通用版2020版高考数学大一轮复习第23讲正弦定理和余弦定理学案理新人教A版20190313367_20210103224753

1、第23讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asina=2r(其中r是abc的外接圆的半径) a2=, b2=, c2= 定理的变形a=2rsin a,b=,c=,abc=   cos a=, cos b=, cos c= 2.在abc中,已知a,b和a时,解的情况如下:a为锐角a为钝角或直角图形关系式a=bsin absin a<a<baba>b解的个数    3.三角形面积公式(1)s=12ah(h表示边a上的高);

2、(2)s=12bcsin a=12acsin b=12absin c;(3)s=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在abc中,a+b+c=;变形:a+b2=2-c2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(a+b)=sin c;(2)cos(a+b)=-cos c;(3)sin a+b2=cos c2;(4)cos a+b2=sin c2.3.三角形中的射影定理在abc中,a=bcos c+ccos b;b=acos c+ccos a;c=bcos a+acos b.题组一常识题1.教材改编 在abc中,b=45°,c=60°,

3、c=2,则最短边的边长等于. 2.教材改编 在abc中,已知a=5,b=23,c=30°,则c=. 3.教材改编 在abc中,已知a2-c2+b2=ab,则c等于. 4.教材改编 在abc中,已知a=32,b=23,cos c=13,则abc的面积为. 题组二常错题索引:在abc中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在abc中,若sin a=sin b,则a,b的关系为;若sin a>sin b,则a,b的关系为. 6.在ab

4、c中,若a=60°,a=43,b=42,则b等于. 7.在abc中,a=2,b=3,c=60°,则c=,abc的面积等于. 8.在abc中,a,b,c分别为内角a,b,c所对的边,若ccos a=b,则abc为三角形. 探究点一利用正弦、余弦定理解三角形例1 在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知a=3,且b2+c2=3+bc.(1)求角a的大小;(2)求bsin c的最大值.   总结反思 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定

5、理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.变式题 (1)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanatanb=2cb,则c=()a.6b.4c.4或34d.3(2)2018·衡水中学月考 已知abc满足bc·ac=22,若c=34,sinasinb=12cos(a+b),则ab=. 

6、探究点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2 已知在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin b·sin c=sin2a,则abc的形状是()a.等腰三角形b.直角三角形c.等边三角形d.等腰直角三角形   总结反思 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用a+b+c=这个结论.变式题 在abc中,a,b,c分别为内角a,b,c所对的边,若tanatanb=a2

7、b2,则abc是()a.直角三角形b.等腰三角形c.等腰直角三角形d.直角三角形或等腰三角形探究点三与三角形面积有关的问题例3 2018·洛阳三模 在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c且bsin b+(c-b)sin c=asin a.(1)求角a的大小;(2)若sin bsin c=38,且abc的面积为23,求a.    总结反思 (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表

8、示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.变式题 2018·黄冈中学月考 在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求abc的面积;(2)若cos bcos c=14,求abc的周长.   第23讲正弦定理和余弦定理考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.bsinbcsincb2+c2-2bccos ac2+a2-2accos ba2+b2-2abcos

9、 c2rsin b2rsin csin asin bsin cb2+c2-a22bca2+c2-b22caa2+b2-c22ab2.一解两解一解一解对点演练1.263解析 易知a=75°,角b最小,所以边b最短.由正弦定理bsinb=csinc,得bsin45°=2sin60°,解得b=263.2.7解析 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=52+(23)2-2×5×23cos 30°=7,所以c=7.3.60°解析 因为cos c=a2+b2-c22ab=12,所以c=60°.4.43解析 因为sin

10、 c=1-cos2c=223,所以abc的面积s=12absin c=43.5.a=ba>b解析 根据正弦定理知,在abc中有sin a=sin ba=ba=b,sin a>sin ba>ba>b.6.45°解析 由正弦定理知asina=bsinb,则sin b=bsinaa=42×3243=22.又a>b,所以a>b,所以b为锐角,故b=45°.7.7332解析 易知c=4+9-2×2×3×12=7,abc的面积等于12×2×3×32=332.8.直角解析 ccos

11、a=b,由正弦定理得sin ccos a=sin b=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c,整理得sin acos c=0,sin a0,cos c=0,即c=90°,则abc为直角三角形. 【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将bsin c表示为关于c的三角函数,再结合c的取值范围求最大值.解:(1)由a=3,b2+c2=3+bc,得b2+c2-a22bc=3+bc-a22bc=12,即cos a=12,又a(0,),a=3.(2)由正弦定理,得b=asinasin b=2sin b,bsin c=2sin csin b=2

