全国通用版2019版高考数学一轮复习第十三单元椭圆双曲线抛物线学案文201806133204_20210103224754

1、第十三单元 椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过椭圆过双基1椭圆的定义平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)当2a|f1f2|时，p点的轨迹是椭圆；(2)当2a|f1f2|时，p点的轨迹是线段；(3)当2a|f1f2|时，p点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围byayax，bx，对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0

2、)顶点a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为，短轴b1b2的长为焦距|f1f2|离心率e，e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21(2017·浙江高考)椭圆1的离心率是()a.b.c. d.解析：选b根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.2在平面直角坐标系xoy中，abc上的点a，c的坐标分别为(4,0)，(4,0)，若点b在椭圆1上，则()a. b.c. d.解析：选d由椭圆1，得椭圆的半焦距为4，则a(4,0)和c(4,0)为椭圆1的两个焦点点b在椭圆1上， 作出示

3、意图如图所示，.3已知椭圆1(m0)的焦距为8，则m的值为()a3或 b3c. d±3或±解析：选a当m5时，焦点在x轴上，焦距2c8，则c4，由25m216，得m3；当m5时，焦点在y轴上，焦距2c8，则c4，由m22516，得m， 故m的值为3或. 4若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m_.解析：因为焦点在x轴上，所以0m2，所以a22，b2m，c2a2b22m.因为椭圆的离心率为e，所以e2，解得m.答案：清易错1求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)2注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为p(x，y)时，|x|a，|y|b，这

4、往往在求与点p有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因1已知椭圆1的离心率为，则k的值为()a21 b21c或21 d.或21解析：选d当94k0，即5<k<4时，a3，c29(4k)5k，解得k；当94k，即k5时，a，c2k5，解得k21，k的值为或21.2已知椭圆c：1的左、右焦点分别为f1，f2，椭圆c上的点a满足af2f1f2，若点p是椭圆c上的动点，则·的最大值为()a. b.c. d.解析：选b由椭圆方程知c1，所以f1(1,0)，f2(1,0)因为椭圆c上点a满足af2f1f2，则可设a(1，y0)，代入椭圆方程可得y，所以y0

5、77;.设p(x1，y1)，则(x11，y1)，(0，y0)，所以·y1y0.因为点p是椭圆c上的动点，所以y1，故·的最大值为.双曲线过双基1双曲线的定义平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|f1f2|时，p点的轨迹是双曲线；(2)当2a|f1f2|时，p点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|f1f2|时，p点不存在2标准方程(1)中心在

6、坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)3双曲线的性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yrya或ya，xr对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|；a叫做双曲线的实

7、半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1(2017·天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为f，点a在双曲线的渐近线上，oaf是边长为2的等边三角形(o为原点)，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.y21 dx21解析：选d由oaf是边长为2的等边三角形可知，c2，tan 60°.又c2a2b2，联立可得a1，b，双曲线的方程为x21.2已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为yx，则双曲线的标准方程是()a.1 b.1cx21 d.1解析：选c由双曲线的一条渐近线方程为yx，可设其方程为x2(0)又双曲线过点(2,3), 则22， 解得1，所以双曲线的方程为x21，

8、即x21.3(2018·张掖一诊)如图，f1，f2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过f1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点b，a.若abf2为等边三角形，则双曲线的离心率为()a. b4c. d.解析：选a依题意得|ab|af2|bf2|，结合双曲线的定义可得|bf1|2a，|bf2|4a，|f1f2|2c，因为abf2为等边三角形，所以f1bf2120°，由余弦定理，可得4a216a22×2a×4a×4c2，整理得，故选a.4已知f为双曲线c：1的左焦点，p，q为c上的点若pq的长等于虚轴长的2倍，点a(5,0)在线段pq上，则

9、pqf的周长为_解析：由题意得，|fp|pa|6，|fq|qa|6，两式相加，利用双曲线的定义得|fp|fq|28，所以pqf的周长为|fp|fq|pq|44.答案：44清易错1注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.1双曲线1(0m3)的焦距为()a6 b12c36 d2解析：选bc236m2m236，c6，双曲线的焦距为12.2已知直线l：4x3y200经过双曲线c：1的一个焦点，且与双曲线c的一

