说法正确的是分为优秀线下列说法正确的是()附：随机变量附：随机变量服从正态分布服从正态分布 n(，2)，则，则 p()0.682 7，p(22)0.954 5，p(33)0.997 3.a该市学生数学成绩的期望为该市学生数学成绩的期望为 100b该市学生数学成绩的标准差为该市学生数学成绩的标准差为 100c该市学生数学成绩及格率超过该市学生数学成绩及格率超过 0.8d该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等该市学生数学成绩不

48、及格的人数和优秀的人数大致相等解析解析：选选 ac数学成绩数学成绩 x 服从正态分布服从正态分布 n(100,100)，则数学成绩的期望为则数学成绩的期望为 100，数学成绩数学成绩14的标准差为的标准差为 10， 故故 a 正确正确， b 错误错误； 及格率为及格率为 p111p 1001010010 20.84135，c 正确正确； 不及格概率为不及格概率为 p20.158 65，优秀概率优秀概率 p31p 1002010020 20.02275，d 错误故选错误故选 a、c.4某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设

49、，各成员的支付方式相互独立设 x 为为该群体的该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，位成员中使用移动支付的人数，d(x)2.4，p(x4)p(x6)，则，则 p()a0.7b0.6c0.4d0.3解析：解析：选选 b由题知由题知 xb(10，p)，则，则 d(x)10p(1p)2.4，解得，解得 p0.4 或或 0.6.又又p(x4)p(x6)，即，即 c410p4(1p)6c610p6(1p)4(1p)2p2p0.5，p0.6，故选，故选 b.5某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为已知开关第一次闭合后出现红灯

50、的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为出现红灯的概率为()a.110b15c.25d12解析解析： 选选 c设设“开关第一次闭合后出现红灯开关第一次闭合后出现红灯”为事件为事件 a， “第二次闭合后出现红灯第二次闭合后出现红灯”为事为事件件 b，则由题意可得则由题意可得 p(a)12，p(ab)15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是出现红灯的概率是 p(b|a)p ab p a 15

51、1225.故选故选 c.6一台机床有一台机床有13的时间加工零件的时间加工零件 a，其余时间加工零件其余时间加工零件 b.加工零件加工零件 a 时时，停机的概率为停机的概率为310，加工零件加工零件 b 时，停机的概率是时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为，则这台机床停机的概率为()a.1130b730c.710d110解析：解析：选选 a假设总时间为假设总时间为 1，则在，则在 1 时间内，加工零件时间内，加工零件 a 停机的概率是停机的概率是13310110，加工，加工零件零件 b 停机的概率是停机的概率是113 25415，所以这台机床停机的概率是，所以这台机床停机的概率是110

52、4151130.157箱子里有箱子里有 5 个黑球，个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为次取球之后停止的概率为()a.c35c14c45b59349c.3514dc1459349解析解析：选选 b由题意知由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的第四次取的球是白球的情况球是白球的情况，此事件发生的概率为此事件发生的概率为59349.8(2

53、021南昌月考南昌月考)已知已知 1 号箱中有号箱中有 2 个白球和个白球和 4 个红球个红球、2 号箱中有号箱中有 5 个白球和个白球和 3 个红球个红球，现随机从现随机从 1 号箱中取出一球放入号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从号箱，然后从 2 号箱中随机取出一球，则两次都取到红号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是球的概率是_解析：解析：设设“从从 1 号箱取到红球号箱取到红球”为事件为事件 a，“从从 2 号箱取到红球号箱取到红球”为事件为事件 b.由题意，由题意，p(a)42423，p(b|a)318149，所以所以 p(ab)p(b|a)p(a)4923827，所以两次都取

54、到红球的概率为所以两次都取到红球的概率为827.答案答案：8279(2020天津高考天津高考)已知甲已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为乙两球落入盒子的概率分别为12和和13.假定两球是否落入盒子互不假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为率为_解析解析：依题意得依题意得，甲甲、乙两球都落入盒子的概率为乙两球都落入盒子的概率为121316；甲甲、乙两球都不落入盒子的概乙两球都不落入盒子的概率为率为112 113 13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为，则甲、乙两

55、球至少有一个落入盒子的概率为 11323.答案：答案：162310(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)对一个物理量做对一个物理量做 n 次测量，并以测量结果的平均值作次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果为该物理量的最后结果已知最后结果的误差已知最后结果的误差nn0，2n ，为使误差为使误差n在在(0.5,0.5)的概率的概率不小于不小于 0.954 5，至少要测量，至少要测量_次次(若若 xn(，2)，则，则 p(|x|2)0.954 5)解析解析：根据正态曲线的对称性知根据正态曲线的对称性知：要使误差要使误差n在在(0.5,0.5)的概率不小于的概率不小

56、于 0.954 5，则则(2，162)(0.5，0.5)且且0，2n，0.522nn32.答案：答案：3211春天即将来临，某学校开展以春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活为主题的植物种植实践体验活动动已知某种盆栽植物每株成活的概率为已知某种盆栽植物每株成活的概率为 p，各株是否成活相互独立各株是否成活相互独立该学校的某班随机领该学校的某班随机领养了此种盆栽植物养了此种盆栽植物 10 株，设株，设 x 为其中成活的株数，若为其中成活的株数，若 x 的方差的方差 d(x)2.1，p(x3)p(x7)，则，则 p_.解析：解析：由题意可知，由

57、题意可知，xb(10，p)，10p 1p 2.1，p x3 0.5，解得解得 p0.7.答案：答案：0.712某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况若一个运动员出线记选拔赛只有出线和未出线两种情况若一个运动员出线记 1 分，未出线记分，未出线记 0 分假设甲、分假设甲、乙、丙出线的概率分别为乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的，他们出线与未出线是相互独立的(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；求在这次选拔

58、赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量，求随机变量，求随机变量的分的分布列和数学期望布列和数学期望 e()解：解：(1)记记“甲出线甲出线”为事件为事件 a，“乙出线乙出线”为事件为事件 b，“丙出线丙出线”为事件为事件 c，“甲、乙、甲、乙、丙至少有一名出线丙至少有一名出线”为事件为事件 d，则则 p(d)1p(abc)11314252930.(2)的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3.p(0)p(abc)130，p(1)p(abc)p(abc)p(abc)

59、1360，p(2)p(a bc)p(abc)p(ab c)920，p(3)p(abc)310.所以所以的分布列为的分布列为0123p130136092031017故故 e()0130113602920331012160.13高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在计，在 2019 年这一年内从年这一年内从 a 市到市到 b 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次为了万人次为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取解乘客出行的满意度，现从中随机抽取 100 人次作为样本，得到下表人次作为样本，得到下表(单位：人次单位：人次)：满意度满意度老年人老年人中年人中年人青年人青年人乘坐乘坐高铁高铁乘坐乘坐飞机飞机乘坐乘坐高铁高铁乘坐乘