考点26 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-备战2020年高考数学（理）考点一遍过_20210103224733

1、考点26 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.一、二元一次不等式（组）与平面区域1二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线2对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：3确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法（1）对于直线同一侧的所有点(x，y

2、)，使得的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足.（2）可在直线的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从的符号就可以判断 (或)所表示的区域（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（4）点p1(x1，y1)和p2(x2，y2)位于直线的两侧的充要条件是；位于直线同侧的充要条件是.二、简单的线性规划问题1简单线性规划问题的有关概念（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件关于变量x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的线性约束条件（2）

3、目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数.（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解2简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为)；（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z取得

4、最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案3线性规划的实际问题的类型（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小 常见问题有：物资调运问题；产品安排问题；下料问题.4非线性目标函数类型（1）对形如型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题（2）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等（3）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题

5、化为求可行域内的点(x，y)到直线的距离的倍的最值考向一 二元一次不等式（组）表示的平面区域1确定平面区域的方法如下：第一步，“直线定界”，即画出边界，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定表示的是直线哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面

6、区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.典例1 不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为_【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图，由可得，可化为，表示以为圆心，以为半径的圆内及其圆上各点，由图可知不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为以为圆心，以为半径的圆的四分之一，其面积为，故答案为.典例2 已知不等式组表示的平面区域的面积为2，则 的值为 a bc1 d2【答案】c【解析】作出可行域，因为不等式组表示的平面区域为直角三角形，所以所以.故选c.1不等式组

7、表示的平面区域的形状为a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d等腰直角三角形考向二 线性目标函数的最值问题1平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. 2顶点代入法：依约束条件画出可行域;解方程组得出可行域各顶点的坐标;分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较后得出z的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.

8、（）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.典例3 已知点x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值与最小值之差为a5 b6c7 d8【答案】c【解析】作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作直线并平移知，当直线经过点a时,z取得最大值；当直线经过点b时,z取得最小值.由,得,即a(2,3),故zmax=9.由,得,即b(0,2),故zmin=2,故z的最大值与最小值之差为7,选c.2已知实数满足则的最小值为_考向

9、三 含参线性规划问题1若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法.2若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状.典例4 若变量x,y满足约束条件,且u=2x+y+2的最小值为-4,则k的值为a7 b c d2【答案】b【解析】因为u=2x+y+2,设z=2x+y,则u=z+2,因为u=2x+y+2的最小值为-4,所以z的最小值为-6.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,目

10、标函数z=2x+y过点a(2k,2k)时取得最小值,且,解得k=-1.典例5 设变量x,y满足,z=a2x+y(0<a<2)的最大值为5,则a=a1 b c d 【答案】a【解析】如图，画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.z=a2x+y,y=-a2x+z,求z的最大值,即求直线y=-a2x+z在y轴上的最大截距,显然，当直线y=-a2x+z过点a时，在y轴上的截距取得最大值.由,解得a(2,3),则2a2+3=5,可得a=1.故选a.3若满足约束条件，的最小值为，则_考向四 利用线性规划解决实际问题用线性规划求解实际问题的一般步骤为：（1）模型建立：正确理解题意，将一般文

11、字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案注意：（1）在实际应用问题中变量除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略.（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解.典例6 下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及4800

12、0单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），则混合物的成本最少为_元维生素（单位：千克）400600400维生素（单位：千克）800200400成本（元/千克）12108【答案】960【解析】由题意得，消去得设混合物的成本为，则画出表示的可行域，如图中阴影部分所示， 当直线过可行域内的点，即千克，千克，千克时，成本最少，为元典例7 某家具厂有方木料，五合板，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料、五合板；生产每个书橱需要方木料、五合板.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？【解析】设生产书桌x张

13、，书橱y个，利润总额为z元，则，即，.作出表示的可行域，如图中阴影部分所示.由图可知：当直线经过可行域上的点m时，截距最大，即z最大，解方程组得m的坐标为(100,400).则(元).因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.4某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种.已知台大型货车与台小型货车的运费之和少于万元，而台大型货车与台小型货车的运费之和多于万元.则台大型货车的运费与台小型货车的运费比较a台大型货车运费贵b台小型货车运费贵c二者运费相同d无法确定考向五 非线性目标函数的最值问题1斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，

14、其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的.因此有必要总结常见模型或其变形形式.2距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值.典例8 已知实数x、y满足不等式组,若x2+y2的最大值为m,最小值为n,则m-n=a b c8 d9【答案】b【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,观察图形可知,原点到直线x+y-3=0的距离|od|的平方等于n,|oa|2=m,经过计算可得m=13,n=,则m-n=,故选b.典例9 已知x,y满足,如果目标函数z=的取值范围为0,2),则实

