普通高考数学科一轮复习精品学案第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题

1、201x 年普通高考数学科一轮复习精品学案第 35 讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题一课标要求：1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3了解圆锥曲线的简单应用。二命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力， 考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。1求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生

2、理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测 201x 年高考：1出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2可能出现1 道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。三要点精讲1曲线方程（1）求曲线 (图形 )方程的方法及其具体步骤如下：步骤含义说明1、 “ 建 ” ：建立坐标系； “ 设” ：设动点坐标。建 立 适 当 的 直 角 坐 标系，用 (x,y)表示曲线上任意一点 m 的

3、坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系， 首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条写出适合条件p 的点 m这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析件，列出几何等式。的集合 p=m|p(m) 题意，使写出的条件简明正确。3、“ 代” ：代换用 坐 标 法 表 示 条 件p(m)， 列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式。4、“ 化” ：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程

4、变量的取值范围)。这五个步骤 (不包括证明 )可浓缩为五字“ 口诀 ” ：建设现 (限)代化 ”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫 “ 五步法 ” ，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法： 这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥

5、曲线中的最值问题、范围问题通常有两类： 一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。 这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线c f(x，y)=0 与直线 ly=kx+b 相交于 a(x1，y1)、b(x2，y2)两点，则弦长|ab|为：若弦 ab 过圆锥曲线的焦点f，则可用焦半径求弦长，|ab|=|af|+|bf|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方

6、法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：实际问题模型的解数学模型方程讨论方程的解翻译回去建立坐标系转化成

7、数学问题（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。四典例解析题型 1：求轨迹方程例 1 （1）一动圆与圆22650 xyx外切，同时与圆226910 xyx内切，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点p，12,f f是曲线的两个焦点，求12pf f的重心m的轨迹方程。解析： （1） （法一） 设动圆圆心为( , )m x y，半径为r，设已知圆的圆心分别为1o、2o，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100 xy，当m与1o相切时，有1|2o mr当m与2o相切时，有2| 1

8、0o mr将 两 式 的 两 边 分 别 相 加 ， 得21| 12omo m，即2222(3)(3)12xyxy移项再两边分别平方得：222 (3)12xyx两边再平方得：22341080 xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，由以上方程知，动圆圆心( , )m x y到点1( 3,0)o和2(3,0)o的距离和是常数12，所以点m的轨迹是焦点为1( 3,0)o、2(3,0)o，长轴长等于12的椭圆， 并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，26c，212a，3c，6a，236927

9、b，圆心轨迹方程为2213627xy。xy1o2op（2） 如图，设,p m点坐标各为11(,),( ,)p xym x y， 在已知双曲线方程中3,1ab，9110c已知双曲线两焦点为12(10,0),( 10,0)ff，12pf f存在，10y由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。10y，0y。已知点p在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3 )(3 )1(0)9xyy即所求重心m的轨迹方程为：2291(0)xyy。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“ 转移法 ” 求轨迹方程的方法。例 2设 p 为双曲线42xy21 上一动点， o 为

10、坐标原点， m 为线段 op 的中点，则点m 的轨迹方程是。解析： （ 1）答案： x24y21 设 p（x0，y0）m（x，y）2,200yyxx2xx0，2yy0442x 4y21x2 4y21 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题例 3 （ 1）设ab是过椭圆xaybab222210()中心的弦，椭圆的左焦点为fc10()，则 f1ab 的面积最大为（）a. bcb. abc. acd. b2（2）已知双曲线xaybab2222100()，的左右焦点分别为f1，f2，点 p 在双曲线的右支上，且|pfpf124，则此双曲线的离心率的