10、条渐近线平行，则双曲线c的实轴长为()a3 b4c6 d8解析：选c双曲线c：1的焦点在x轴上，直线l：4x3y200与x轴的交点为(5,0)a2b2c225.直线l：4x3y200与双曲线c：1的一条渐近线平行，. 由解得a3，双曲线c的实轴长为2a6.抛物线过双基1抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点

11、ffff离心率e准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下焦半径(其中p(x0，y0)|pf|x0|pf|x0|pf|y0|pf|y01已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线1的右焦点，则此抛物线的方程为()ay22x by24xcy210x dy220x解析：选d双曲线1的右焦点为(5,0) ，由题意，设抛物线方程为y22px(p0) ，抛物线的焦点为双曲线1的右焦点，5，p10，抛物线方程为y220x.2若抛物线y4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是()a. b.c. d0解析：选b点m到准线的距离等于点m到焦点的距离，又准线方程为y，设

12、m(x，y)，则y1，故y.3若点p为抛物线y2x2上的动点，f为抛物线的焦点，则|pf|的最小值为()a2 b.c. d. 解析：选d设点p到准线的距离为d，则有|pf|d，又抛物线的方程为y2x2，即x2y, 则其准线方程为y， 所以当点p在抛物线的顶点时，d有最小值，即|pf|的最小值为.4已知抛物线y26x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为_解析：可知抛物线y26x的焦点f，设p(x，y)，x0.由抛物线的定义，得点p到焦点的距离d1xx，点p到y轴的距离d2x.由x2x，解得x，该点的横坐标为.答案：清易错1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定

13、点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p0才能证明其几何意义是焦点f到准线l的距离，否则无几何意义1动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案：y24x2抛物线8x2y0的焦点坐标为_解析：由8x2y0，得x2y.2p，p，焦点为.答案：直线与圆锥曲线的位置关系过双基1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线c的位置关系时，通常将直线l的方程axbyc0(a，b不同时为0)代入

14、圆锥曲线c的方程f(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则>0直线与圆锥曲线c相交；0直线与圆锥曲线c相切；<0直线与圆锥曲线c相离(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线c相交，且只有一个交点，此时，若c为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若c为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合2圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线c相交于a，b两点，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2|

15、· ·|y1y2| ·.1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()a相交b相切c相离 d不确定解析：选a因为直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交2过抛物线x28y的焦点f作直线l交抛物线于a，b两点，若线段ab中点m的纵坐标为4，则|ab|_.解析：由题意，可得焦点f(0,2)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y28，过焦点的弦长|ab|y1y2p8412.答案：123已知双曲线c：1(a0，b0)的渐近线与圆(x2)2y21相交，则双曲线c的离心率的取值范围是_解析：双曲线的渐近线为bx±a

16、y0，其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，即1，3b2a2，c2a2b2a2，e.又e1，1e.答案：清易错1直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点1直线yx3与双曲线1的交点个数是()a1 b2c1或2 d0解析：选a因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()a1条b2条c3条 d4条解析：选c结合图形分析可

17、知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0).一、选择题1抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点p(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为()ay8x2by16x2cx28y dx216y解析：选d根据题意知，点p(m,1)在x轴上方，则抛物线开口向上，设其标准方程为x22py，其准线方程为y，由点p到焦点的距离为5，得15, 解得p8，则抛物线的标准方程为x216y.2椭圆1的焦距为2，则m的值为()a9 b23c9或23 d16或16解析：选c由椭圆1的焦距为2，可得，22或22，解得m9或23. 3

18、过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|pq|()a9 b8c7 d6解析：选b抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|pq|pf|qf|x11x21x1x228.4若双曲线c：y21的左、右焦点分别为f1，f2，p为双曲线c上一点，满足·0的点p依次记为p1，p2，p3，p4，则四边形p1p2p3p4的面积为()a. b2c. d2解析：选c设p(x，y)，由已知得f1(，0)，f2(，0)，则(x，y)·(x，y)x25y20，即x2y25，与双曲线方程y21联立，可得交点分别为，它

