2022年年全国初中数学竞赛试题及答案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载中国训练学会中学数学教学专业委员会2021 年全国中学数学竞赛试题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题号得 分评卷人复查人一二三总分1 56 1011121314精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答题时留意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交.一.挑选题（共5 小题,每道题7 分,共 35 分. 每道小题均给出了代号为a ,b , c, d 的四个选项,其中有且只有一个选项为正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填.多填或错填都得0分）1（甲）假如实数a , b , c 在数轴上的位置如下列图,那

2、么代数22式a| ab |ca| bc | 可以化简为（）a 2cab 2a2bca d a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1（乙）假如 a22 ,那么 1121的值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3aa 2b 2c 2d 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（甲）假如正比例函数yax a 0与反比例函数yb b 0 x的图象有两个交点,其中一个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交点的坐标为3,2 ,那么另一个交点的坐标为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2,3b 3 , 2c2 ,3d 3 ,2精品学习资料精选

3、学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（乙）在平面直角坐标系xoy 中,满意不等式x2（）y2 2x2 y 的整数点坐标x ,y的个数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 10b 9c 7d 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3（甲）假如 a, b 为给定的实数,且1ab ,那么 1,a数与中位数之差的肯定值为（）1, 2ab,ab1 这四个数据的平均精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 1b 2a14c 12d 14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3（

4、乙）如图,四边形 abcd 中, ac .bd 为对角线,bd5 ,就 cd 的长为（）abc 为等边三角形adc30°,ad3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 32b 4c 25d 4.54（甲）小倩和小玲每人都有如干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你如给我 2 元,我的钱数将为你的 n 倍”； 小玲对小倩说： “你如给我 n 元,我的钱数将为你的 2 倍”, 其中 n 为正整数, 就 n 的可能值的个数为（ ）a 1b 2c 3d 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载24（乙）假如关于x 的方程数为（）xpxq0（ p, q 为正整数）的正根小

5、于3,那么这样的方程的个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 5b 6c 7d 85（甲）一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分别为1,2, 3, 4,5, 6掷两次骰子,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的余数分别为0 , 1, 2, 3 的概率为p0, p1, p2, p3 中最大的为（）p0, p1, p2, p3 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a p0b p1c p2d p3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5（乙）黑板上写有111,l ,1共 100 个数字每次操作先从黑板上的数中选取2

6、个数,23100a,b ,然后删去 a,b ,并在黑板上写上数abab ,就经过 99 次操作后, 黑板上剩下的数为 （）a 2021b 101c 100d 99二.填空题（共5 小题,每道题7 分,共 35 分）6（甲）按如图的程序进行操作,规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果为否487.”为 一次操作 . 假如操作进行四次才停止,那么x 的取值范畴为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 （ 乙 ） .如 果 a , b , c 为 正 数 , 且 满 足a bc111109 , 那 么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abcb ccaab的值为abbcca9精

7、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7（甲）如图,正方形abcd 的边长为 215 , e . f 分别为 ab . bc 的中点, af 与 de . db精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分别交于点m . n ,就dmn的面积为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7（乙）如图,o 的半径为20, a 为 o 上一点；以oa 为对角线作矩形obac ,且 oc12 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载延长 bc ,与 o 分别交于d,e 两点,就 cebd

8、 的值等于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载28（甲）假如关于x 的方程 xkx3 k 23k90 的两个实数根分别为x1 ,x2 ,那么2021的值x12021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载42x2为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载28（乙）设 n 为整数,且1 n 2021 . 如 n为.n3n2n3能被5 整除,就全部n 的个数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9（甲） 2 位八年级同学和m 位九年级同学一起参与象棋竞赛,竞赛为单循环,即全部参赛者彼此恰好竞赛一场记分规章为：每场竞赛胜者得3 分,负者得0 分；平局各得1 分. 竞赛终

9、止后,全部同学的得分总和为130 分,而且平局数不超过竞赛局数的一半,就m 的值为.9（乙）假如正数 x ,y ,z 可以为一个三角形的三边长,那么称（ x,y, z）为三角形数 如（a,b,c）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载和111,均为三角形数,且a b c ,就abca 的取值范畴为. c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10（甲）如图, 四边形 abcd 内接于 o , ab 为直径, addc .分别延长 ba , cd ,交点为e .作 bfec ,并与 ec 的延长线交于22点 f . 如 aeao , bc6 ,就 cf 的长为.精品学习资料精选学习