11、最大值是（）a. 43b. 53c. 2 d. 72（3）已知a（3，2） 、b（ 4，0） ，p 是椭圆xy222591上一点，则 |pa| |pb|的最大值为（）a. 10 b. 105c. 105d. 102 5解析： （ 1）如图，由椭圆对称性知道o 为 ab 的中点，则 f1ob 的面积为 f1ab 面积的一半。又|ofc1，f1ob 边 of1上的高为yb，而yb的最大值是b，所以 f1ob的面积最大值为12cb。所以 f1ab 的面积最大值为cb。点评：抓住 f1ab 中|ofc1为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：| |pfpfa122，又|pfpf

12、124，所以322|pfa，从而|pfa223由双曲线的第二定义可得|pfxacca22，所以xac532。又xaaca，即532，从而eca53。故选 b。点评：“ 点 p 在双曲线的右支上” 是衔接两个定义的关键，也是不等关系532aca成立的条件。利用这个结论得出关于a、c 的不等式，从而得出e的取值范围。（3）解析：易知a（3，2）在椭圆内，b（ 4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为 f（4，0） 。连 pb，pf。由椭圆的定义知：| |pbpf10，所以| | |(| |)pbpfpapbpapfpapf101010，所以。由平面几何知识，| | |papfaf，即(| |)|

13、minpapbaf10，而|()()af3420522，所以(| |)minpapb105。点评：由 paf 成立的条件| | |papfaf，再延伸到特殊情形p、a、f 共线，从而得出| | |papfaf这一关键结论。例 4 （1）设 p 是椭圆22211xyaa短轴的一个端点，q为椭圆上的一个动点，求pq的最大值。（2） 已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为(3,0)f,右顶点为(2,0)d,设点11,2a. 求该椭圆的标准方程；若p是椭圆上的动点，求线段pa中点m的轨迹方程；过原点o的直线交椭圆于点,b c，求abc面积的最大值。（3）已知椭圆的中心在坐

14、标原点o，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。()求椭圆的方程；()直线l过点 p(0,2)且与椭圆相交于a、b 两点，当 aob面积取得最大值时，求直线 l 的方程。解析： （ 1）依题意可设p(0,1)，q(x,y), 则 |pq|=x2+(y 1)2，又因为 q 在椭圆上，所以， x2=a2(1y2)， |pq|2= a2(1y2)+y22y+1=(1 a2)y2 2y+1+a2，=(1 a2)(y11 a2)211a2+1+a2。因为 |y| 1,a1, 若 a 2, 则|11a2| 1, 当 y=11 a2时, |pq|取最大值a2a21a

15、2 1，若 1a2,则当 y=1 时, |pq|取最大值 2。（2）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距 c=3,则半短轴b=1，又椭圆的焦点在x 轴上 , 椭圆的标准方程为1422yx。设线段pa 的中点为m(x,y) , 点 p 的坐标是 (x0,y0)，由x=210 x得x0=2x 1 y=2210yy0=2y21由,点 p在椭圆上 ,得1)212(4)12(22yx，线段 pa 中点 m 的轨迹方程是1)41(4)21(22yx。当直线bc 垂直于 x 轴时 ,bc=2,因此 abc 的面积 sabc=1。当直线 bc 不垂直于x 轴时 ,说该直线方程为y=kx,代入1422yx, 解得

16、 b(1422k,1422kk),c(1422k,1422kk)，则224114kkbc,又点 a 到直线 bc 的距离 d=2121kk，abc 的面积 s abc=2411221kkdab。于是 sabc=144114144222kkkkk。由1442kk 1,得 sabc2,其中 ,当 k=21时,等号成立。sabc的最大值是2。（3）解：设椭圆方程为22221()xyabcab（）由已知得222224bcacabc222211abc所求椭圆方程为2212xy。（ ） 解 法 一 ： 由 题 意 知 直 线l的 斜 率 存 在 ， 设 直 线l的 方 程 为11222, (,),(,)y

17、kxa x yb xy由22212ykxxy，消去 y 得关于 x 的方程：22(1 2)860kxkx，由直线l与椭圆相交于a、b 两点，2206424(1 2)0kk，解得232k。又由韦达定理得122122812612kxxkxxk，222121212|1|1()4abkxxkxxx x222116241 2kkk。原点o到直线l的距离221dk。2222116242 223|21 212aobkksab dkk. 解法 1：对2216241 2ksk两边平方整理得：2422244(4)240s ksks（*） ，0s，2222222216(4)44(24)0,402404sssssss

