本科毕业论文--基于小波分析的多频率信号的提取-小波变换

1、论文成绩:学校代码： 10 15 1 学生学号： 2220051953大连海事大学二o零年六月基于小波分析的多频率信号的提取专业班级：姓 名：指导教师：信息科学技术学院内容摘要小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际屮得到了广泛的应用。研究小波的 新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。本文旨在介绍小波的基本理论，提出 小波信号提取信号算法，进一步拓宽小波的应用范围。主要工作包括：简要介绍了小波的发展以及应用，详细讨论了小波分析的基本理论，介绍了时频分析的基本原 理，连续小波变换，离散小波变换和二进小波变换，概括了小波包分析的基本原理，给出了小波变 换的快速算法和重构

2、算法，分析了它们对实际应用的影响和作用。简要介绍了 matlab的发展及其小波工具包，本文主要工作对信号进行小波分析都在matlab环 境下运行。讨论了应用小波变换进行信号滤波的方法以及用小波包来做分析的原因，并通过正交小波包对 信号的分解，把频率成分复杂的信号分解到各个频带上，根据需要提取指定频率的信号，然后用小 波包重构算法对信号进行重构，可实现对信号的提取。木文屮信号是根据要求构造的信号，为了简 单起见，构造3频率佥加信号，根据登加方式的不同又分在同一时间上的登加和不同时间段上的s 加，对这两种情况都做了具体分析，并应用了 matlab吋频分析工具包，对其进行吋频分析，得到频 谱。关键词

3、：小波包分解 小波包重构信号提取abstractwavelet analysis is a rapidly developing and novel subject.nowadays， it has been widedly used in practical applications.to study the new theory, methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value.thisdissertation aims to consummate th

4、e wavelet theory，present some new waveletde-extraction algorithms and develop the new scopes of wavelet applications.the thesis mainly includes the following aspects ：as the development and application of wavelet is briefly introduced，the fundamental theories of wavelet analysis are discussed in det

5、ail.continuouswavelet transform, discrete wavelet transform and dyadic wavelet transform areincluded.the fast algorithm of discrete dyadic wavelet transform is given.finally，ananalysis is made on the influence of the wavelet bases on practical applications bystudying their mathematical properties.br

6、iefly introduce the development of matlab and wavelet toolbox,and the work is based on matlab.discuss the method of flitering using wavelet transform，and the reason of using wavelet toolbox. it decomposes the signal with complex frequency into different band by wavelet toolbox, and delete the signal

7、 on some band, then reconstruction the signal by toolbox algorithm,this course can achieve the target of signal extraction.the signal is made of three different signals in the article，and its composed at the same time and at different time of the three signals.they are both discussed,and to get the

8、frequency spectrum we uses the new product of matlab called time-frequency analysis toolbox to do theanalysis.key word: wavelet packet decomposition wavelet packet reconstractionsignalextraction目录1绪论1小波发展简史11.2小波分析及其应用21.3 本文的主要工作32小波分析理论简介42. 1时频分析基础42.2 多分辨分析52.3连续小波变换与离散小波变挽62.4小波变换的快速算法72.5小波包分析

9、10相关matlab基础133. 1matlab 简介132matlab小波函数14多频率信号提取的实现151多个信号在不同时间上的叠加15不同时间上信号叠加的提取164. 3多个信号在同一时间上的齊加194. 4同一时间上信号叠:加的提取2024辨捕251绪论小波分析是近十几年来在国际上掀起研究热潮并有广泛应用价值的一个研究领域，探讨小波的 新理论、新方法以及新应用成为当今数学界和工程界的一个发展方向。其涉及面之广、影响之大、 发展之迅猛是空前的。小波分析之所以得到快速发展是因为它克服了 fourier分析的缺点和局限性， 是fourier分析的一个突破性进展，是一种崭新的时频分析方法。11

10、1经典的fourier分析是通过信号 的频谱来研宄分析信号的特性的，是一种纯频域分析。自1992年fourier发表他的热传导解析理论 以来，fourier分析便成为最完美的数学理论与最广泛和有效地被应川着的（无论是在数学内部还是 在科学与工程中）数学方法之一。虽然fourier分析方法方便有效，然而，经典的fourier变换有它固 有的缺点，由fourier变换的定义可见，fourier变换取决于信号在实轴（-°°，+°°）上的整体性质，因 此不能反映出信号在局部时间范围屮的特征，即在时空域屮没有任何分辨一fouriei变换在任何有限 频段上的信息都不

