考点32 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

1、考点32 直线、平面垂直的判定及其性质（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 一、直线与平面垂直1定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直.记作：l.图形表示如

2、下：【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语2直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直线面垂直图形语言符号语言la，lb，a，b，l作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.3直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直线线平行图形语言符号语言作用证明两直线平行；构造平行线.4直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个

3、平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角的范围是.5常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直（4）过空间任一点有且只有一个平面与已

4、知直线垂直二、平面与平面垂直1定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作.图形表示如下：2平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直面面垂直图形语言符号语言l，作用判断两平面垂直3平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直线面垂直图形语言符号语言作用证明直线与平面垂直4二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半

5、平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：.5常用结论（熟记）（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内三、垂直问题的转化关系考向一 线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略：(1)与命题真假判断有关的问题解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定(2)证

6、明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性()；面面平行的性质()；面面垂直的性质(3)线面垂直的证明证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(4)线面垂直的探索性问题对命题条件的探索常采用以下三种方法：a先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果

7、得到了矛盾的结果就否定假设.典例1 如图所示，adb和adc都是以d为直角顶点的等腰直角三角形，且bac=60°，下列说法中错误的是aad平面bdcbbd平面adccdc平面abddbc平面abd【答案】d【解析】易知adbd,addc,所以ad平面bdc,又与均为以d为直角顶点的等腰直角三角形,所以.又bac60°,所以为等边三角形,故bcab2bd,所以bdc90°,即bddc.所以bd平面adc,同理dc平面abd.故选d .1在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为a线段b线段c的中点与的中点连成的线段d的中点与的中点连成的线段典例2

8、如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，各个侧面均是边长为2的正方形，d为线段ac的中点（1）求证：bd平面acc1a1；（2）求证：直线ab1平面bc1d；（3）设m为线段bc1上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点e，使cedm?请说明理由【解析】（1）三棱柱abc-a1b1c1中，各个侧面均是边长为2的正方形，cc1bc，cc1ac，cc1平面abc，又bd平面abc，cc1bd，又底面为等边三角形，d为线段ac的中点，bdac，又accc1=c，bd平面acc1a1（2）如图，连接b1c交bc1于点o，连接od，则o为b1c的中点，d是ac的中点，odab1，又od平面bc1d

9、，ab1平面bc1d，直线ab1平面bc1d（3）在内的平面区域（包括边界）存在点e，使cedm，此时e在线段c1d上，证明如下：如图，过c作cec1d，交线段c1d于点e，由（1）可知，bd平面acc1a1，又ce平面acc1a1，bdce，由cec1d，bdc1d=d，得ce平面bc1d，dm平面bc1d，cedm2如图，在正方体中，e为棱的中点，f为棱bc的中点（1）求证：aeda1；（2）在线段aa1上求一点g，使得ae平面dfg？并说明理由考向二 面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角)(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直(3)在运

10、用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直典例3 已知在梯形abcd中，ab/cd，e,f分别为底ab,cd上的点，且efab，ef=eb=12fc=2，ea=12fd，沿ef将平面aefd折起至平面aefd平面ebcf，如图.（1）求证：平面bcd平面bdf；（2）若ae=2，求多面体abcdef的体积【解析】（1）由平面aefd平面ebcf，且dfef知df平面ebcf而平面bdf，所以平面bdf平面ebcf.由，可知，即bcbf，又平面ebcf,所以bc平面bdf又平面b

11、cd，所以平面bcd平面bdf（2）依题意知，多面体abcdef是三棱台abe-dcf，易得高为ef=2，两个底面面积分别是2和8，故体积为23×2+8+2×8=283典例4 如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,d,e分别是ab,bb1的中点,ab=bc.（1）证明:bc1/平面a1cd;（2）证明:平面a1ec平面acc1a1.【解析】（1）连接ac1,交a1c于点o,连接do,则o是ac1的中点,因为d是ab的中点,所以od/bc1因为od平面a1cd,bc1平面a1cd，所以bc1/平面a1cd（2）取ac的中点f,连接eo,of,fb,因为o是ac1的中点,所以o