18、，整理得：212s。又0s，202s，从而aobs的最大值为22s，此时代入方程（*）得42428490kk，142k。所以，所求直线方程为：14240 xy。解法 2：令223(0)mkm，则2223km。222222442msmmm当且仅当4mm即2m时，max22s，此时142k。所以，所求直线方程为14240y解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零。设直线 l 的方程为11222, (,),(,)ykxa x yb xy，则直线 l 与 x 轴的交点2(,0)dk，由解法一知232k且122122812612kxxkxxk，解法 1：1212112| | |22 |22aobsod

19、yykxkxk=12|xx22212()4xxx x22162412kk222 2 2312kk. 下同解法一 . 解法 2：aobpobpoasss2112 |2xx21|xx222 22312kk。下同解法一。点评：文科06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型 3：证明问题和对称问题例 5 （1）如图，椭圆byax2221（ab0）与过点 a（2，0） b(0,1) 的直线有且只有一个公共点t，且椭圆的离心率e=23. ()求椭圆方程；()设 f1、 f2分别为椭圆的左、 右焦点，m 为线段 af1的中点，求证：

20、atm= af1t。（2）设,a b分别为椭圆22221( ,0)xya bab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线。（） 、求椭圆的方程；（） 、设p为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,ap bp分别与椭圆相交于异于,a b的点mn、，证明点b在以mn为直径的圆内。（3）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线2y 2x相交于 a、b 两点。求证： “ 如果直线l过点 t（3，0） ，那么oa ob 3” 是真命题；写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解析： （ 1） （i）过点a、b的直线方程为1.2xy因为由题意得1211222

21、2xybyax有惟一解，即222222221()04baxa xaa b有惟一解，所以2222(44)0a bab（0ab） ，故22440.ab又因为3,2e即2223,4aba所以224.ab从而得2212,2ab故所求的椭圆方程为2221.2xy（ii）由（ i）得6,2c故1266(,0),(,0),22ff从而6(1,0).4m由12112222xyyx，解得121,xx所以1(1, ).2t因为16tan1,2aft又1tan,2tam22tan,6tmf得2126tan116atm61,2因此1.atmaft点评： 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几

22、何的基本思想方法和综合解题能力。（2） （）依题意得a2c，ca2 4，解得 a 2，c1，从而 b3. 故椭圆的方程为13422yx. （）解法1：由（）得a（ 2，0） ，b（2，0）.设 m（x0，y0）. m 点在椭圆上， y043（4x02） . 1又点 m 异于顶点a、 b， 2x00，bmbp0，则 mbp 为锐角，从而mbn 为钝角，故点 b 在以 mn 为直径的圆内。解法 2：由（）得a（ 2，0） ，b（2，0）.设 m（x1，y1） ，n（x2，y2） ，则 2x12， 2x2b0), 其 半 焦 距c=6,2222122112126 5apfpf3 5a,b2=a2-c

23、2=9。所以所求椭圆的标准方程为221459xy点 p(5,2)、f1(-6,0)、f2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点p，(2，5)、f1，(0，-6)、f2，(0，6)。设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)xyabab。由题意知，半焦距c1=6，22221122112124 5ap fp f。12 5a,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为2212016xy。点评： 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、 几何性质等基础知识和基本运算能力。题型 4：知识交汇题例 7已知点11(,)a x y,22(,)b xy12(0)