11、足以确定在任意小范围内的信号，无论在理论上还是在实践中这个事实都带来许 多困难和不便。在许多实际m题屮，人们所关心的恰是信号在局部时间范围屮的特征。例如，在音 乐和语音信号中，人们所关心的是什么位置出现什么样的反射波。这正是fourier变换难以奏效的弱 点，而小波分析则给信号处理领域带来了崭新的思想。小波分析以不同的尺度（或分辨率）来观察信 号，对信号分析的这种多尺度（或分辨率）的观点是小波分析的核心。小波分析与傅立叶分析的本质 区别在于：fourier分析只是考虑时域与频域之间的一对一映射，它只是用单个变量的基函数表示信 号：小波分析则是川联合的时间一尺度函数来分析信号的，从根本上克服了傅

12、立叶分析只能在时间 域或频率域分析信号的缺陷。小波分析与时频分析的区别则在于：时频分析是在时频平面上分析信 号，小波分析虽然也是在二维平而上分析信号，但不是在时频平而上，而是在所谓的时间一尺度平 而上。众所周知，信号处理现如今已经成为当代科学技水活动屮不可缺少的一部分，而在小波分析 的许多领域中，都可以将其归结为信号处理问题。12小波分析可以对信号进行时域和频域分析，具 有时频局部化和变分辨特性，是一种新的多分辨分析方法，特别适合分析和处理非平稳信号，被誉 为信息信号的“显微镜”。作为信号处理和分析的工具，傅立叶分析曾在数字信号处理领域占据绝 对的位置，但随着小波理论的円趋完善，小波分析显示了

13、其强大的生命力和显著的优越性，并且正 在信号处理以及其它许多领域取得越来越广泛和深入的应用。1.1小波发展简史近儿年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起了一场轩然大波。在数 学家们看来，小波分析是一个新的数学分支，是泛函分析、fourier分析、样条分析、调和分析的最 完美结晶。小波分析源于信号分析，小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出, 可以追溯到1910年haar提出的小“波”规范正交几基及1938年littlewood-paley对fourie级数建 立的l-p理论，即按二进制频率成分分组，fourier变换的相位变化本质上不影响函数的形状和大小。

14、其后，caldemn于1975年川其早年发现的再生公式给出抛物型空间上h1的原子分解，它的离散形 式己接近小波展开，只是还无法得到组成一个正交系的结论。1981年，法国地球物理学家morlet 在分析地震波的局部性质时，发现传统的fourier变换难以达到要求，于是引入“小波”概念对信号 进行分解。随/rs，理论物理学家grossman对morlet的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展 开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于1986年，当时 meyer创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数* ,其二进制伸缩与平移 j-k（t）=2'j/2 （2 j

15、t k、 : j,k ez构成l2（r）的规范正交基。继meye!提出了小波变换之后，lemarie和battle又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，mallat巧妙地 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波闲数的构造及信号按小波变换的 分解及重构，从而成功地统一了在此之前的meyer、lemarie和battle提出的具体小波函数的构造， 研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法一现今称之为mallat算法有效应用于阁象分解与重 构。与此同吋，daubechies构造了具有有限支集的正交小波基，她的工作己成为小波研究的经典文 献之一。这样小波分析的系统

16、理论初步得到了建立。1988年，ameodo及grasseau等人将小波变挽 运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生长现象。1990年，崔锦泰和王建中构造了基于样 条函数的所谓的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的 小波函数。同时，beylkin、coifman等将小波变换应用于算子理论。1991年，jaffard及laurencot 将小波变换应用于偏微分方程数值解，而wickerhanser等将mallat算法进一步深化，得到了小波包 算法，它对频带的划分突破了小波分析等划分的限制，拓宽y小波信号分析的适川范围，但是解决 的关键问题是最优基选择和信

17、号的自适应最优表示。goodman等1994年基于r元多分辨分析建立 了小波的基本理论框架，并给出了样条多小波的例子。1995年，sweldens提出了通过提升方法（lifting scheme）构造新二代小波的新思想。利用这种方法可以构造非欧空间屮不允许伸缩和平移，从而 fourier变换已不再适用的情形下的小波基，使小波的构造摆脱了对fourier变换的依赖性。1996年， donovan、geronimo、hardin和massopust将分形理论巾的迭代函数系统用于双尺度差分力"程组， 再次利用分形差值构造了所谓的dghm小波。1998年，为了解决小波处理中高维奇异性等所带來