10、资料 - - - 欢迎下载10（乙）已知 n 为偶数,且 1 n 100如有唯独的正整数对样的 n 的个数为（ a ,b）使得 abn 成立,就这精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.解答题（共4 题,每题20 分,共 80 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11（甲）已知二次函数yx2 （m3） xm2 ,当1x3 时,恒有y0 ；关于x 的方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x（ m3） xm2 0 的两个实数根的倒数和小于9 求10m 的取值范畴精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学

11、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11（乙）如图,在平面直角坐标系xoy 中, ao8 , abac , sinabc4 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cd 与 y 轴交于点 e ,且 s coe物线对应的二次函数的解析式.s ade. 已知经过 b , c , e 三点的图象为一条抛物线,求这条抛精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12（甲）如图,o 的直径为ab , o1 过点 o ,且与o 内切于点 b c 为 o 上的点, oc 与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o1 交于点 d ,且 odc

12、d 点 e 在 od 上,且 dcde , be 的延长线与o1 交于点 f ,求证： boc do1 f 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12（乙）如图, 的内心 . 求证：（ 1） oi 为 ibde o 的内接四边形abcd 中, ac , bd 为它的对角线,ac 的中点 i 为 abd的外接圆的切线；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） abad2bd .4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13（甲）已知整数a , b 满意： ab 为素数,且ab为完全平方数 .当 a 2021时,求 a 的最小值 .13（乙）凸 n 边形中最多有多少个内

13、角等于150 ？并说明理由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载14（甲 ）求全部正整数n ,使 得存在正整数x1, x2, l ,x2021 ,满意x1x2lx2021 , 且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12l2021n .x1x2x2021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载14（乙）将 2,3, l , nn 2任意分成两组,假如总可以在其中一组中找到数a,b,c （可以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b相同）使得ac ,求 n 的最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5精品学习

14、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中国训练学会中学数学教学专业委员会2021 年全国中学数学竞赛试题参考答案精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.挑选题1（甲） c解：由实数a , b , c 在数轴上的位置可知ba0c ,且 bc ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以a2| ab |ca2| bc |a abcabca 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1（乙） b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 111111111212 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2123a122

15、12112精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（甲） d解：由题设知,2a 3 , 3 2b ,所以 a2 ,b6 .3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2 x,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解方程组3得xy6 ,y x3,x3,2；y2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以另一个交点的坐标为3 ,2 .注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3 ,2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（乙） b2解：由题设x2y 2x2 y ,得 0 x12 y1 2 .精品学习资料

16、精选学习资料 - - - 欢迎下载2由于 x,y 均为整数,所以有 x120, x120, x121, x121, y120； y121； y120； y121.解得x1,x1,x1,x0,x0,x0,x2,x2,x2,y1；y2；y0；y1；y0；y2；y1；y0；y2.以上共计9 对（ x, y）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3（甲） d解：由题设知,1a1ab12ab ,所以这四个数据的平均数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a1ab12 ab34a2b,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载44精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中位

17、数为a1ab144a2b,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载246精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为44a2b34a2b1 .444精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3（乙） b解：如图,以cd 为边作等边由于 acbc , cdce ,cde ,连接 ae .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcdbcaacddceacdace ,所以 bcd ace , bdae .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于adc30°,所以ade90°.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2在 rt ade 中,

18、 ae5,ad3,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2于为 deaead4 ,所以cdde4 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4（甲） d解：设小倩全部的钱数为x 元.小玲全部的钱数为y 元, x,y 均为非负整数. 由题设可得x2n y2,yn2 xn,消去 x 得2 y7 ny4 ,2n2 y715115.2 y72 y7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于152 y为正整数,所以2 y77 的值分别为1, 3,5, 15,所以 y 的值只能为4, 5, 6, 11从精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 n 的值分别为8, 3, 2,

19、1； x 的值分别为14, 7, 6, 7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4（乙） c解：由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为2q0 ,故方程的根为一正一负由二次函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2数 yxpxq 的图象知, 当 x3时, y0 ,所以 33pq0 ,即 3 pq9 . 由于 p,q 都为正整精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数,所以p合题意1 , 1 q 5 ；或 p2 , 1 q 2 ,此时都有p 24q0 . 于为共有7 组（ p, q）符精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5（甲） d解：掷两次骰子,其朝上的面上的