19、们构成一个长为，宽为的长方形，所以四边形p1p2p3p4的面积为×.5若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()ay±3x by±xcy±2x dy±x解析：选d因为双曲线1(a0，b0)的离心率为，所以e，即e2110，所以3.因为双曲线1的焦点在y轴上，其渐近线方程为y±x，所以该双曲线的渐近线方程为y±x.6已知椭圆c：1(a>b>0)的左、右焦点为f1，f2，离心率为，过f2的直线l交c于a，b两点，若af1b的周长为4，则椭圆c的方程为()a.1 b.y21c.1 d.1解析：选a由椭圆的

20、性质知|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a，又|af1|af2|bf1|bf2|4，a.又e，c1，b2a2c22，椭圆的方程为1.7已知双曲线1的右焦点为f，若过点f的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()a. b.c. d.解析：选c由题意知f(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y±x.当过点f的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选c.8已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点，且f1pf2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()a. b.c1 d.解析：选b如图，设椭圆的长半轴长为a1，

21、双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|pf1|pf2|2a1，|pf1|pf2|2a2，|pf1|a1a2，|pf2|a1a2.设|f1f2|2c，又f1pf2，在pf1f2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化简得：(2)a(2)a4c2，即4.又，4，即e1·e2， 椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为. 二、填空题9(2017·北京高考)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析：由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以e，解得m2.答案：210(2017·全国卷)双曲线1(

22、a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.解析：双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为y±x.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.答案：511与椭圆1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为_解析：由椭圆1，得a29，b24，c2a2b25，该椭圆的焦点坐标为. 设所求椭圆方程为1，ab0，则c，又，得a5，b225520.所求椭圆方程为1. 答案：112(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线yx2的焦点f的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于a，b，c，d四点，则·_.解析：不妨设直线ab的方程为y1，联立解得x±2，则a(2,1)，d

23、(2,1)，因为b(1,1)，c(1,1)，所以(1,0)，(1,0)，所以·1.答案：1三、解答题13已知椭圆c：1(ab0)的短轴长为2，且函数yx2的图象与椭圆c仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆c交于m，n两点(1)求椭圆c的标准方程；(2)若点p为线段mn的中垂线与椭圆c的一个公共点，求pmn面积的最小值，并求此时直线l的方程解：(1)由题意可得，2b2，所以b1.联立y21(a1)与yx2，消去y，整理得x4x20，根据椭圆c与抛物线yx2的对称性，可得24×0，a1，解得a2. 椭圆c的标准方程为y21. (2)当直线l的斜率不存在时，spmn×2

24、b×a2；当直线l的斜率为0时，spmn×2a×b2；当直线l的斜率存在且不为0时设直线l的方程为ykx，由解得x2，y2. |mn|24 .由题意可得，线段mn的中垂线方程为yx，联立可得x2，y2.|op|2 .spmn·|mn|·|op|，当且仅当k±1时取等号，此时pmn的面积的最小值为. 2>，pmn的面积的最小值为，直线l的方程为y±x.14.已知点f为抛物线e：y22px(p>0)的焦点，点a(2，m)在抛物线e上，且|af|3.(1)求抛物线e的方程；(2)已知点g(1,0)，延长af交抛物线e于

25、点b，证明：以点f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切解：(1)由抛物线的定义得|af|2.因为|af|3，即23，解得p2，所以抛物线e的方程为y24x.(2)因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m±2.由抛物线的对称性，不妨设a(2,2)由a(2,2)，f(1,0)可得直线af的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而b.又g(1,0)，所以kga，kgb，所以kgakgb0，从而agfbgf，这表明点f到直线ga，gb的距离相等，故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切高考研究课(一)椭圆命题3角度求方程、研性质、用关系 全国卷5年命题分

26、析考点考查频度考查角度椭圆的标准方程5年2考求椭圆的标准方程椭圆的几何性质5年5考求离心率，求参数直线与椭圆的位置关系5年4考弦长问题、面积最值、斜率范围椭圆的定义及标准方程典例(1)若椭圆c：1的焦点为f1，f2，点p在椭圆c上，且|pf1|4，则f1pf2()a.b.c. d.(2)(2018·大庆模拟)如图，已知椭圆c：1(a>b>0)，其中左焦点为f(2，0)，p为c上一点，满足|op|of|，且|pf|4，则椭圆c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析(1)由题意得a3，c，则|pf2|2.在f2pf1中，由余弦定理可得cosf2pf1.又f2pf1(0，