18、 的问题，gandes在他的博士论文屮首次提出了 “脊波”（ridgelet）的概念。脊波是用一系列脊函数的 叠加来表示相当广泛的函数类，同时具有基于离散变换的“近似正交”的脊函数框架。脊波的理论 框架是由gandes和donoho完成的，它能够对高维空间屮的直线状和超平面状的奇异性进行很好的 逼近。w时至今口，小波理论已相当丰富，并在继续蓬勃发展着。1.2小波分析及其应用小波分析是近期发展起来的新兴数学分支，小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与 交叉学科发展的结果，它无论是对数学还是对其它应用学科都产生了深远的影响。在数学界，它被 认为是现代分析完美的总结，是继fourier分析之后

19、调和分析发展史上的又一里程碑。在应用领域， 特别是信号处理、图象处理、语咅分析、模式识别、量子物理及众多非线性科学领域，它被认为是 近年来在工具及方法上的重大突破。小波分析是基于对fourier分析的继承和发展而来的一种全新的 时频分析方法。我们知道，fourier基中的函数在频率域是完全局部化的，但在空间域或时间域上无 任何局部性，相反地，haar系中的函数在吋间域上里局部性很好，但它在fourier变量域上局部性 却很差，小波基却兼有它们的优点。而寻求关于时间变量与频率变量都适合的基是balian所提倡的, 为了体现balian的这一思想，gabor于1964年引入了窗口 fourier变

20、换，但是窗口 fourier变换是一 种窗口人小及形状同定的时频局部化分析。但因为频率和周期成反比，因此，反映信号髙频成分需 要窄的时间窗，反映信号低频成分需要宽时间窗。这样，窗口 fourier变换就无能为力了。而小波分 析就是这样一种窗口大小固定但形状可以改变，因而满足以上要求的时-频局部化分析方法。因为小 波函数*是一个对称双窗函数，当*的巾心及半径分别为t*和巾时，同时当巾的fourier变换* ? 的中心及半径分别为0*（有对称性，我们只考虑正半频率轴，从而o）*0）和+ ,则巾的伸缩、平 移函数系+ a,b的中心及半校分别为b +at*和a（设a0）,巾a，b的fourier变换p

21、 u的中心为69*/«而半径力a ,亦即其时频窗由卩'* 一%,广+ td x 61t ap ,(0 +变为b+atb+at + x-+-v ，现固定b，则当a逐步减小时，窗的中心逐步向高频方叫移动，同时窗的宽度减小，但窗的高度增加；当a逐步增大时，窗的中心逐步向低 频方向移动，同时窗的宽度增大，但窗的高度减小，尽管窗口而积的大小不变。也就是说，小波分 析在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的 吋间分辨率，在高频部分正好相反，得到的是较高的吋间分辨率和较低的频率分辨率。正是在这种 意义下，它有极敏感的“变焦”特性，被誉为“数学显微

22、镜”。小波分析是对fourier分析的推广乃至根本性革命的结果，是一个优于fourier分析的有效的分 析工具，已广泛地应用于众多的科学和工程领域，并取得了卓越的成效。它的应用范围主要包括：(1) 小波在数学领域中的应用|41,如如求解微分方程、积分方程、函数逼近、分形、混沌问题、 概率小波、非线性分析等等。(2) 小波在信号处理中的应用5k6，包括对信号进行分析与检测、识别、信号的滤波去噪、地质 勘探、机械故障分析、地震检测等等。(3) 小波在图象处理中的应用，其中包括图象边缘信息提取与检测、图象数据压缩、图象去噪、图象编码、信息保密等等。(4) 小波在通信中的应用l7j,如cdma、自适应

23、均衡、扩频通信、分形调制等方面的应用。小波分析是不同学科，不同领域的交流与交叉学科发展的结果，是科学家、工程师与数学家们共同 创造的，是理论与实践的相互促进与激励的产物。经过许多学科领域十多年的共同探讨研究，重要 的数学形式已经建立，理论基础更加坚实，使得应用更加广泛和深入；反过来，这些应用研究也推 动了小波理论的不断丰富和完善。1.3本文的主要工作在现代科学技术领域里，电子信息系统的应用范围极为广泛，主要有通信、导航、雷达、声纳、 地震勘探、医学仪器、振动工程和射电天文等等。而电子信息系统的发展进程和信息的利用程度是 分不开的，而信息的利用程度又和信号与信息系统的技术的发展紧密联系。信号是信