12、f/aa1且of=12aa1显然be/aa1,且be=12aa1,所以of/be且of=be，则四边形beof是平行四边形.所以eo/bf,因为ab=bc,所以bfac.又bfcc1,所以直线bf平面acc1a1因为eo/bf,所以直线eo平面acc1a1.因为eo平面a1ec,所以平面a1ec平面acc1a1.3如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，点o是对角线ac与bd的交点，ab=2，bad=60°，m是pd的中点（1）求证：om平面pab；（2）求证：平面pbd平面pac；（3）当三棱锥cpbd的体积等于时，求pa的长4如图，在三棱柱中，底面为正三

13、角形，底面，点在线段上，平面平面.（1）请指出点的位置，并给出证明；（2）若，求点到平面的距离.考向三 线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点的选择典例5 正三棱柱的

14、所有棱长都相等，d是的中点，则直线ad与平面所成角的正弦值为a bc d【答案】b【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知平面acd，故为直角三角形设棱长为1，则有，.设a到平面的距离为h，则有，.设直线ad与平面所成的角为，则.解法二：在正三棱柱中，由d为中点可证平面，如图，作，.又，ah平面，为所求的线面角设棱长为2，在中由等面积法得，.故选b.典例6 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平

15、面，而平面，所以平面平面.（2）如图，设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是是直线与平面所成的角.由题设知，所以，在中，所以，故三棱锥的体积.5已知三棱柱的侧棱与底面垂直，底面是边长为的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为abcd6已知四棱锥中，底面，.（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.典例7 已知abcd是正方形，e是ab的中点，将和分别沿de、ce折起，使ae与be重合，a、b两点重合后记为点p，那么二面角的大小为_【答案】

16、【解析】如图，取cd中点f，连接pf、ef.eppd，eppc，ep平面pcd，epcd.pc=pd，pfcd，又pfpe=p，cd平面pef，又ef平面pef，cdef，pfe为二面角的平面角设正方形abcd的边长为2，在中，pe=1，ef=2，pfe=30°.【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析.（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的

17、平面角或其补角.典例8 在abc中，ab=4,ac=42,bac=45，以ac的中线bd为折痕，将abd沿bd折起，如图所示，构成二面角a'-bd-c,在平面bcd内作cecd，且ce=2（1）求证：ce平面a'bd；（2）如果二面角a'-bd-c的大小为90，求二面角b-a'c-e的余弦值【解析】（1）由ab=4,ac=42,bac=45得bc=4，所以abc为等腰直角三角形，由d为ac的中点得bdac，以ac的中线bd为折痕翻折后仍有bdcd.因为cecd，所以cebd，又ce平面a'bd，bd平面a'bd，所以ce平面a'bd （2

18、）因为二面角a'-bd-c的大小为90，所以平面a'bd平面bdc，又平面a'bd平面bdc=bd,a'dbd，所以a'd平面bdc，因此a'dce，又cecd，a'dcd=d，所以ce平面a'cd，从而cea'c由题意a'd=dc=22，所以在rta'dc中，a'c=4如图，设a'c中点为f，连接bf， 因为a'b=bc=4，所以bfa'c，且bf=23，如图，设a'e的中点为g，连接fg，bg，则fgce，由cea'c得fga'c，所以bfg为二面

19、角b-a'c-e的平面角， 如图，连接be，在bce中，因为bc=4,ce=2,bce=135，所以be=26在rtdce中，de=(22)2+(2)2=10，于是在rta'de中，a'e=(22)2+(10)2=32在a'be中，所以在bfg中，因此二面角b-a'c-e的余弦值为.7已知菱形的边长为1，将这个菱形沿折成的二面角，则两点间的距离为abcd8如图，多面体，平面平面，是的中点，是上的点.（1）若平面，证明：是的中点；（2）若，求二面角的平面角的余弦值.1下列说法错误的是a垂直于同一个平面的两条直线平行b若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这