27、)，f2pf1.(2)设椭圆的焦距为2c，右焦点为f1，连接pf1，如图所示由f(2，0)，得c2.由|op|of|of1|，知pf1pf.在rtpf1f中，由勾股定理，得|pf1| 8.由椭圆定义，得|pf1|pf|2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆c的方程为1.答案(1)c(2)b方法技巧(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2ny21(m>0，n>0，mn)的形式(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形

28、称为焦点三角形解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理即时演练1在平面直角坐标系xoy中，p是椭圆1上的一个动点，点a(1,1)，b(0，1)，则|pa|pb|的最大值为()a2b3c4 d5解析：选d椭圆方程为1，焦点坐标为b(0，1)和b(0,1)，连接pb，ab，根据椭圆的定义，得|pb|pb|2a4，可得|pb|4|pb|，因此|pa|pb|pa|(4|pb|)4(|pa|pb|)|pa|pb|ab|， |pa|pb|4|ab|415. 当且仅当点p在ab延长线上时，等号成立综上所述，可得|pa|pb|的最大值为5. 2已知f1，f2是椭圆c：1(a>b>0)

29、的两个焦点，p为椭圆c上的一点，且.若pf1f2的面积为9，则b_.解析：设|pf1|r1，|pf2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，又spf1f2r1r2b29，b3.答案：3椭圆的几何性质典例(1)(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90°，则该椭圆的离心率是_(2)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线交椭圆于p，q两点，且pqpf1.若|pf1|2，|pf2|2，求椭圆的标准方程；若|pq|pf1|，且，求椭圆离心率e的取值范围解

30、析(1)将y代入椭圆的标准方程，得1，所以x±a，故b，c.又因为f(c,0)，所以，.因为bfc90°，所以·0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍去)答案(2)由椭圆的定义，得2a|pf1|pf2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知pf1pf2，因此2c|f1f2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.如图，连接f1q，由pf1pq，|pq|pf1|，得|qf1|pf1|.由椭圆的定义，|pf1|pf2|2a，|qf1|qf2|2a，进而|pf1|pq|qf1|4a.于是(1)

31、|pf1|4a，解得|pf1|，故|pf2|2a|pf1|.由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)24c2，从而224c2，两边除以4a2，得e2.若记t1，则上式变成e282.由，并注意到t1关于单调递增，得3t4，即.进而e2，即e.所以椭圆离心率e的取值范围为.方法技巧椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系即时演练1已知椭圆e的左、右焦点分别为f1，f2，过f1且斜率为2的直线

32、交椭圆e于p，q两点，若f1pf2为直角三角形，则椭圆e的离心率为_解析：作出示意图如图，由题可知，2，即|pf2|2|pf1|， 又|pf2|pf1|2a，|pf1| a，|pf2|a，(2c)222，即c2a2，e. 答案：2已知椭圆c：1(a>b>0)的左、右焦点分别为 f1，f2，点p为椭圆c与y轴的交点，若以f1，f2，p三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是_解析：点p为椭圆c与y轴的交点，以f1，f2，p三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即f1pf290°，tanopf21，1，cb，c2a2c2，0e.答案：

33、直线与椭圆的位置关系典例(2017·天津高考)已知椭圆1(ab0)的左焦点为f(c,0)，右顶点为a，点e的坐标为(0，c), efa的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)设点q在线段ae上，|fq|c，延长线段fq与椭圆交于点p，点m，n在x轴上，pmqn，且直线pm与直线qn间的距离为c，四边形pqnm的面积为3c.求直线fp的斜率；求椭圆的方程思路点拨(1)由已知可得(ca)c，再结合b2a2c2，求得离心率；(2)首先设直线fp的方程为xmyc(m>0)，再写出直线ae的方程，联立方程得到点q的坐标，根据|fq|c得到m的值，求得直线fp的斜率；联立直线fp的方程和椭圆