24、息的载体，信 号处理技术的发展力电子信息系统的发展指明/方向，信号处理技术的发展和应用水平在一定意义 上是一个国家和社会的科技水平的重要标志之一。而信号处理己成为现代科学中重要的学科分支之 一，并且，随着信号处理理论和方法的日趋系统化，信号处理进入了一个新的发展时期，同时成为 信息科学屮发展最迅速的学科之一。随着其应用领域的不断扩大，也促使人们在理论和方法上向更 高层次的探索，人们从刚开始研究高斯噪声、平稳信号等较理想的状况转而去研究非平稳、非高斯 信号以及吋变、非因果、非线性系统等这些己成为现代信号处理的热点的较复杂的情形。而使研究 这些热点m题成为可能的是数学工具和方法的不断发展和完善，特

25、别是近儿年來蓬勃发展起来的小 波分析，它是分析非平稳信号的无与伦比的强有力的工具，为信号处理领域带来了新生，推动着信 号处理进入崭新的历史发展时期，小波分析成为继fourier分析之后的又一具有变革意义的数学方法 和工具，是当前信号处理领域屮非常盛行的解决问题所采用的分析方法。本文主要侧重于小波分析 在信号处理中的应用研究。本文第一章是绪论部分，主介绍了小波的发展历史，小波分析的一些特 性以及小波分析在一些领域中的应用情况，并对本文的全部工作做一简单的概述总结。本文第二章 主要是介绍小波分析的一些相关基本理论，主要包拈：多分辨分析的内容、连续小波变换和离散小 波变换以及小波包分析的知识，还给出

26、了小波变换的快速算法及其两种具体的实现方法。本文第三 章简要介绍了 matlab以及其包含的小波函数。本文第四章主要介绍了小波包对多频率信号的提 取方法。2小波分析理论简介2. 1时频分析基础在介绍小波之前，我们先來介绍一下时频分析，为了克服gabor变换和小波变换用于时变信号 无法同时获得商的时间分辨率和频率分辨率的缺陷，使基函数能适应选取，s. qian, d. chen和 mallat几乎同吋提出了以投影能量s大为准则的自适应投影信号分解法。自适应投影分解法将任一 给定信号s(t)表示为一组基元函数的线性组合s(t) cngn(t)(2-1)式屮:ch为分解系数;什(z)为第n个基原子。

27、通常基原子集是一无穷集，最人投影匹配原则是每次投影前都在信号集中选择最佳的投影使得投影值最大。经过首次分解后，信号为.y(z) = cogo+/?.s(2-2)对残余量rs采用同样的原则，进行分解，这样经过逐次分解，信号就可以表示为n个基函数的线性叠 加，当残余量足够小吋，信号就近似表示信号原子的线性叠加。1998年norden e.huang首次提出了经验模态分解方法，主要思想是把一个时间序列的信号，分解 成一组稳态和线性的数据序列集，即本征模函数。经验模态分解的方法:首先找出信号s的所有极大伉点和极小伉点，将其用三次样条函数分别拟 合为原数据序列的上、下包络线，上下包络线的均值为平均包络线

28、ml;将原数据序列减去ml,可得到 一个去掉低频的新数据序列hl,即hl=s(t)-ml。重复上述过程，直到最后一个数据序列不可分解。这 样，把原始信号分解成多个序列，对每个序列进行w inger分析，组合形成消除了干扰项的原信号的时 频分布。参数模型法的分辨率不受采样频率和采样点数的限制，特别适用于短数裾序列的谱估计，可获得 高的谱分辨率。对非平稳随机信号，在短数据序列段内可认为是平稳随机时，所取短数据序列沿整个信 号序列滑动，就形成了信号的自适应谱。t. s. rao和grenier将平稳信号的参数建模方法推广到非平稳信号，扩展为时变参数模型情况。 首先对信号建立时变的差分方程模型，通过参

29、数估计技术获得模型的系数，然后求每个时刻的参数谱， 最终得到信号的联合时频谱。由于时变的arma模型参数估计非常麻烦，且方法较少。在综合考虑模型参数估汁的计算速度、 算法的简单性以及效率等因素后，人们常首选非平稳信号的时变ar模型法。最常川的时变参数佔计方法是将参数作为一些已知函数(基函数)的线性加权组合近似。将时变 参数假设为一组基时间函数的线性组合，可将线性非平稳时变问题转化为线性平稳时不变问题。该方 法将系数假定为一种确定性的变化过程，从理论的观点来看，将其应用于非平稳信号的系数估计不够 充分。另一种方法是将吋变参数可看成是随机的，作为一个由噪声激励的有限阶吋不变线性系统的随 机输出，根

