2022届高三数学一轮复习（原卷版）第七章 7.5绝对值不等式-教师版

1、 第1课时进门测1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)|x2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离(×)(2)|x|>a的解集是x|x>a或x<a(×)(3)|ab|a|b|成立的条件是ab0.()(4)若ab<0，则|ab|<|ab|.()(5)对一切xr，不等式|xa|xb|>|ab|成立(×)2、不等式|x1|x5|<2的解集是()a(，4) b(，1)c(1,4) d(1,5)答案a解析当x1时，原不等式可化为1x(5x)<2，4<2，不等式恒成立，x1.当1<

2、x<5时，原不等式可化为x1(5x)<2，x<4，1<x<4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)<2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)3、不等式|x1|x2|>k的解集为r，则实数k的取值范围为()a(3，) b(，3)c(，1) d(，0)答案b解析根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为p、a、b，则原不等式等价于|pa|pb|>k恒成立|ab|3，即|x1|x2|3.故当k<3时，原不等式恒成立4、若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是()a2,4 b1,2c2,4 d4，2答案c解析

3、|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.5、若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1，解析设y|2x1|x2|当x<2时，y3x1>5；当2x<时，5yx3>；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，作业检查无第2课时阶段训练题型一绝对值不等式的解法例1已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|

4、>1的解集解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的表达式及图象可知，当f(x)1时，x1或x3；当f(x)1时，x或x5，故f(x)>1的解集为x|1<x<3；f(x)<1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.【同步练习】(1)不等式|x1|x2|5的解集为_(2)设不等式|x2|<a(an*)的解集为a，且a，a，则a_.答案(1)x|x3或x2(2)1解析(1)方法一要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分当x<2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x<1时，不等式等价

5、于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2方法二|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3或x2(2)a，且a，|2|<a，且|2|a，解得<a，又an*，a1.题型二利用绝对值不等式求最值例2(1)对任意x，yr，|x1|x|y1|y1|的最小值为()a1 b2 c3 d4(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_答案(1)c(2)5

6、解析(1)x，yr，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123，|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.【同步练习】(1)关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解时，d的取值范围是_(2)不等式|x|a2|sin y对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为_答案(1)1，)(2)1,3解析(1)|2 014x|2 015x|2 014x2 015x|1，关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解时，d1.(2)x(，

7、22，)，|x|2，)，其最小值为2.又sin y的最大值为1，故不等式|x|a2|sin y恒成立时，有|a2|1，解得a1,3第3课时阶段重难点梳理1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a0a<0|x|<a(a，a)|x|>a(，a)(a，)(，0)(0，)r(2)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>

8、;0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.【知识拓展】|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想重点题型训练题型三绝对值不等式的综合应用命题点1绝对值不等式和函数的综合例3(2016·桐乡一模)已知f(x)ax2bxc，a，b，cr，定义域为1,1，(1)当a1，|f(x)|1时，求证：|1c|1；(2)当b>2a>0时，是否

9、存在x1,1，使得|f(x)|b?(1)证明|f(1)|1bc|1，|f(1)|1bc|1，|1bc1bc|1bc|1bc|2，|22c|2，|1c|1.(2)解由b>2a>0，得<1，则f(x)在1,1上递增，f(x)abc，abc当ac>0时，abc>b>0，此时有|f(1)|b，即存在x1，使得|f(x)|b成立当ac<0时，abc<b<0，此时有|f(1)|b，即存在x1使得|f(x)|b成立当ac0时，f(x)b，b，存在x使得|f(x)|b成立综上，存在x±1使得|f(x)|b成立命题点2绝对值不等式和数列的综合例4已

10、知数列an满足a11，an1(nn*)(1)证明：数列|an|为单调递减数列；(2)记sn为数列|an1an|的前n项和，证明：sn<(nn*)证明(1)由题意知an>0，故<1，数列|an|为单调递减数列(2)a11，a2，当n3时，|an|<，得<an<，故an(nn*).|an1an|an1an|an1|an|，sn|a2a1|a3a2|an1an|a1|a2|an|a2|a3|an1|<.【同步练习】1、已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a