20、两个数字构成的有序数对共有36 个,其和除以4 的余数分别为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0,1,2, 3 的有序数对有9 个, 8 个, 9 个, 10 个,所以 p9 , p8 ,p9 , p10 ,因此 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最大5（乙） c0123336363636精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由于变abab1 a1b1) ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1 后的乘积不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为x ,就x111 1111 gl g11 ,23100精品学习资

21、料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得x1101, x100精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.填空题6（甲） 7x 19精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：前四次操作的结果分别为7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3x2 , 3 3x229 x8 , 3 9x8227x26 , 3 27x26281x80精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由已知得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载27x 81x26 48780487精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得7x 19 .精品

22、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载简单验证,当7x 19 时, 3x2 4879x8 487 ,故 x 的取值范畴为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7x 19 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6（乙） 7解：由已知可得abc9bc9ca9ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bccaabbccaab9993bccaab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载910937 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7（甲） 8解 ：连 接 df , 记正 方形abcd 的 边 长为2 a .由 题设易知bfn dan ,所以adandn2

23、 ,bfnfbn1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此得 an2nf ,所以 an2 af .3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rtabf 中,由于 ab2a,bfa,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载afab 2bf 25a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为cosbafab25 .af5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由题设可知 ade baf,所以aedafb ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ame180°bafaed180°bafafb90 .精品学习资料精选学习资料 -

24、 - - 欢迎下载o于为amaecosbaf25 a ,5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mnanam2 afam45 a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s mnds afdmn4af15315.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2又 s afd1 2 a 2a2a 2 ,所以s mnd4s afd8 a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 a215 ,所以s mnd8 .1515精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7（乙） 285解：如图,设de 的中点为m ,连接om ,就 omde 由于精品学习资料精选学习资料 -

25、- - 欢迎下载ob20212216 ,所以omob oc bc161248 ,205精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2cmoc236om, bm64 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载558精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以cebd（ emcm）（dmbm）bmcm64365528 .5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8（甲）23解：依据题意,关于x 的方程有k 243 k23k9 0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此得4222k3 0 精品学习资料精选学习资料 - -

26、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 k322 0 ,所以k30 ,从而 k3 . 此时方程为x3x940 ,解得3x1x2. 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x12021故12x20212x2328（乙） 1610精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由于n2n3n 2n3 = n45n9 = n1n1n215n210 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2当 n 被 5 除余数为1 或 4 时, n1 或 n1能被 5 整除,就 nn3nn3 能被 5 整除；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2当 n 被 5 除余

27、数为2 或 3 时,n1 能被 5 整除,就n 2n3n2n3 能被 5 整除；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2当 n 被 5 除余数为0 时, nn3 nn3 不能被 5 整除 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以符合题设要求的全部n 的个数为 2021821610 109（甲） 8解：设平局数为a ,胜（负）局数为b ,由题设知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此得 0 b 43.m1m22a3b130 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 ab,所以 2 a2b 2m1m2) . 于为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

28、载0 b130 m1 m2 43 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此得 m8 ,或 m9 .87 m1m2 130 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 m8 时, b40,a5 ；当 m9 时, b20,a35 , aab55 ,不合题设 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22故 m8 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9（乙） 352解：由题设得a 1 cabc,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22111,cba所以11111 ,ccacba即111 .ccaa整理得9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a

29、3a10 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由二次函数yx23 xcc1 的图象及其性质,得352a35 .c2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于a 1 ,所以 35a 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c2c10（甲） 322解：如图,连接ac , bd , od .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 ab 为 eo 的直径知bcabda90°.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题设bfc90°,四边形 abcd 为 e o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的内接四边形,所以bcfba

30、d ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 rtbcf rtbad ,因此bcba .cfad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 od 为于为 deoedcobe o 的半径,adcd ,所以 od 垂直平分ac , od bc ,2 . 因此精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载de2cd2ad,ce3ad .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 aed ceb ,知 deecaebe 由于 aeba, be3 ba ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以2ad3 adba3 ba , ba2222ad ,故精品学习资料精选学习