30、据对一类时变时间序列模型结构特点的研宄，将时变ar模型改写为时变线性系统的状态 方程，因此参数估计就转化为对时变线性系统的状态估计。采用卡尔曼滤波方法，给出时变ar模型的 参数估计公式，用卡尔曼滤波器来求解时变参数。2.2多分辨分析1998年，mattle与meyer合作提山了多分辨分析的框架，其主要思想是：从l2(r)某个子空间 出发，在这个子空间先建立起基底，然后利用变换，再把基底扩充到l2(r)中去，最终将l2(r)分 解为一串具有不同分辨率的子空间序列。小波分析能够为l2 (r)提供一个结构简单且具有良好局部 性质的正交基。为此我们从多分辨分析开始。空间l2 (r)的多分辨分析(简称m

31、ra)是指l2 (r)中的满足如下条件的一个空间序列 v/ h(1) 一致单调性：v_2 cv_, cv0<=v,cv2.(2-3)(2)平移不变性：/z(x)gju(x-k)e vj(2-4)(3)伸缩相关性:/(x) e vj <=> /z(2x)e vj+i(2-5)(4)逼近性：(7v/ = l2(/?),nvy = 0(2-6)(5)riesz基的存在性:存在使 pcx )是 vo 的 riesz 基(2-7)从条件我们可以得出识(x)(称力尺度函数)满足下囬的双尺度方程：(p(x) = hk(p(2x-k)(2-8)通过条件(3)(5),我们可以证明，存在尺度函数

32、识e vo,使它的平移系,(x) = 2- ;/x2- zx-z:):j,k ez构成所有k规范正交基。但因为 % 仅仅是/?(/?)的单调的嵌套子空间序列，而不是它的正交分解，所以不可能由v/屮的基合成l2(r)的规范正交基。因此，mra就从 v/通过正交补的方法构造出£2(/?)的正交分解子空间序列州，即所谓的小波子空间序列。具体的做法就是要从的基构造出的基，然后合成全空间l2(r)的基一小波基。设州是在中的正交补，即咐=% + i(2-9)则可得到小波函数* (x)的双尺度方程：v(x) = 7,(2%-众)(2-10)定理2.1.1:如果中力双尺度方程，记/为低通滤波器传递函

33、数h(w)的脉冲响应，则h(w) 满足下列两个性质：性质 1: h0)=l性质 2:h(w) |2 + |"(w+;r) |2 = 1定理2.1.2:设 v;为l2(r)的一个多分辨分析，记g(w)为h(w)相应的共轭滤波器，称为带 通滤波器，记k,mc, =vo则存在使%什-幻为的规范正交基。令y(x) = %(2x) ，则u =z"2识(2)：人/2为12(/?)的规范正交基。其中，g(w/2) = 2 h(w/2 + tt)(2-11)* (x)的fourier变换为f/ (vv) = g(vv/2)7(vv/2)(2-12)经过上述的过程，我们构造出了 l2(r)的

34、规范正交基一小波基。其实域表达式力：(vv)二识(2又 + 众 + 1)(2-13)所以多分辨分析为小波基，尺度函数和小波函数的构造及小波分析的应用提供了统一的框架，是小 波分析的核心。小波多分辨分析以其特有的方式将小波函数和尺度函数、两个特定的空间序列、双 尺度函数和相应的滤波器组联系在一起。有了尺度函数，小波函数的导出就容易了。似实际上大多 尺度函数无s式表达式，它们只是通过选择系数/k作为(2-5)式的解来定义的，在实际应用屮常采用 这个方法。所以巾(2-5)(2-7)(2-8)式就可以确定小波基了，其中gk =< 1 / 72(/( (px-k>(2-14)称为高通滤波器冲

35、击响应。这样，就得到了 l2(r)的正交分解。2.3连续小波变换与离散小波变换对于小波概念的引入，除了通常从上述多分辨分析(mra)这一途径外，还可以通过连续小波的 定义出发。定义2.2.1:设l2(r)为一个可测的、平方可积的一维函数空间，设y(x)el2(7?)，由满足jv(x)6k = 0的函数+ (x)平移、伸缩产生的函数族k(2-15)(2-16)y/a.b(x) = al;2i/() a,bea称为连续小波。满足允许性条件 jiw (vv)|2|w|_1 6/w<°°r的巾(x)称为母小波。其屮，a、b分别称为尺度因子和平移因子。少(>v)是小的傅立

36、叶变换。 若将式(2-15)中的参数a、b离散化，取离散值：(2-17)a = ，b = nb()al)1,m,hg z就得到了离散小波：«(x) = aom''2叭eiqm x-nbo)(2-18)在定义2.2.1的基础上，函数f在l2(r)上的连续小波变换定义为：f(x) = j £ -wf (a, b)y/a, bx)dadb(2-19)_oo“设*(x)满足允许性条件，令(义)=去v(%/6z)，贝ijwf(a, /?) = /* y/(l = j f(x)i/a(x- b)dx(2-20)r为f的卷积型小波变换。若将式(2-20)中的参数a,b离散