20、两个平面交线的直线与另一个平面垂直c一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行d一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直2设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中不正确的是abcd3如图，三条相交于点p的线段pa，pb，pc两两垂直，p在平面abc外，ph平面abc于h，则垂足h是abc的a外心 b内心c垂心 d重心4若是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是a若，则b若，则c若，则d若，则5如图,a,b,c,d为空间四点,在abc中,ab=2,ac=bc=2,等边三角形adb以ab为轴旋转,当平面adb平面abc时,cd=a3b2c5

21、d16如图,在棱长为的正方体中,点、分别是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，且满足，则线段长度的取值范围是a bc d7九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形abcdefgh沿bg，cf向上折起，使得ah与de重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中ef与平面bcfg所成角的正弦值为a bc d8如图所示，在直角梯形中，分别是上的点，且（如图）.将四边形沿折起，连接（如图）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是平面；四点不可能共面；若，

22、则平面平面；平面与平面可能垂直.a0b1c2d39如图,在矩形abcd中,ab=2,ad=3,点e为ad的中点,现分别沿be,ce将abe,dce翻折,使得点a,d重合于点f,此时二面角e-bc-f的余弦值为 （1） （2）abcd10如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是a对任意动点在平面内不存在与平面平行的直线b对任意动点在平面内存在与平面垂直的直线c当点从运动到的过程中，二面角的大小不变d当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大11如图,三棱锥p-abc,平面pab平面pbc,若pbbc,则abc的形状为_.12在四面体abcd中，da平面abc，abac，ab=4，ac=

23、3，ad=1，e为棱bc上一点，且平面ade平面bcd，则de=_.13如图，在直三棱柱中，是的中点，若是正三角形，则直线和平面所成的角的大小是_.14如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90°，f是ac的中点，e是pc上的点，且efbc，则_.15如图所示，在四棱锥中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当dm_时，平面mbd平面pcd.16如图所示，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，为线段上的一点，求三棱锥的体积.17如图，已知四边形abcd是正方形，pd平面abcd，cd=pd=2

24、ea，pd/ea，f，g，h分别为pb，be，pc的中点.（1）求证：gh/平面pdae；（2）求证：平面fgh平面pcd.18如图，在四棱锥中，q是ad的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.19如图所示，m，n，p分别是正方体的棱ab，bc，dd1上的点.（1）若，求证:无论点p在dd1上如何移动，总有bpmn;（2）棱dd1上是否存在这样的点p，使得平面平面?证明你的结论.20在等腰梯形abcd中，e、f分别是cd、ab的中点，cd2，ab4，adbc2.沿ef将梯形afed折起，使得afb60°，如图（1）若g为fb的中点，求证：ag平面bcef；（

25、2）求二面角cabf的正切值21如图，四边形abcd为矩形，四边形bcef为直角梯形，bf/ce,bfbc,bf<ce,bf=2,ab=1,ad=5.（1）求证:bcaf;（2）求证:af/平面dce;（3）若二面角e-bc-a的大小为120,求直线df与平面abcd所成的角.1（2019年高考浙江卷）设三棱锥vabc的底面是正三角形，侧棱长均相等，p是棱va上的点（不含端点）记直线pb与直线ac所成的角为，直线pb与平面abc所成的角为，二面角pacb的平面角为，则a<，<b<，< c<，<d<，< 2（2017浙江）如图，已知正四面体（

26、所有棱长均相等的三棱锥），p，q，r分别为ab，bc，ca上的点，ap=pb，分别记二面角dprq，dpqr，dqrp的平面角为，则abcd3（2019年高考全国卷理节选）如图，长方体abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，点e在棱aa1上，beec1（1）证明：be平面eb1c1；4（2019年高考全国卷理节选）图1是由矩形adeb，rtabc和菱形bfgc组成的一个平面图形，其中ab=1，be=bf=2，fbc=60°，将其沿ab，bc折起使得be与bf重合，连结dg，如图2.（1）证明：图2中的a，c，g，d四点共面，且平面abc平面bcge；5（2019年高考北京卷理

