高考数学一轮复习总教案：14.3　数学归纳法

1、14.3数学归纳法典例精析题型一用数学归纳法证明恒等式 【例1】是否存在常数a、b、c，使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nn*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.【解析】 假设存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nn*都成立.当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，显然成立；假设nk(kn*，k1)时等式成立，即122232k2 (k1)22212k(2k21)；则当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(

2、2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21.因此存在a，b2，c1，使等式对一切nn*都成立.【点拨】 用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由nk到nk1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.【变式训练1】用数学归纳法证明：当nn*时，.【证明】(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk(kn*)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nn*等式都成立.题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】 已知f(

3、n)(2n7)·3n9，是否存在自然数m使得任意的nn*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】 由f(1)36，f(2)108，f(3)360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n1时，结论显然成立；来源:(2)假设当nk(k1，kn*)时结论成立，即f(k)(2k7)·3k9能被36整除.来源:则当nk1时，f(k1)(2k9)·3k193(2k7)·3k918(3k11)，由假设知3(2k7)·3k9能被36 整除，又3k11是偶数，故18(3k11)也能被36

4、整除.即nk1时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除.由f(1)36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】 与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明. 在证明nk1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除.【证明】方法一：当n1时，f(1)348964，命题显然成立.假设当nk(k1，kn*)时结论成立，即f(k)32k28k9能被64整除.由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)9·8k9·98(k1)99

5、(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，所以nk1时命题也成立.根据可知，对任意的nn*，命题都成立.方法二：当n1时，f(1)348964，命题显然成立.假设当nk(k1，kn*)时，f(k)32k28k9能被64整除.由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，所以nk1时命题也成立.来源:根据可知，对任意的nn*，命题都成立.题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(2013山东模拟)等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*

6、，点(n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)，求证：对任意的nn*，不等式···成立.【解析】(1)因为点(n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上，所以snbnr(b0且b1，b，r均为常数).当n1时，a1s1br；当n2时，ansnsn1bnrbn1r(b1)bn1.又数列an为等比数列，故r1且公比为b.(2)当b2时，an2n1，所以bn2(log2an1)2(log22n11)2n(nn*)，所以，于是要证明的不等式为·&#

7、183;·对任意的nn*成立.下面用数学归纳法证明.当n1时，显然成立.来源:假设当nk时不等式成立，即···.来源:则当nk1时，······，即当nk1时不等式成立，所以原不等式对任意nn*成立.【点拨】 运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法. 【变式训练3】设函数f(x)ex1(ar).(1)若函数f(x)在x1处有极值，且函数g(x)f(x)b在(0，)上有零点，求b的最大值；(2)若f(

8、x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围；(3)在(1)的条件下，数列an中a11，an1f(an)f(an)，求|an1an|的最小值.【解析】(1)f(x)ex1，又函数f(x)在x1处有极值，所以f(1)0，即a1，经检验符合题意.g(x)ex1，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，当x1时，g(x)0，当x(1，)时g(x)0，g(x)为增函数.所以g(x)在x1时取得极小值g(1)2b，依题意g(1)0，所以b2，所以b的最大值为2.(2)f(x)ex1，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex10在1,2上恒成立，所以ax2ex1，令h(x)x2，则h(x)ex

9、1(x22x)0在1,2上恒成立，即h(x)在1,2上单调递增，所以h(x)在1,2上的最小值为h(1)1，所以a1；当f(x)在1,2上单调递减时，同理ax2ex1，h(x)x2ex1在1,2上的最大值为h(2)4e，所以a4e.综上实数a的取值范围为a1或a4e.(3)由(1)得a1，所以f(x)f(x)，因此an1，a11，所以a22，可得0a2n11，a2n22.用数学归纳法证明如下：当n1时，a3，a4，结论成立；设nk，kn*时结论成立，即0a2k11，a2k22，则nk1时，a2k31，所以0a2k31，a2k4112.所以nk1时结论也成立，根据可得0a2n11，a2n22恒成立，所以|an1an|a2a1211，即|an1an|的最小值为1.总结提高数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：设m是正整数集合的子集，且具有如下性质：1m；若km，则k1m，那么必有mn*成立.数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无