37、化，取离散值，这里，扩展步长山)*1，是个固定值，并总假定伽1 , 就得到了离散小波变换：cj, k = j f(x、y/j，k(x、dxr(2-21)其中"咖为相应的离散小波通，c是-个与f无关的常数。连续小波变换对信号f在小波基上的展开具有多分辨的特性，这种特性正是通过尺度因子a和 平移因子b实现的。通过a、b的变化就得到了小波变换下不同的时频信息，从而实现对信号f的局 部化分析。但在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。耑要强调的是， 这一离散化都是针对连续的尺度参数a和平移参数b的，而不是针对时间变量x的。因此，离散小 波变换具有更加重要的应用价值和实际

38、意义。在实际中通过对连续的尺度参数a和平移参数b采用二进制动态采样网格。而得到的二进小波 不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数a进行了离散化，而对时间域上的平移参量b仍保 持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比所 具有的独特优点。二进小波将频率轴按二进制离散化，它有很多优良性质，是离散小波中常用的一 种形式。2.4小波变换的快速算法1989年，mai lat在图象分解和重构的塔式算法启示下，基于多分辨分析框间架提出了如今以他 名字称谓的算法一mallat算法。该算法大大简化了小波系数的计算，在小波分析中的地位就相当于 itt在经典傅氏分析中的

39、地位，为小波的应用开辟了一条捷径。可以毫不夸张地说，如果没有快速 小波变换算法，小波分析也就只能是一种理论摆设。下面我们给出mallat算法的基本思想和一些重 要的公式。假设多分辨分析%中是称准正交的，对应的小波基函数为。由于 构成l2 (r)的一组标准正交基，因而对任给的函数(信号)f el2 (r),都可以用来分析。因为对于某一特定的信总是只具有有限的分辨率，所以假定/e %vj = span(pj.k(2-22)式(2-22)称为f(x)的尺度函数展开表示。由多分辨分析知=呢-1 vi-i = m = w5-2州-"1(2-23)故f(x)又可以表示为dj. k + cj. k

40、(pj -m.k(2-24)其中，式(2-24)称为f(x)的小波级数展开表示。它用f(x)在不同分辨层上的投影蚋数的叠加來表示f(x),并随着j的增大，/(x)越来越接近f(x)， 即有(2-25)f(x) = lim fj(x)而mallat的分解和重构算法就是基于各层分解系数之间的关系的研宄而构造出的结晶。由双尺度方程(px) = pjyhn(p、2x _ n、(2-26)ny/(x) = v2 gn(p(2x-n)(2-27)n可得(pj、k hn(pj + ，2k + ”i/7, k(x)=gn(pj + ，2k + n(2-28)nn这个算法称为mallat分解算法。利用该分解算法

41、可以很容易地巾屮的 gu 计算出各个不同分辨层 上的小波展开系数和在较”粗”尺度子空间屮的尺度函数展开系数mallat分解算 法的过程可用图2.1表示。j-af阁2.1 mallat分解算法的过程由于(2-29)于是我们得到(pj+,k(x)=yhk- 2i(pj, i(x)+gk -/(x)(2-30)用f分别和式(2-32)两边做内积，则有cj + l.k =hk- 2lcj, f + gk- ndj, /(2-31)这就是mallat重构算法。一般来讲，mallat算法有两种不同的具体实现方式，分别为矩阵方法和卷积方法。矩阵方法：当我们引入矩阵h =g = (q，w),其中hu = l-

42、2、=并设co为原始的采样信号时，我们就可以得到mallat分解算法的简洁的矩阵分解形式：cj + i = hcj£)/ +1 = gcj(2-32)其中，g和位分别为尺度j上的逼近系数cm和小波系数dm的列阵形式。h和g称为滤波器系 数矩阵。相应的重构公式为cj = h" c/ +1 + c* di + 1(2-33)其中h*和g*分别是h和g的共轭转罝矩阵，有关系/*h + g*g = 1(2-34)只有正交小波才满足上述结论，对于其它非正交小波而言，重构公式需变为cj = hicj + 1 4- gldj + 1(2-35)其屮称为综合滤波器，且满足hih + g/g