34、方程，求得点p的坐标，再求|fp|，|pq|，确定直线pm和qn都垂直于直线fp，根据平面几何关系求面积，求c，得出椭圆的方程解(1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得(ca)c.又由b2a2c2，可得2c2aca20，即2e2e10.又因为0e1，解得e.所以椭圆的离心率为.(2)依题意，设直线fp的方程为xmyc(m0)，则直线fp的斜率为.由(1)知a2c，可得直线ae的方程为1，即x2y2c0，与直线fp的方程联立，可解得x，y，即点q的坐标为.由已知|fq|c，有222，整理得3m24m0，所以m，即直线fp的斜率为.由a2c，可得bc，故椭圆方程可以表示为1.由得直线fp的方程为3x

35、4y3c0，联立消去y，整理得7x26cx13c20，解得x(舍去)或xc.因此可得点p，进而可得|fp| ，所以|pq|fp|fq|c.由已知，线段pq的长即为pm与qn这两条平行直线间的距离，故直线pm和qn都垂直于直线fp.因为qnfp，所以|qn|fq|·tanqfn×，所以fqn的面积为|fq|qn|，同理fpm的面积等于，由四边形pqnm的面积为3c，得3c，整理得c22c.又由c0，得c2.所以椭圆的方程为1.方法技巧(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦

36、中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab| (k为直线斜率)提醒利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式即时演练1设椭圆1(a>b>0)的两焦点为f1，f2，斜率为k的直线过右焦点f2，与椭圆交于a，b，与y轴交于c，b为cf2的中点，若|k|，则椭圆离心率e的取值范围为_解析：椭圆1(a>b>0)的焦点在x轴上，设椭圆的右焦点为f2 (c,0)，则直线的方程可设为yk(xc)，令x0，得ykc，即c(0，kc)由于b为cf2的中点，b，又b为椭圆上的点，1，由

37、b2a2c2，e，可得1，k2.|k|，k2，即0.又0e1, 解得e1. 答案：2(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为，两准线之间的距离为8.点p在椭圆e上，且位于第一象限，过点f1作直线pf1的垂线l1，过点f2作直线pf2的垂线l2.(1)求椭圆e的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点q在椭圆e上，求点p的坐标解：(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆e的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此椭圆e的标准方程是1.(2)由(1)知，f1(1,0)，f2(1,

38、0)设p(x0，y0)，因为p为第一象限的点，故x0>0，y0>0.当x01时，l2与l1相交于f1，与题设不符当x01时，直线pf1的斜率为，直线pf2的斜率为.因为l1pf1，l2pf2，所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，从而直线l1的方程为y(x1)，直线l2的方程为y(x1)由解得xx0，y，所以q.因为点q在椭圆上，由对称性，得±y0，即xy1或xy1.又点p在椭圆e上，故1.联立解得x0，y0；联立无解因此点p的坐标为.1(2017·全国卷)已知椭圆c：1(a>b>0)的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线b

39、xay2ab0相切，则c的离心率为()a. b.c. d.解析：选a以线段a1a2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以c的离心率e .2(2017·全国卷)设a，b是椭圆c：1长轴的两个端点若c上存在点m满足amb120°，则m的取值范围是()a(0,19，) b(0， 9，)c(0,14，) d(0， 4，)解析：选a当0m3时，焦点在x轴上，要使c上存在点m满足amb120°，则tan 60°，即，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使c上存在点m满足amb120°，则tan 60&#

40、176;，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)3(2016·全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()a. b.c. d.解析：选b不妨设直线l经过椭圆的一个顶点b(0，b)和一个焦点f(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知×2b，解得，即e.4(2016·全国卷)已知a是椭圆e：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交e于a，m两点，点n在e上，mana.(1)当|am|an|时，求amn的面积；(2)当2|am|an|时，证明：k2.解：(1)设m(x1，y1)，则由题意知y10

41、.由已知及椭圆的对称性知，直线am的倾斜角为.又a(2,0)，因此直线am的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此amn的面积samn2×××.(2)证明：设直线am的方程为yk(x2)(k0)，代入1，得(34k2)x216k2x16k2120.由x1·(2)，得x1，故|am|x12|.由题意，设直线an的方程为y(x2)，故同理可得|an|.由2|am|an|，得，即4k36k23k80.设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上单调递增又

