浅析可逆矩阵的相关结论及应用

1、    浅析可逆矩阵的相关结论及应用    孙传光 侯林林摘 要：可逆矩阵是线性代数中的重要内容，是历来研究生入学考试中重点考察的内容之一。本文对于与可逆矩阵的相关结论，包含与行列式、矩阵的秩、向量组、线性方程组、特征值的关系进行分析与总结，并通过例题来探讨它们的应用。关键词：可逆矩阵；行列式；矩阵的秩；线性方程组；特征值一、可逆矩阵的定义设a为n阶方阵，若存在n阶方阵b，满足ab=ba=e，则称矩阵a是可逆的，b为a的逆矩阵，记为a-1=b，这里e表示单位矩阵。（关于可逆矩阵，给出如下说明：可逆矩阵又可称为非退化矩阵，非奇异矩阵，满秩矩阵；可逆的定义是

2、相对的，即若b为a的逆，则a也为b的逆；可逆矩阵的记法为a-1，而不能写成1a。本文中所提矩阵a如果没有特别说明，都是指n阶方阵a。）二、与可逆矩阵相关的结论这一部分分别给出矩陣可逆与行列式、矩阵的秩、向量组、线性方程组、特征值的关系。1.与行列式的关系方阵a可逆的充分必要条件是|a|。（当a可逆时，可利用此结论得到a的逆：a-1=a*|a|，其中a*是a的伴随矩阵。由此可进一步得到aa*=|a|e）2.与矩阵的秩的关系（1）方阵a可逆的充分必要条件是方阵a的秩r（a）=n，其中r（a）表示矩阵a的秩。（2）设a是m×n矩阵，p是m×m可逆矩阵，q是n×n可逆矩阵

3、，则有r（a）=r（pa）=r（aq）=r（paq）3.与向量组的关系a可逆的充分必要条件是a的列向量组线性无关，a的行向量组线性无关。（此结论的逆否命题为：a不可逆的充分必要条件是a的列向量组线性相关，a的行向量组线性相关。）4.与方程组解的关系线性方程组ax=b对任意的b都有解的充分必要条件是方阵a可逆。充分性证明：因为a可逆，从而对任意的b，方程组ax=b的解为x=a-1b。必要性证明：由题意，方程组ax=b对任意的b都有解，取1=（1，0，0）t，2=（0，1，0）t，n=（0，0，1）t，则对方程组ax=1，i=1，2，n，有解x1，满足ax1=1，i=1，2，n，从而有a（x1，x

4、2，xn）=（1，2，n）=e。令x=（x1，x2，xn），即ax=e。两边同时取行列式，得到|a|x|=1，从而|a|0，说明a可逆。（对于齐次线性方程组ax=0，上述定理的逆否命题可以叙述为：齐次线性方程组ax=0有非零解的充分必要条件是方阵a不可逆。）5.与矩阵方程的关系（1）对于矩阵方程ab=c，若a可逆，则有b=a-1c。（2）若a可逆，且ab=0，则b=0。6.与特征值的关系（1）a可逆的充分必要条件是a的特征值均为非零的。（2）设a的特征值分别为1，2，n，则当a可逆时，a-1的特征值分别为1-1，2-1，n-1。三、可逆矩阵的应用针对以上结论，这一部分，我们通过一些习题来看可逆

5、矩阵的应用。1.设a是n阶可逆矩阵，a*是a的伴随矩阵，则（ ）。（a）|a*|=|a|n-1 （b）|a*|=|a|（c）|a*|=|a|n（d）|a*|=|a-1|解析：此题考查矩阵a可逆与行列式不等于零的关系。对aa*=|a|e两端同时取行列式可得|a|a*|=|a|n，再由a可逆可得|a|0，从而|a*|=|a|n-1，选（a）。2.设a是n阶可逆矩阵，是a的一个特征值，则a的伴随矩阵的特征值之一是（ ）。（a）-1|a|n（b）-1|a|（c）|a|（d）|a|n解析：此题考查矩阵可逆与特征值的关系，以及特征值的性质。首先，由a可逆可得a的特征值均为非零的。进一步，根据特征值与特征向量的关系有ax=xa*（ax）=a*（x）|a|x=（a*x）a*x=|a|x，从而选（b）。参考文献：1同济大学数学系.线性代数m.北京：高等教育出版社，2009.2甘志雄，等.