43、 = 1(2-36)其卷积实现方法为：若设en)为原始信号f的采样序列，为其在尺度j上的逼近系数，en)在尺度j上的小波变换系数，那么离散信号序列则构成了原信号的二进小波变换。小波快速算法的基本思想是在每一尺度j上，把信号分解为下一尺度穷，/和/，具体的卷 积分解算法如下：+=奶(2-37)其中，j为最优分解尺度，知和&分別表示h和g屮每相邻两个系数之间插入2： -1个零构成的新 的滤波器。相应地，卷积型小波快速算法的重构算法公式如下：sjf = s2/ +1 / */v + wj+1 / * gj j=0，1，.j(2-38)其巾，么和g/分别表示ay和g;的共辄。上述重构公式只适用

44、于正交小波的惜况，对于非正交小波，则要采用重构小波对应的滤波器系 数p/和<77 ,相应的重构公式变为：sjf = sd2j + i /*/?/ + w2>+ > f cjjj=0，1，.j(2-39)由矩阵方法实现malku算法时，每分解一次小波系数的长度就减半，因此若假设原始数据的长度为= 的话，小波分解的层数显然不能超过log2/v。而在用卷积实现小波变换时，就没有分解层数的限制。相反，信号与滤波器进行卷积计算的结果还会使信号的长度略有增加，因此还耑要在其 两端作适当的截断处理，以便使信号经过小波变换之后其长度保持不变。还需要指出的是，以上两 种方法实现mallat算法

45、过程屮，均需要对原始信号或图象作一定的边界延拓，否则会出现明显的边 界效应18。2.5小波包分析短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性间隔的，而小波分析虽然可以对信号提供较短时傅立 叶变换更有效的时频分析，但由于其尺度是二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而 在低频频段其时间分辨率较差，即小波分析是对信号的频带进行的、具有等结构的指数、等间隔划 分的。而小波包分析则是对小波分析中没有细分的部分进一步分解，将信号的频带进行多层次划分, 从而为信号提供了一种更加精细的时频分析方法，并能够根据被分析信号的特性，自适应地选择相 应频带，使之与信号频谱相匹配，提商了时频分辨率，因此小波包分析具有

46、更加广泛的应用价伉191。在多分辨分析中，多分辨分析是按不同的尺度因子j把空间l2(r)分解为所有小波子空间呢的正交和的其中小波子空间也称为小波函数的闭包。现在我们希望对小波子空间wy按照二进制再 进行频率的细分以达到提高频率分辨率的目的。定义2.4.1:由方程u2n(t) =h(k)u,i(2t-k)(2-40)u2n + =h(k)u”(2t - k)(2-41)定义的函数序列称为由正交尺度函数=确定的正交小波包，由于炉g)是由唯一 确定，所以又称w,(r)为关于序列/u 的正交小波包。正交小波包具有下面的几个性质：定理2.4.1:设非负整数n唯一的二进制表示为(2-42)n 1 

47、3;i = 0 或 1/=1则小波包un(t)的傅立叶变换么ov)为：(243)该定理表明，un(t)的傅立叶变换a (vv)可由mo和州1来表示。下面的定理2.4.2将表明，对于任意的非负整数n，保持尺度函数时/)的正交性。定理2.4.2:设w,(r)是由标准正交尺度函数p(t)生成的小波包，对于任意的非负整数n，则有“"(-众),««( - 7) = 0z)(2-44)其中表示同一个变量。下面的定理2.4.3则表明，尺度函数p和小波函数*之间的正交性可以扩展到w2«和心 + 1之间 的正交性。定理2.4.3:设w(z)是由标准正交尺度函数识(t)生成

48、的小波包，则对于任意的非负整数n,有w2»(* -),w2« + 1(* - y)= 0(，jg z)(2-45)所以由以上定理就可以得到，小波包的平移系z:)，ne z,kez 就构成了子空间l2(r) 的一组规范正交基。也就是说，小波包的伸缩平移系即为小波库。定理2.4.4:若n为任意的非负整数，则有"严丄(/产十1，""卜(/产+ 1，je z(2-46)推论2.4.1:对于每个j =1,2,j，有/?(/?) =呢二iv。(2-47)小波包把小波分解中的小波子空间进一步分解，从而将波子空间对应的频带分割更细，提高了 信号处理的频率分辨率

49、，成功地解决了小波变换固有的“高频率低分辨”这一时一频分析的缺陷。 正交小波包理论是小波变换的精彩延伸，是分析，处理信号的更有效的工具。小波包是包含不同型时频原子的一大类正交基，因此可以比较信号在这些极其丰富的正交小波 包基下的分解的优劣，并据此选择出最理想的小波包去分析信号，小波包是通过沿频率轴平滑的分 割相平面來分析信号的，最佳小波包基将信号分解成适应于信号时频结构的原子。许多信号其主要 能量或信息部分在中频到高频范围内，一般的金字塔形的小波树不太适合，而自适应的小波包则是 更优的选择。类似于正交小波的mallat算法，小波包也有分解与重构算法。设信号f(t)在子空间/f屮的系数为drj，