24、x x是抛物线22(0)ypx p上的两个动点,o是坐标原点 ,向量oa,ob满足oaoboaob.设圆c的方程为221212()()0 xyxxxyyy(i) 证明线段ab是圆c的直径 ; (ii) 当圆 c 的圆心到直线x-2y=0 的距离的最小值为2 55时，求 p 的值。解析： (i)证明 1: 22,()()oaoboaoboaoboaob222222oaoa oboboaoa obob整理得 : 0oa ob12120 x xyy设 m(x,y) 是以线段ab 为直径的圆上的任意一点,则0ma mb即1212()()()()0 xxxxyyyy整理得 :221212()()0 xy

25、xx xyyy故线段ab是圆c的直径证明 2: 22,()()oaoboaoboaoboaob222222oaoa oboboaoa obob整理得 : 0oa ob12120 x xyy .(1)设(x,y) 是以线段 ab 为直径的圆上则即2112211(,)yyyyxx xxxxxx去分母得 : 1212()()()()0 xxxxyyyy点11122122(,),(,),(,)(,)x yx yxyxy满足上方程 ,展开并将 (1)代入得 : 221212()()0 xyxxxyyy故线段ab是圆c的直径证明 3: 22,()()oaoboaoboaoboaob222222oaoa o

26、boboaoa obob整理得 : 0oa ob12120 x xyy (1)以线段 ab 为直径的圆的方程为2222121212121()()()() 224xxyyxyxxyy展开并将 (1)代入得 : 221212()()0 xyxxxyyy故线段ab是圆c的直径(ii) 解法 1:设圆 c 的圆心为c(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypx ypxp22121224y yx xp又因12120 x xyy1212xxyy22121224y yyyp12120,0 xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy

27、yppp221(2)ypp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设圆心 c 到直线 x-2y=0 的距离为d,则22221|(2)2 |2|22|555ypyxyypyppdp22|()|5yppp当 y=p 时,d 有最小值5p,由题设得2 555p2p. 解法 2: 设圆 c 的圆心为c(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypx ypxp22121224y yx xp又因12120 x xyy1212xxyy22121224y yyyp12120,0 xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy yppp221(2)y

28、pp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为2 55,则2m因为 x-2y+2=0 与222ypxp无公共点 , 所以当x-2y-2=0与222ypxp仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为2 5522220(2)2(3)xyypxp将(2)代入 (3)得222220ypypp2244(22 )0ppp02.pp解法 3: 设圆 c 的圆心为c(x,y),则121222xxxyyy圆心 c 到直线 x-2y=0 的距离为d,则1212|()|25xxyyd2211222,2(0)ypx ypxp22121224y yx xp又因

29、12120 x xyy1212xxyy22121224y yyyp12120,0 xxyy2124yyp2212122221212121|()() |24 ()8|454 5yyyyyyy yp yyppdp2212(2 )44 5yyppp当122yyp时,d 有最小值5p,由题设得2 555p2p. 点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识 ,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例 8如图，对每个正整数n，(,)nnna xy是抛物线24xy上的点， 过焦点f的直线nfa角抛物线于另一点(,)nnnb s t。（）试证：4(1)nnx sn；

30、（）取2nnx，并记nc为抛物线上分别以na与nb为切点的两条切线的交点。试证：112221nnnfcfcfc；证明： （）对任意固定的1,n因为焦点 f（0,1） ，所以可设直线nna b的方程为1,nyk x将它与抛物线方程24xy联立得 : 2440nxk x, 由一元二次方程根与系数的关系得4(1)nnx sn（）对任意固定的1,n利用导数知识易得抛物线24xy在na处的切线的斜率,2nnaxk故24xy在na处的切线的方程为：()2nnnxyyxx， 类似地，可求得24xy在nb处的切线的方程为：()2nnnsytxs， 由得：22222244nnnnnnnnxsxsxsytx，22,242nnnnnnxsxsxsxx 将代入并注意4nnx s得交点nc的坐标为(, 1)2nnxs由两点间的距离公式得：2222()42244nnnnnxsxsfc2224222() ,422nnnnnnnxxxfcxxx现在2nnx，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：12121221121111()2()21111(222 )2()(21)(22)221.2222nnnnnnnnnfcfcfcxxxxxx