27、节选）如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adcd，adbc，pa=ad=cd=2，bc=3e为pd的中点，点f在pc上，且（1）求证：cd平面pad；6（2019年高考江苏卷）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别为bc，ac的中点，ab=bc求证：（1）a1b1平面dec1；（2）bec1e7（2018江苏）在平行六面体中，求证：（1）平面；（2）平面平面8（2019年高考浙江卷）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是ac，a1b1的中点.（1）证明：；（2）求直线ef与平面a1bc所成角的余弦值.9（2018浙江）如图，已知多面体abca1b1c1，a1a，b1b，c1

28、c均垂直于平面abc，abc=120°，a1a=4，c1c=1，ab=bc=b1b=2（）证明：ab1平面a1b1c1；（）求直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值10（2018新课标全国理科）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.11（2017新课标全国理科节选）如图，四面体abcd中，abc是正三角形，acd是直角三角形，abd=cbd，ab=bd（1）证明：平面acd平面abc.12（2017江苏）如图，在三棱锥中，abad，bcbd，平面abd平面bcd，点e，f(e与a，d不重合)分别

29、在棱ad，bd上，且efad求证：（1）ef平面abc； （2）adac13（2017山东理科）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，时，求二面角的大小.变式拓展1【答案】a【解析】如图，连接，在正方体中，有平面，因为，所以平面，又点在侧面及其边界上运动， 故点的轨迹为平面与平面的交线段故选a2【解析】（1）如图，连接，由正方体的性质可知，又，平面，又平面，.（2）所求g点即为a1点，证明如下：由（1）可知，取cd的中点h，连接ah，eh，如图，由，可证df平面ahe，ae平面ahe，dfae.又

30、，ae平面，即ae平面dfg.3【解析】（1）在中，因为o，m分别是bd，pd的中点，所以ompb又om 平面pab, pb平面pab，所以om平面pab （2）因为底面abcd是菱形，所以bdac因为pa平面abcd，bd平面abcd，所以pabd又acpa=a，所以bd平面pac又bd平面pbd，所以平面pbd平面pac （3）因为底面abcd是菱形，且ab=2，bad=60°，所以，又，三棱锥的高为pa，所以，解得4【解析】（1）点为线段的中点.证明如下：取中点为，的中点为，连接，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以.又因为平面，平面，所以.又，所以平面，所以平面，而

31、平面，所以平面平面.（2）由，得.由（1）可知，点到平面的距离为.的面积，则等腰三角形底边上的高为.记点到平面的距离为，由，得，解得，故点到平面的距离为.5【答案】a【解析】如图所示，为正三角形的中心，设为的中心，由题意知：平面，连结，则即为与平面所成的角.由题易知线段的中点为外接球的球心，设外接球的半径为，则，.在正三角形中，.，.故选a.6【解析】（1）由，知，则，由平面，平面，得，由，平面，得平面，则点到平面的距离为一个定值，且.（2）设直线与平面所成的角为，由，可知，又平面，平面，故，又，则平面，则点到平面的距离为，由知点与点到平面的距离相等，则点到平面的距离为，由知，故.7【答案】b

32、【解析】菱形abcd的边长为1，将这个菱形沿ac折成的二面角，取ac中点o，连结do，bo，bd，则，是将这个菱形沿ac折成的二面角的平面角，则，即，d两点间的距离为故选b8【解析】（1）设平面平面，因为平面pbc，平面adp，所以，又因为，所以平面pbc，所以，所以，又因为m是ap的中点，所以n是dp的中点.（2）在平面abcd内作，垂足为g，过g作于h，连接ah（如图），因为平面平面pbc，所以平面pbc，则，又，所以平面pbc，则，所以平面，则，所以为二面角的平面角，易知，又，则，在中，易知，则，所以.即二面角的平面角的余弦值为.考点冲关1【答案】d【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于

33、同一个平面的两条直线平行，a正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，b正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，c正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，d错误，故选d2【答案】d【解析】对于选项d，可能还有b，或者b在内，所以d不正确3【答案】c【解析】连接ah并延长交bc于d，连接pd，papb,papc，pbpc=p pa平面pbc，则pabc，又ph平面abc，则phbc，又paph=p，bc平面pad，则bcad，同理abch，故垂足