15、数m的取值范围为a0, b(-,c(-,) d(-,0【答案】c【解析】作出表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数z=的几何意义为可行域内的点(x,y)与a(m,-1)连线的斜率.由得,即b(2,-1).由题意知m=2不符合题意,故点a与点b不重合,因而当连接ab时,斜率取到最小值0.由与2x-y-2=0得交点c(,-1),在点a由点c向左移动的过程中,可行域内的点与点a连线的斜率小于2，而目标函数的取值范围满足z0,2),则m<,故选c.5已知实数，满足，则的最大值是_1若实数，满足不等式组，则的最小值为a4b5c6d72设，满足约束条件，则的取值范围是abcd3设满足约束条件，且

16、的最小值为2，则a1b1cd4在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值是a1bc2d5已知，设为可行域内一点，则的最大值为abcd6已知满足约束条件且不等式恒成立，则实数的取值范围为abcd7若满足则的最大值为abcd8设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是a bc d9若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为a bc d10不等式组表示的平面区域的面积为_11在平面直角坐标系中，已知点a(-1,0)，b(1,2)，c(3,-1)，点p(x，y)为边界及内部的任意一点，则x+y的最大值

17、为_.12设满足约束条件，则的最小值为_.13已知满足约束条件，若可行域内存在使不等式有解，则实数的取值范围为_14若变量，满足约束条件，则的最大值为_.15设变量x,y满足约束条件,目标函数z=x+6y的最大值为m,则当2a+b=m18(a>0,b>0)时,2a+1b 的最小值为_.16某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知编制一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米，设该厂用所有原料编制个花篮个花盆.（1）列出满足的关系式，并画出相应的平面区域；（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获

18、利200元,那么怎样安排花篮与花盆的编制个数,可使得所得利润最大,最大利润是多少?1（2019年高考北京卷理数）若x，y满足，且y1，则3x+y的最大值为a7b1c5d72（2019年高考天津卷理数）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为a2b3c5d63（2019年高考浙江卷）若实数满足约束条件，则的最大值是a b 1c 10d 124（2017年高考全国ii卷理数）设，满足约束条件，则的最小值是abcd5（2018年高考全国i卷理数）若，满足约束条件，则的最大值为_6（2018年高考全国ii卷理数）若满足约束条件 则的最大值为_7（2017年高考全国i卷理数）设x，y满足约束条件则的最小

19、值为 .8（2017年高考全国iii卷理数）若，满足约束条件，则的最小值为_.变式拓展1【答案】d【解析】由不等式组可得平面区域如下图阴影部分所示：易知，是的垂直平分线，又直线与垂直，平面区域的形状为等腰直角三角形.本题正确选项为d.【名师点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域的形状问题，属于基础题.根据不等式组得到平面区域，根据直线垂直关系和线段长度关系可得区域形状.2【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，即.【名师点睛】本题考查根据不等式组表示的平面区域来求目标函数的最值，能否绘出不等式组表示的平面区域是解

20、决本题的关键，考查数形结合思想，是简单题.求解时，首先可以根据题意绘出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何性质，找出目标函数取最小值所过的点，即可得出结果.3【答案】4【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：取最小值时，即在轴上的截距最小，平移直线可知，当过点时，在轴上的截距最小，由得：，解得：，本题正确结果为.【名师点睛】本题考查线性规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.求解时，由约束条件得到可行域，取最小值时在轴上的截距最小，数形结合求得结果.4【答案】a【解析】设大型货车每台运费万元，小型货车每台运费万元，依题意得，画出该不等式组表示的

21、平面区域：由图可知，过时，最小.，即，故选a.【名师点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，画出表示的区域即可解决.5【答案】【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中，由，可知的几何意义为可行域中的点到直线距离的倍，可行域中的点到直线距离最大的点为，.本题正确结果为.【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解求解时，画出约束条件的可行域，求出三角形的顶点坐标，根据的几何意义，求出最值取得的点，代入目标函数

22、求解即可考点冲关1【答案】b【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影区域所示，令，则.分析知，当，时，取得最小值，且，故选b.【名师点睛】本题主要考查线性规划求解最值，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.求解时，作出可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出最小值.2【答案】b【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示可行域内的点与点之间连线的斜率，数形结合可知目标函数在点处取得最大值：，目标函数在点处取得最小值：，故目标函数的取值范围是.故选b.【名师点睛】求解时，首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围即可.3【答案】b【解析】结合目标函数作出不等