50、其屮，di1,7 = j/(z)27 2 un(2jt - k)dt(2-48)r则小波包分解算法为d卜 h =hni.2kd：!,'j=fn-2kdr；：'j(2-49)设信号f在子空间中的系数为处-1 ，在子空间c/1中的系数为rfp-u-1,则小波包 重构算法为niez(2-50)小波包是对小波变换的一种改进，可实现对高频段信号的分解，因而小波包分解可对信号在全 频带内进行正交分解。由小波包理论，小波包分解由下式确定= y/2 h(k)mj(2n - k),<f(2-51)m2j + (n) = y 2了g、k、mj(2n - k)，、kez式中：似2;和似2; +

51、 1，为小波包分解序列，对任一尺度j,分解，共汐个等带宽的频带序列，每个频带内信号的长度降为原始信号的1/2> 了，采样间隔増为原信号 的2y，倍，原始信号的分析频率若为f,则汐个频带的频率范围为2->(/-l)/d(2-52)式屮：j是尺度参数，i=l，2, 3,;2八表示分解信号的频带序列。信号经小波包分解后，可由重构算法进行信号的重构，与分解过程相反，毎经一层重构，信号的数据长度增加一倍，经j层重构可使信号恢复为原信号的长度和采样频率llqj。根据小波分析理论，小波变换具有带通滤波的功能，可将信号划分成不同的频带，不同的尺度参数决定了不同的滤波频带或小波子空间，且正交小波变换

52、确定的各小波子空间无交集，因而，对 含有确定性噪声的信号，即信号屮的有用成分和噪声在频域上呈现分离特征时，可以通过小波变换 将信号分解到不同的频带，将有用信号与噪声分离，将某一或某些频带信号(噪声)罝零，由重构算 法重构除噪后的信号.对频率分辨率要求较高的情况下，采用小波包分解可将频带分得更细，以取得 更好的滤波效果。3 相关matlab基础3. 1 mat lab 简介matlab是矩阵实验室(matrix laboratory)之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供 了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学：

53、工程中常用的形式十分相似，故用 matlab来解算m题要比用c、fortran等语言完相同的事情简捷得多。当前流行的matlabg. 0/matlab6. 5包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包 (toolbox) o工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充matlab的符号计 算，可视化建模仿真，文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包，控制工具 包，信号处理工具包，通信工具包等都属于此类。开放性使matlab广受用户欢迎。除内部函数外，所有matlab主包文件和各种工具包都是可读 可修改的文件，用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专

54、用工具包。一种语言之所以能如此迅速地普及，显示fli如此旺盛的生命力，是巾于它有着不同于其他语言 的特点，正如同fortran和vc等商级语言使人们摆脱了需要直接对计算机硬件资源进行操作一 样，被称作为第四代计算机语言的matlab，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码 中解放出来。matlab给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下matlab 的主要特点。语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。matlab程序书写形式自由，利用起丰富 的库函数避幵繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专 家编写，用户不必担心函数的可靠性

55、。可以说，用matlab进行科技开发是站在专家的肩膀上。运算符丰富。由于matlab是用c语言编写的matlab提供了和c语言几乎一样多的运算符, 灵活使用matlab的运算符将使程序变得极为简短。matlab既具有结构化的控制语句(如for循环，while循环，break语句和if语句)，又有面 向对象编程的特性。程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在matlab里，用户无需对矩阵预定义就可使 用。程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。matlab的图形功能强大。在fortran和c语言里，绘图都很不界易，但在matlab里， 数据的可视化非常简单。

56、matlab还具有较强的编辑阁形界而的能力。matlab的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于matlab的程序不 用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。功能强大的工具箱是matlab的另一特色。matlab包含两个部分：核心部分和各种可选的 工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。 功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，阁示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交 互功能。功能性工具箱用于多种学科，并且学科性的工具箱专业性是非常强的，比如 signal processing toolbox, c

57、ontrol, communication toolbox toolbox 等。这些工具箱都是由该领域内学 术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖 的研宂。源程序的开放性。开放性也许是matlab最受人们欢迎的特点。除p、j部函数以外，所有matlab 的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件 构成新的工具箱。matlab系统主要由五大部分组成，分别为matlab语吉、matlab i:作环境、matlab数学函数库、图 形句柄系统和matlab应用程序接口。（1）matlab语言matlab语言是一种以矩