42、f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以k2.5(2015·全国卷)已知椭圆c：9x2y2m2(m>0)，直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.(1)证明：直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段om与c交于点p，四边形oapb能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)将ykxb代入9x2y2m2，消去y，得(k29)x22kbxb2m20，故xm

43、，ymkxmb.于是直线om的斜率kom，即kom·k9.所以直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形oapb能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与c有两个交点的充要条件是k>0，k3.由(1)得om的方程为yx.设点p的横坐标为xp.由得x，即xp.将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xm.四边形oapb为平行四边形，当且仅当线段ab与线段op互相平分，即xp2xm.于是2×，解得k14，k24.因为ki>0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形oapb为平行四边形一、选择题1如果x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数

44、k的取值范围是()a(0,1)b(0,2)c(1，) d(0，)解析：选ax2ky22转化为椭圆的标准方程，得1，x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，2，解得0k1.实数k的取值范围是(0,1)2已知直线2kxy10与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围为()a(1,9 b1，) c1,9)(9，) d(9，)解析：选c直线2kxy10恒过定点p(0,1), 直线2kxy10与椭圆1恒有公共点，即点p(0,1)在椭圆内或椭圆上，1，即m1, 又m9，1m9或m9. 3椭圆1(a>b>0)的中心在原点，f1，f2分别为左、右焦点，a，b分别是椭圆的上顶点和右顶点，p是椭圆上一点，且p

45、f1x轴，pf2ab，则此椭圆的离心率为()a. b.c. d.解析：选d如图所示，把xc代入椭圆方程1(a>b>0)，可得p， 又a(0，b)，b(a,0)，f2(c,0)，kab，kpf2，pf2ab，化简得b2c. 4c2b2a2c2，即a25c2，e .4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点f1，f2，它们在第一象限的交点为a，且af1af2 ，af1f230°，则椭圆与双曲线的离心率之积为()a2 b.c. d.解析：选a设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，焦距为2c, 由椭圆与双曲线的定义可知，|af1|af2|2a1, |af1|af2|2a2, 在r

46、taf1f2中，af1f230°，则|af2|f1f2|c，|af1|f1f2|c, 所以2a1(1)c,2a2(1)c，即e1，e2，所以e1·e2×2, 即椭圆与双曲线的离心率之积为2.5已知p(x0，y0)是椭圆c：y21上的一点，f1，f2是c的左、右焦点，若· <0，则x0的取值范围为()a. b.c. d.解析：选af1(，0)，f2(，0)，·(x0，y0)·(x0，y0)xy3.又y1，·x13<0，解得<x0<.6中心为原点，一个焦点为f(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横

47、坐标为，则该椭圆方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：选c由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1.二、填空题7若f1，f2分别是椭圆e：x21(0<b<1)的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a，b两点若|af1|3|f1b|，af2x轴，则椭圆e的方程为_解析：设点a在点b上方，f1(c,0)，f2(c,0)，其中c，则可设a(c，b2)，b

48、(x0，y0)，由|af1|3|f1b|，可得3，故即代入椭圆方程可得b21，解得b2，故椭圆方程为x21.答案：x218已知过点m(1，1)的直线l与椭圆1相交于a，b两点，若点m是ab的中点，则直线l的方程为_解析：法一：设a(x1，y1)，b(x2，y2), 由中点坐标公式可知：x1x22，y1y22, 则两式相减得：0，则，所以直线ab的斜率k，所以直线l的方程y1(x1)，即3x4y70. 法二：由点m是ab的中点，可设a(1m，1n)，b(1m，1n), 则1， 1，两式相减得：mn0，即，所以直线ab的斜率k，则直线l的方程y1(x1)，即3x4y70.答案：3x4y709椭圆1的左、右焦点分别为f1，f2，过椭圆的右焦点f2作一条直线l交椭圆于p，q两点，则f1pq内切圆面积的最大值是_解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且f1pq的周长是定值8，所以只需求f1pq面积的最大值 设直线l的方程为xmy1，联立消去x，得(3m24)y26my90, 设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1y2，y1y2，于是sf1pq|f1f2|·|y1y2|12. 设m21t，则t1，即sf1pq1212.因为g(t)9t在1，)上为单调递增函数，