人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：解三角形_20210103224738

1、解三角形知识讲解一、正弦定理1.正弦定理：；（为三角形外接圆半径）2.正弦定理变形式：1）；：2）3.正弦定理的应用 1）已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其中的对角二、余弦定理1.余弦定理：；2.余弦定理变形式：；3.余弦定理的应用1）已知三边，求各角2）已知两边和它们的夹角，求第三个边和其它的两个角3）已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边三、面积公式1. (、分别表示a、b、c上的高)；2.；3.；4.（为三角形内切圆半径）注：中易得：， ，锐角中，类比得钝角的结论经典例题一选择题（共10小题）1在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、

2、c，若2cos2a+b2-cos2c=1，4sinb=3sina，a-b=1，则c的值为（）a13b7c37d6【解答】解：根据题意，abc中，2cos2a+b2cos2c=1，变形可得2cos2a+b21=cos2c，则有cos2c+cosc=0，即2cos2c+cosc1=0，解可得cosc=12或cosc=1（舍），又由4sinb=3sina，则有4b=3a，又由ab=1，则a=4，b=3，则c2=a2+b22abcosc=16+912=13，则c=13，故选：a2在abc中，已知a2+b2c2=4s（s为abc的面积），若c=2，则a-22b的取值范围是（）a(0，2)b（1，0）c(

3、-1，2)d(-2，2)【解答】（本题满分为13分）解：根据余弦定理得a2+b2c2=2abcosc，abc的面积s=12absinc，由a2+b2c2=4s，得tanc=1，0c，c=4；（6分）由正弦定理asina=bsinb=222=2，可得：a=2sina，b=2sinb=2sin（34a），a-22b=2sina2sin（34a）=sinacosa=2sin（a4），0a34，可得：4a42，可得：22sin（a4）1，（10分）a-22b=2sin（a4）的范围为（1，2）（13分）故选：c3abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，abc的面积s=12，且满足asinb=b

4、cosa，则1ab+cosc的取值范围是（）a（0，2b12，22c22，1）d（1，2【解答】解：由asinb=bcosa以及正弦定理可知sinasinb=sinbcosa，sinb0，tana=1，0a，a=4，abc的面积s=12，12absinc=12，1ab=sinc1ab+cosc=sinc+cosc=2sin（c+4），c（0，34），c+4（4，），0sin（c+4）1，02sin（c+4）2故选：a4已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且coscc+cosbb=33abccosa，则cosa=（）a33b-33c36d-36【解答】解：根据题意，abc中，cos

5、cc+cosbb=33abccosa，则有1c×a2+b2-c22ab+1b×a2+c2-b22ac=33abccosa，即2a2abc=33×abccosa变形可得：cosa=33；故选：a5在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若2ba=bcosa+acosb，且a+c=4，则abc面积的最大值为（）a14b2-34c3d2+34【解答】解：由2ba=bcosa+acosb，利用正弦定理可得：2sinbsina=sinbcosa+sinacosb=sin（a+b）=sinc，再利用正弦定理可得：2ba=c，又a+c=4，解得b=2，a=4c（1c4

6、）cosc=a2+b2-c22ab=(4-c)2+4-c24(4-c)=5-2c4-csinc=1-cos2c=3(3-c)(c-1)4-c，则abc面积s=12absinc=12×(4-c)×2×3(3-c)(c-1)4-c=3-c2+4c-3=3-(c-2)2+13，当且仅当c=2=a时取等号abc面积的最大值为3也可以利用海伦公式计算abc的面积故选：c6如图所示，在平面四边形abcd中，ab=1，bc=2，acd为正三角形，则bcd面积的最大值为（）a23+2b3+12c32+2d3+1【解答】解：在abc中，设abc=，acb=，由余弦定理得：ac2=1

7、2+222×1×2cos=54cos，acd为正三角形，cd2=54cos，由正弦定理得：1sin=acsin，acsin=sin，cdsin=sin，（cdcos）2=cd2（1sin2）=cd2sin2=54cossin2=（2cos）2，bac，为锐角，cdcos=2cos，sbcd=122cdsin（3+）=cdsin（3+）=32cdcos+12cdsin=32（2cos）+12sin=3+sin（3），当=56时，（sbcd）max=3+1故选：d7abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若2bcosb=acosc+ccosa，b=2，则abc面积的最大值