11、3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2<x<3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以当a3时，f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0例5 不等式|x1|x1|3的解集为_思想方法指导对|xa|xb|c型不等式的解法，一般可采用三种方法求解：几何法、分区间讨论法和图象法解析方法一当x1时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得x；当1<x<1时，原不等式

12、可以化为x1(x1)3，即23，不成立，无解；当x1时，原不等式可以化为x1x13，所以x.综上，原不等式的解集为.方法二将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.原不等式的解集为.方法三如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为a，b，那么a，b两点的距离之和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在a点左侧有一点a1，到a，b两点的距离之和为3，a1对应数轴上的x.1x1x3，得x.同理设b点右侧有一点b1，到a，b两点的距离之和为3，b1对应数轴上的x，x1x(1)3

13、，得x.从数轴上可看到，点a1，b1之间的点到a，b的距离之和都小于3；点a1的左边或点b1的右边的任何点到a，b的距离之和都大于3.原不等式的解集是.答案思导总结一、解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解二、求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|a±b|a|b|；(3)利用零点分区间法三、(1)恒成立问题可转化为函数的最值问

14、题；(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决四、(1)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩(2)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数作业布置1不等式|2x1|<3的解集是()a(1,2) b(1,2)c(2，1) d(，2)(2，)答案b解析|2x1|<33<2x1<31<x<2.2不等式|2x1|x2|<0的解集是()ax|1<x<1 bx|x<1cx|x>1 dx|x<1或x>1答案a解析方法一原不

15、等式即为|2x1|<|x2|，4x24x1<x24x4，3x2<3，1<x<1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得<x<1，由得1<x.综上可得1<x<1，原不等式的解集为x|1<x<13函数y|x1|x3|的最小值为()a1 b2 c3 d4答案d解析y|x1|x3|1x|x3|1xx3|4，当且仅当(1x)(x3)0，即3x1时取“”当3x1时，函数y|x1|x3|取得最小值4.4在实数范围内，不等式|x2|1|1 (xr)的解集是()a(0,4) b0,2c0,4 d(2,2)答案c解析由|x2|1|

16、1，得1|x2|11，即0|x2|2，2x22，0x4.5若不存在实数x使|x3|x1|a成立，则实数a的取值范围是()a(1,3) b(，2)c(0,2) d(1，)答案b解析|x3|x1|的几何意义为数轴上表示x的点到表示3和1的点的距离之和，所以函数y|x3|x1|的最小值为2，实数a的取值范围是(，2)6不等式|x1|x2|5的解集为_答案1,4解析|x1|x2|表示数轴上的点到点1和点2的距离之和如图，点a和点b之间的点到点1和点2的距离之和都小于5.原不等式的解集为1,47设函数f(x)|2x1|x3，对f(2)_；若f(x)5，则x的取值范围是_答案61,1解析f(2)|2

17、15;(2)1|236；f(x)5|2x1|x35|2x1|2xx22x12x，1x1.8不等式log3(|x4|x5|)>a对于一切xr恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析由绝对值的几何意义知|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)>a对于一切xr恒成立，则需a<2.9已知f(x)|x3|，g(x)|x7|m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围是_答案(，4)解析由题意，可得不等式|x3|x7|m>0恒成立，即(|x3|x7|)min>m，由于数轴上的点到点3和点4的距离之和

18、的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m<4.10若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为_答案(5,7)解析由|3xb|4，得43xb4，即x，不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则5b7.11已知函数f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|a4|有解，求a的取值范围解(1)f(x)|x3|x2|3，当x2时，有x3(x2)3，解得x2；当x3时，x3(x2)3，解得x；当3<x<2时，有2x13，解得1x<2.综上，f(x)3的解集为x|x1(2)由绝对值不等式的性质可得|x3|x2|(x3)(x2)|5，则有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解，则|a4|5，解得1a9.所以a的取值范围是1,912已知函数f(x)，m为不等式f(x)<2的解集(1)求m；(2)证明：当a，bm时，|ab|<|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)<2得2x<2，解得x>1，所以1<x；当<x<时，f(x)<2；当x时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以x<