34、h是abc的垂心,选c4【答案】c【解析】a中，若，平面可能垂直也可能平行或斜交，不正确；b中，若，平面可能平行也可能相交，不正确；c中，若，则分别是平面的法线，又，必有，正确；d中，若，平面可能平行也可能相交，不正确.故选c5【答案】b【解析】取ab的中点e,连接de,ce,因为adb是等边三角形,所以deab当平面adb平面abc时，因为平面adb 平面abc=ab，所以de平面abc，可知dece.由已知可得de=3,ec=1，在rtdec中,cd=de2+ce2=2.6【答案】d【解析】因为平面，平面，所以，又因为所以可得平面，当点在线段上时，总有，所以的最大值为，最小值为，则线段长度

35、的取值范围是，故选d7【答案】a【解析】如图，取fg中点m，连接em，过点e作eo平面bcfg，连接fo，om，则efo为直线ef与平面bcfg所成的角，易知fm=1，om=1，ef=eg=5，所以em=2，oe=3，则sinefo=oeef=35=155.8【答案】b【解析】连接，取的中点，的中点，连接，易证明四边形是平行四边形，即，所以平面，所以正确；若四点共面，因为，所以平面，可推出，所以，这与已知相矛盾，故四点不可能共面，所以正确；连接，在梯形中，易得，又，所以平面，即，所以平面，则平面平面，所以正确；延长至，使得，连接，易得平面平面，过作于，则平面，若平面平面，则过作直线与平面垂直，

36、其垂足在上，前后矛盾，故错误.综上所述，错误的个数是1.故选b9【答案】b【解析】如图所示,取bc的中点p,连接ep,fp,由题意得bf=cf=2,所以pfbc又，所以epbc,所以epf为二面角e-bc-f的平面角,而，在epf中，,所以二面角e-bc-f的余弦值为74.10【答案】c【解析】因为在平面内，且平行于平面，故a错误；平面即平面，又平面与平面斜相交，所以在平面内不存在与平面垂直的直线，故b错误；平面即平面，平面与平面是确定的平面，所以二面角的大小不改变，故c正确；平面即平面，点到平面的距离为定值，故d错误.故选c11【答案】直角三角形【解析】平面pab平面pbc，平面pab平面p

37、bc=pb,pbbc,bc平面pbc，bc平面pab，bcab，abc为直角三角形，故答案为直角三角形.12【答案】135【解析】过a作ahde,因为平面ade平面bcd，且平面ade平面bcd=de,ah平面bcd，ahbc,又adbc,bc平面ade, bcae ,ae=3×45，ad=1，de=135.13【答案】30°.【解析】如图所示，连接ad，由题意可知即为直线和平面所成的角.不妨设，则，则，即直线和平面所成的角的大小是.14【答案】1【解析】在三棱锥pabc中，因为pa底面abc，bac90°，所以ab平面apc.因为ef平面pac，所以efab，因

38、为efbc，bcabb，所以ef底面abc，所以paef，因为f是ac的中点，e是pc上的点，所以e是pc的中点，所以.15【答案】pc【解析】由相关定理可知，bdpc.当dmpc时，则有pc平面mbd.而pc平面pcd，所以平面mbd平面pcd.所以应填pc.16【解析】（1）因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面.（2）因为为等边三角形，所以，因为，平面，平面，所以平面.因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，因为四边形为菱形，所以，所以.17【解析】（1）如图，分别取pd的中点m，ea的中点n.连接mh，ng，mn，因为g，h分别为be，pc的中点，所以，因

39、为ab与cd平行且相等，所以mh平行且等于ng，故四边形ghmn是平行四边形.所以gh/mn.又因为gh平面pdae，mn平面pdae，所以gh/平面pdae.（2）因为pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc.因为bccd，pdcd=d，所以bc平面pcd.因为f，h分别为pb、pc的中点，所以fh/bc.所以fh平面pcd.因为fh平面fgh，所以平面fgh平面pcd.18【解析】（1）如图，连接，是的中点，则四边形是平行四边形，.又，又平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）由（1）知平面平面，又平面平面，平面，平面，则为直线与平面所成的角，在中，.故直线与平面所成角的正切值为.