8、是（）a1b3c2d4【解答】解：（1）2bcosb=acosc+ccosa，可得：2sinbcosb=sinacosc+sinccosa=sinb，sinb0，cosb=12b=60°由余弦定理可得ac=a2+c24，由基本不等式可得ac=a2+c242ac4，可得：ac4，当且仅当a=c时，“=”成立，从而abc面积s=12acsinb=3，故abc面积的最大值为3故选：b8在abc中，a=6，abc的面积为2，则2sincsinc+2sinb+sinbsinc的最小值为（）a32b334c32d53【解答】解：abc中，a=6，abc的面积为2，sabc=12bcsina=14

9、bc=2，bc=8，2sincsinc+2sinb+sinbsinc=21+2sinbsinc+sinbsinc，令t=sinbsinc则t0，上式化为：21+2sinbsinc+sinbsinc=21+2t+t=21+2t+12(2t+1)-12221+2t12(2t+1)12=32，当且仅当2t+1=2，即t=12，可得b=2c，又bc=8，解得c=4，b=2时，等号成立；2sincsinc+2sinb+sinbsinc的最小值为：32故选：c9在abc中，ap=13（ab+ac），若sinbab+2sinapa+3sincpc=0，则cosc=（）a118b16c56d1718【解答】解

10、：根据题意，如图，在abc中，设d为bc的中点，有ab+ac=2ad，又由ap=13（ab+ac），则ap=23ad，则p为abc的重心，则有pa+pb+pc=0，若sinbab+2sinapa+3sincpc=0，则bab+2apa+3cpc=0，而ab=pbpa，则b（pbpa）+2apa+3cpc=0，bpb+（2ab）pa+3cpc=0，又由pa+pb+pc=0，则有&2a-b=b&b=3c，解可得a=b=3c，则cosc=a2+b2-c22ab=1718；故选：d10在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且csin(b+3)=32a，cacb=20，c=7，

11、则abc的内切圆的半径为（）a2b1c3d3【解答】解：csin(b+3)=32a，由正弦定理可得：sinc（12sinb+32cosb）=32sina，12sincsinb+32sinccosb=32sina=32sinbcosc+32sinccosb，可得：12sincsinb=32sinbcosc，sinb0，可得：tanc=3，c（0，），c=3，c=7，cacb=20=abcosc=12ab，可得：ab=40，由余弦定理c2=a2+b22abcosc，可得：49=a2+b2ab=（a+b）23ab=（a+b）2120，解得：a+b=13，设abc的内切圆的半径为r，则12（a+b+c

12、）r=12absinc，可得：12（5+8+7）r=12×5×8×32，可得abc的内切圆的半径r=3故选：d二填空题（共7小题）11在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=7，b=2，a=60°，则sinb=217，c=3【解答】解：在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，ca=7，b=2，a=60°，由正弦定理得：asina=bsinb，即7sin60°=2sinb，解得sinb=2×327=217由余弦定理得：cos60°=4+c2-72×2c，解得c=3或c=1（舍），sinb

13、=217，c=3故答案为：217，312abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知bsinc+csinb=4asinbsinc，b2+c2a2=8，则abc的面积为233【解答】解：abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，cbsinc+csinb=4asinbsinc，利用正弦定理可得sinbsinc+sincsinb=4sinasinbsinc，由于0b，0c，所以sinbsinc0，所以sina=12，则a=6或56由于b2+c2a2=8，则：cosa=b2+c2-a22bc，当a=6时，32=82bc，解得bc=833，所以sabc=12bcsina=233当a=56时，-32=

14、82bc，解得bc=833（不合题意），舍去故：sabc=233故答案为：23313如图，在abc中，点d是ab中点，ab=2，acd=90°，dcb=45°，abc的面积为s，则5s=2【解答】解：abc中，点d是ab中点，c=ab=2，acd=90°，dcb=45°，a=bc，b=ac，设bc=x，则sacd=sbcd，即12bx=12axsin45°，b=22a，c2=a2+b22abcosacb，4=a2+12a22a22acos135°，a=85，b=25；abc的面积为s=12absin135°=12×