31、资料 - - - 欢迎下载22adbc32cfbc.ba22210（乙） . 12解：由已知有ababn ,且 n 为偶数,所以ab,ab 同为偶数,于为n 为 4 的倍数设n4m ,就 1 m 25精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（） 如 m1,可得 b0 ,与 b 为正整数冲突精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（） 如 m 至少有两个不同的素因数,就至少有两个正整数对为一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,就至少有两个正整数对（ a、 b）满意（ a、 b）满意ababm ；如 m 恰 22ababm 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）如 m 为

32、素数,或 m 恰为一个素数的幂,且这个幂指数为2,就有唯独的正整数对ababm 22（ a、 b）满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于有唯独正整数对共有 12 个（ a、 b）,所以 m 的可能值为2, 3, 4,5, 7, 9,11,13, 17,19, 23,25,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.解答题11（甲）解：由于当1x3 时,恒有y20 ,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ m3）（4 m2） 0 ,2即（ m10 ,所以 m1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载）当 x1时, y 0 ；当 x3 时, y 0 ,即（

33、 5 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 1m3 1m2 0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且323m3m2 0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 m5 （ 10 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设方程 x2m3 xm20 的两个实数根分别为x1, x2,由一元二次方程根与系数的关系得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x2m3 , x1 x2m 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 119,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

34、载x1x210x1x2m39 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 m12,或 mx1x22 m210精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此 m12 （ 20 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11（乙）解：由于sinabcao abab104 , ao58 ,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由勾股定理,得boab2ao26 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载易知 abo aco ,因此 cobo6 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 a 0,8 , b6 ,0 , c6 ,0 .精品学习资料精选学习

35、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 点d的 坐 标 为m ,n, 由s coes ade, 得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s cdbs aob .所以1 bc | n|=1 aobo ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22112n186 ,22解得 n4 .因此 d 为 ab 的中点,点d 的坐标为3,4 .（ 10 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此 cd , ao 分别为 ab , bc 的两条中线,点e 为 abc 的重心, 所以点 e 的坐标为0 ,

36、8.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设经过 b , c , e 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为ya x6x6. 将点 e 的坐标代精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载入,解得 a2 . 27故经过 b , c , e 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y2 x28 .273（ 20 分）12 （ 甲 ） 证 明 ： 连 接 bd , 因 为 ob 为 e o1 的 直 径 , 所 以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载odb90 又由于 dcde ,所以cbe 为等腰三角形（ 5 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 bc 与e o1

37、 交于点m ,连接om ,就omb90又由于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ocob ,所以boc2 dom2dbc2dbfdo1f 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于boc,do1 f分别为等腰boc ,等腰do1 f 的顶角,所以（ 15 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bocdo 1f （ 20 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12（乙）证明：（ 1）如图,依据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cidbadbda22cdi

38、 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以cicd 同理,cicb .故点 c 为 ibd 的外心 .连接 oa , oc ,由于 i 为 ac 的中点,且oaoc ,所以 oiac ,即 oici .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 oi 为 ibd外接圆的切线.（ 10 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如图,过点i 作 iead 于点 e ,设 oc 与 bd 交于点 f .由 .bcc. d ,知 ocbd .由于cbfiae , bcciai ,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 bfae .又由于 i 为 ab

39、d 的内心,所以rt bcf rt aie ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 abad2bd abadbd2aebd .（ 20 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13（甲）解：设 abm （ m 为素数）, abn 2 （ n 为正整数） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2由于ab24abab,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222所以2am4nm ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2am2n2am2nm（ 5 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 2am2n 与 2am2n 都为正整数,且2a

40、m2n22am2n m 为素数 ,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2am2nm , 2am2n1.22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得am1, n 4m1 .42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为bam2（ m1） .4（ 10 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 a 2021 ,即m14 2021 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于 m 为素数,解得m 89 . 此时, a 8912025 .4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a2025时, m89 , b1936, n1980.精品

41、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此, a 的最小值为2025.（ 20 分）12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13（乙）解：假设凸n 边形中有 k 个内角等于 150°,就不等于 150°的内角有 nk 个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）如 kn ,由 n150°n2180°,得 n12 ,正十二边形的12 个内角都等于150°；（ 5 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如 kn ,且n 13,由 k150°nk180°n2180°,可得 k12 ,即k 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 k11 时 , 存 在 凸 n 边 形 , 其 中 的11个 内 角 等 于 150°, 其 余 nk 个 内 角 都 等 于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2180°11150°6130°, 0°180°,150°精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n11n11（ 10 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）如 kn ,且 8 n 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 kn1时