40、19【解析】（1）连接bd，则bdac.，mnac，bdmn，dd1平面abcd，mn平面abcd，dd1mn，mn平面bdd1 b1.无论p在dd1上如何移动，总有bp平面bdd1 b1，总有mnbp.（2）存在点p，且p为dd1的中点，使得平面apc1平面a1acc1.证明如下：由题意可得bdcc1，又bdac，accc1=c，bd平面a1acc1.连接，与的交点为e，连接pe，则pebd，pe平面a1acc1.又pe平面apc1，平面apc1平面a1acc1.20【解析】（1）因为afbf，afb60°，所以为等边三角形又g为fb的中点，所以agfb在等腰梯形abcd中，e、f

41、分别是cd、ab的中点，所以efab于是efaf，efbf，又afbf=f，所以ef平面abf，因为ag平面abf，所以agef.又efbf=f，所以ag平面bcef. （2）如图，连接cg，因为在等腰梯形abcd中，cd2，ab4，e、f分别是cd、ab中点，g为fb的中点，所以ecfgbg1，则四边形cgfe是平行四边形，从而cgef.因为ef平面abf，所以cg平面abf.过点g作ghab于h，连接ch，则chab，所以chg为二面角cabf的平面角. 在中，bg1，gbh60°，所以gh32.在中，cgbg，bg1，bc2，所以cg1.在中，可得，所以二面角cabf的正切值为

42、.21【解析】（1）四边形abcd为矩形,abbc,又bfbc,ab,bf是平面abf内的两条相交直线,bc平面abf,af平面abf,bcaf.（2）在ce上取一点m,使cm=bf,连接fm,bf/ce,bf/cm,四边形bcmf为平行四边形,mfbc,mf ad,四边形admf为平行四边形,af/dm,dm平面dce,af平面dce,af/平面dce.（3）bcab,bcbf,abf就是二面角e-bc-a的平面角,abf=120,bf=2,ab=1,ad=5,af=ab2+bf2-2abbfcosabf=7,在直角adf中,df=ad2+af2=23,过f作fn与ab的延长线垂直,n是垂足

43、,连接nd，在rtfnb中,fn=3,bc平面abf,bc平面abcd,平面abf平面abcd,fn平面abcd,fdn是直线df与平面abcd所成的角,在rtfdn中,fdn=30.则直线df与平面abcd所成的角为30.直通高考1【答案】b【解析】如图，为中点，连接vg，在底面的投影为，则在底面的投影在线段上，过作垂直于于e，连接pe，bd，易得，过作交于，连接bf，过作，交于，则，结合pfb，bdh，pdb均为直角三角形，可得，即；在rtped中，即，综上所述，答案为b.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基

44、本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.2【答案】b【解析】设o为三角形abc中心，则o到pq距离最小，o到pr距离最大，o到rq距离居中，而三棱锥的高相等，因此，所以选b3【解析】（1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面4【解析】（1）由已知得adbe，cgbe，所以adcg，故ad，cg确定一个平面，从而a，c，g，d四点共面由已知得abbe，abbc，故ab平面bcge又因为ab平面abc，所以平面abc平面bcge5【解析】（1）因为pa平

45、面abcd，所以pacd又因为adcd，所以cd平面pad6【解析】（1）因为d，e分别为bc，ac的中点，所以edab.在直三棱柱abca1b1c1中，aba1b1，所以a1b1ed.又因为ed平面dec1，a1b1平面dec1，所以a1b1平面dec1.（2）因为ab=bc，e为ac的中点，所以beac.因为三棱柱abca1b1c1是直棱柱，所以cc1平面abc.又因为be平面abc，所以cc1be.因为c1c平面a1acc1，ac平面a1acc1，c1cac=c，所以be平面a1acc1.因为c1e平面a1acc1，所以bec1e.【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，