12、sin csin23-c=2sin c12sinc+32cosc=sin2c+3sin ccos c=32sin 2c-12cos 2c+12=sin2c-6+12.0<c<23,-6<2c-6<76,当sin2c-6=1,即c=3时,bsin c取得最大值32.变式题(1)b(2)10解析 (1)由1+tanatanb=2cb得1+sinacosbcosasinb=2sincsinb,整理得sin bcos a+sin acos b=2sin ccos a,所以sin(a+b)=sin c=2sin ccos a,所以cos a=12.又因为a(0,),所以sin a

13、=32.由正弦定理asina=csinc,得sin c=csinaa=22,所以c=4.故选b.(2)由正弦定理可得sinasinb=bcac,因为a+b+c=,所以cos(a+b)=-cos c,则由已知条件可知bcac=-12cosc=22,又bc·ac=22,可得bc=2,ac=2,由余弦定理得ab=bc2+ac2-2·bc·ac·cosc=2+4-2×2×2×-22=10.例2思路点拨 由b2+c2=a2+bc及余弦定理可得a=3,由sin b·sin c=sin2a及正弦定理可得bc=a2,结合b2+c2

14、=a2+bc可得b=c.c解析 在abc中,b2+c2=a2+bc,cos a=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又a(0,),a=3. sin b·sin c=sin2a,bc=a2.又由b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=a2-bc=0,b=c,abc的形状是等边三角形.故选c.变式题d解析 由条件可得sinaa2cosa=sinbb2cosb,由正弦定理可得aa2cosa=bb2cosb,整理可得acos a=bcos b,所以sin acos a=sin bcos b,即sin 2a=sin 2b,所以2a=2b或2a=-2b,所以a=b或a+b=2,所以abc是

15、等腰三角形或直角三角形.例3思路点拨 (1)利用已知条件,结合正弦定理以及余弦定理即可求出角a的大小;(2)利用正弦定理以及三角形的面积公式求解a.解:(1)由bsin b+(c-b)sin c=asin a及正弦定理得b2+(c-b)c=a2,即b2+c2-bc=a2,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=12,又a(0,),a=3.(2)由正弦定理asina=bsinb=csinc,可得b=asinbsina,c=asincsina,sabc=12bcsin a=12·asinbsina·asincsina·sin a=a2sinbsinc2sina

16、=23,又sin bsin c=38,sin a=32,38a2=23,a=4.变式题解:(1)由a2-bc=(b-c)2可得b2+c2-a2=bc,cos a=12,又a(0°,180°),sin a=32,sabc=12bcsin a=34.(2)cos a=-cos(b+c)=12,sin bsin c-cos bcos c=12,又cos bcos c=14,sin bsin c=34.由正弦定理得asina2=bcsinbsinc=43,a=1,b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3.又b2+c2-a2=1,b+c=2,abc的周长为a+b+

17、c=1+2=3.【备选理由】 例1考查了利用正弦、余弦定理解三角形;例2考查了利用二倍角公式、余弦定理以及勾股定理判断三角形的形状;例3考查了求三角形的面积的最大值;例4考查了与三角形面积有关的问题,涉及三角形的中线以及利用基本不等式求解边的最值等问题.例1配合例1使用 2018·莆田六中月考 在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且c(sin c-sin a)=(sin a+sin b)(b-a).(1)求角b的大小;(2)若c=8,点m,n是线段bc的两个三等分点,且bm=13bc,anbm=23,求am的值.解:(1)c(sin c-sin a)=(sin a+s

18、in b)(b-a),由正弦定理得c2-ca=b2-a2,a2+c2-b2=ca,cos b=a2+c2-b22ca=12,又0<b<,b=3.(2)设bm=x,则bn=2x,an=23x,又b=3,ab=8,在abn中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcos3,解得x=2(负值舍去),即bm=2,在abm中,由余弦定理得am=ab2+bm2-2·ab·bm·cos3=82+22-2×8×2×12=52=213.例2配合例2使用 已知在abc中,a,b,c分别为内角a,b,c的对边,且c

19、os2a2=12+b2c,则abc为()a.正三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形解析 bcos2a2=12+b2c,1+cosa2=12+b2c,即cos a=bc,b2+c2-a22bc=bc,则c2=a2+b2,故abc为直角三角形,故选b.例3配合例3使用 2018·三明一中月考 如图所示,在平面四边形abcd中,ab=1,cb=2,acd为正三角形,则bcd的面积的最大值为. 答案 1+3解析 在abc中,设abc=,acb=,由余弦定理可知ac2=12+22-2×1×2cos =5-4cos .acd为正三角形,cd2=5-4cos ,由正弦定理得1sin=acsin,ac·sin =sin ,cd·sin =sin .(cd·cos )2=cd2(1-sin2)=cd2-sin2=5-4cos -sin2=(2-cos )2,<bac,为锐角,cd&