15、85×25×22=25，5s=2故答案为：214已知a，b，c分别为abc的三个内角a，b，c的对边，b=6，且accosb=a2-b2+74bc，o为abc内一点，且满足oa+ob+oc=0，bao=30°，则|oa|=3【解答】解：由余弦定理可得b2=a2+c22accosb，b=6，且accosb=a2-b2+74bc，2a22b2+72bc=a2+c2b2，a2=b2+c22bc74，cosa=74，sina=1-716=34，满足oa+ob+oc=0，bao=300，可得o为abc的重心，且sabo=13sabc，即为12c|ao|sin30°

16、=13×12cbsinbac，则|ao|=13×6×34×2=3，故答案为：315在锐角三角形abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若已知b2+c2=4bcsin（a+6），则tana+tanb+tanc的最小值是83【解答】解：由题意由b2+c2=4bcsin（a+6），余弦定理可得：a2+2bccosa=23bcsina+2bccosa，即a=23bsinc那么sina=23sinbinc即sinbcosc+cosbsinc=23sinbinc那么tanb+tanc=23tanbtanctana=tan（b+c）=tanb+tanctanbt

17、anc-1，那么tana+tanb+tanc=tanb+tanctanbtanc-1+23tanbtanc=23tanbtanctanbtanc-1+23tanbtanc设tanbtanc1=m，可得：tana+tanb+tanc=23(m+1)m+23（m+1）=23×(m+1)2m=23×（m+1m+2）23×（2+2）=83；当且仅当m=1时取“=”，即tanbtanc=2故答案为：8316已知abc的内角a，b，c的对边分别是a，b，c，且（a2+b2c2）（acosb+bcosa）=abc，若a+b=2，则c的取值范围为1，2）【解答】解：根据题意，ab

18、c中，acosb+bcosa=a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc=2c22c=c，若（a2+b2c2）（acosb+bcosa）=abc，则有a2+b2c2=ab，则cosc=a2+b2-c22ab=12，则c=3，又由a+b=2，则c2=a2+b22abcosc=a2+b2ab=（a+b）23ab=43ab，又由a+b=2，则ab（a+b2）2=1，则c21，则有c1，又由ca+b=2，则c的取值范围为1，2）；故答案为：1，2）17我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行百

19、二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为1255步（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【解答】解：如图，设岛高x步，与前标杆相距y步，则有&5x=123123+y&5x=127127+1000+y，解得：x

20、=1255步故答案为：1255三解答题（共6小题）18在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知bsina=acos（b6）（）求角b的大小；（）设a=2，c=3，求b和sin（2ab）的值【解答】解：（）在abc中，由正弦定理得asina=bsinb，得bsina=asinb，又bsina=acos（b6）asinb=acos（b6），即sinb=cos（b6）=cosbcos6+sinbsin6=32cosb+12sinb，tanb=3，又b（0，），b=3（）在abc中，a=2，c=3，b=3，由余弦定理得b=a2+c2-2accosb=7，由bsina=acos（b6），得

21、sina=37，ac，cosa=27，sin2a=2sinacosa=437，cos2a=2cos2a1=17，sin（2ab）=sin2acosbcos2asinb=437×12-17×32=331419在abc中，a=7，b=8，cosb=17（）求a；（）求ac边上的高【解答】解：（）ab，ab，即a是锐角，cosb=17，sinb=1-cos2b=1-(-17)2=437，由正弦定理得asina=bsinb得sina=asinbb=7×4378=32，则a=3（）由余弦定理得b2=a2+c22accosb，即64=49+c2+2×7×c

22、×17，即c2+2c15=0，得（c3）（c+5）=0，得c=3或c=5（舍），则ac边上的高h=csina=3×32=33220在平面四边形abcd中，adc=90°，a=45°，ab=2，bd=5（1）求cosadb；（2）若dc=22，求bc【解答】解：（1）adc=90°，a=45°，ab=2，bd=5由正弦定理得：absinadb=bdsina，即2sinadb=5sin45°，sinadb=2sin45°5=25，abbd，adba，cosadb=1-(25)2=235（2）adc=90°，cosbdc=sinadb=25，dc=22，bc=bd2+dc2-2×bd×dc×cosbdc=25+8-2×5×22×25=521如图，在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c且2acoscc=2b（1）求角a的大小；（2）若abc=6，ac边上的中线bd的长为35，求abc的面积【解答】解：由2acoscc=2b正弦定理，可得2sinacoscsinc=2sinb即2sinaco