23、式组表示的平面区域如图阴影部分表示：其中，作直线，平移直线，当其经过点时，取得最小值，即，解得.故选b.【名师点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4【答案】b【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，过点o向直线作垂线，垂足在可行域内，所以o到直线的距离即为的最小值，所以.故选b.【名师点睛】本题考查线性规划，属于距离模型，利用点到直线的距

24、离公式求解.求解时，首先在平面直角坐标系中作出不等式组表示的可行域，表示o到可行域内某点的距离，过点o向直线作垂线，垂足在可行域内，所以o到直线的距离即为的最小值.5【答案】c【解析】由题意作出其平面区域，由解得，由线性规划知识知经过点时，取得最大值，此时，有最大值，故选c.【名师点睛】本题考查了线性规划、向量的数量积，属于基础题.6【答案】a【解析】由约束条件作出可行域如图，令，平移直线，则当直线过点时，直线的纵截距最大，有最小值，因为不等式恒成立，所以，即.故选a.【名师点睛】本题主要考查线性规划求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1

25、）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7【答案】d【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线的距离的倍最大，据此可知目标函数在点a处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故选d.【名师点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数一定的几何意义8【答案】c

26、【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由a1，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由，解得a（3，1），此时满足loga31，解得a3，实数a的取值范围是3，+），故选c【名师点睛】解本题时，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=logax（a1）的图象特征，结合区域上的点即可解决问题.利用线性规划求最值的步骤：在平面直角坐标系内作出可行域；考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值9【答案】a【解析】由图可得，点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.区域即的

27、面积为，区域的面积为圆的面积，即，其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积，所以区域和区域相交的部分面积，所以落入区域的概率为.所以均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为.故本题正确答案为a【易错点睛】本题考查的是一个与面积相关的几何概型，以线性规划为背景，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域，计算出可行域的面积；二、画目标函数所对应的区域，为一个圆，计算出面积，即，注意圆有一部分没在可行域内，得到公共部分的面积，由几何概型的面积公式可得，从而得解.10【答案】3【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为，其中，所以.故答案为3.11【答案】3【解析】依

28、题意，作出可行域，设z=x+y，当直线y=-x+z过点b时，z有最大值3，故填3.12【答案】【解析】由图知的最小值为原点到直线的距离，则最小距离为.【名师点睛】本小题主要考查非线性目标函数的最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.求解时，画出可行域，利用的几何意义，求得的最小值.13【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，要使可行域内存在使不等式有解，只需目标函数的最大值为非负值即可.平移直线，由图可知，当直线经过点时，目标函数的有最大值，所以，即.综上，可行域内存在使不等式有解，实数的取值范围是，故答案为.【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题

29、.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数最优解的对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14【答案】【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：，取最大值时，最大，的几何意义为：与原点连线的斜率，由上图可知，点与原点连线斜率最大，由得：，.【名师点睛】本题考查线性规划中斜率型的最值的求解，关键是能够明确分式类型的目标函数的几何意义，属于常规题型.求解时，根据约束条件得到可行域，将化为，根据的几何意义可求得取时，最大，代入可求得的最大值.15

30、【答案】9【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由z=x+6y得,数形结合可知当直线经过点a时,直线的纵截距最大,此时z最大.由,解得,即a(0,3).将a(0,3)的坐标代入目标函数z=x+6y,得zmax=0+3×6=18,所以m=18,所以2a+b=1,2a+1b=(2a+1b)(2a+b)=4+1+2ba+2ab5+2×2=9(当且仅当a=b=时等号成立).16【答案】（1）见解析；（2）该厂编制200个花篮,100个花盆所获利润最大,最大利润为8万元.【解析】（1）由已知得x、y满足的关系式为，等价于,该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影

31、部分内的整点.（2）设该厂所得利润为z元,则目标函数为z=300x+200y,将变形为,这是斜率为,在y轴上的截距为、随z变化的一组平行直线.又因为x、y满足约束条件,所以由图可知,当直线经过可行域上的点m时,截距最大,即z最大.解方程组得点m的坐标为(200,100)且恰为整点,即所以.故该厂编制200个花篮,100个花盆所获利润最大,最大利润为8万元.直通高考1【答案】c【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设,当直线经过点时,取最大值5.故选c【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识基本技能的考查.2【答案】c【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值.由，得，所以.故选c.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求3【答案】c【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示.因为，所以.平移直线可知，当该直线经过点a时，z取得最大值.联立两直线方程可得，解得.即点a坐标为，所以.故选c.【