高中数学竞赛讲义圆锥曲线

1、高中数学竞赛讲义（十一）圆锥曲线一、基础知识1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|pf1|+|pf2|=2a (2a|f1f2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0e1) 的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即(0eb0) ，参数方程为（为参数）。若焦点在 y 轴上，列标准方程为 (ab0) 。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆，a 称半长轴长， b 称半短轴长， c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), ( c,

2、 0) ；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e 称为离心率，且，由 c2+b2=a2知0eb0), f1(-c, 0), f2(c, 0) 是它的两焦点。若p(x, y) 是椭圆上的任意一点，则|pf1|=a+ex, |pf2|=a-ex. 5几个常用结论： 1）过椭圆上一点p(x0, y0) 的切线方程为；2）斜率为 k 的切线方程为；3）过焦点 f2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义：满足|pf1|-|pf2|=2a(2a0)的点 p的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1) 的点的轨迹。7双曲线的方程

3、：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为，参数方程为（为参数）。焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(a, b0), a 称半实轴长， b 称为半虚轴长， c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为f1(-c,0), f2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由 a2+b2=c2知 e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论， 1）焦半径公式，对于双曲线，f1（-c,0 ）, f2(c, 0)是它的两个焦点。设p(

4、x,y) 是双曲线上的任一点，若 p在右支上，则 |pf1|=ex+a, |pf2|=ex-a ；若 p（x,y ）在左支上，则 |pf1|=-ex-a ，|pf2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是。10抛物线：平面内与一个定点f 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点f叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 f且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 k，以线段 kf的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|kf|=p ，则焦点 f坐标为，准线方程为，标准方程为 y2=2px(p0) ，离心率e=1. 11抛物线常用结论：若p(x0,

5、y0) 为抛物线上任一点，1）焦半径 |pf|=；2）过点 p的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为o ，从 o出发的射线为极轴记为ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 p，记|op|=, xop= ，则由（ ，）唯一确定点 p的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 p，若 0e1，则点 p的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点 p的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题1与定义有关的问题。例 1 已知定点 a（2，1），f 是椭

6、圆的左焦点，点p为椭圆上的动点，当3|pa|+5|pf| 取最小值时，求点p的坐标。 解 见图 11-1，由题设 a=5, b=4, c=3,. 椭圆左准线的方程为，又因为，所以点 a在椭圆内部，又点 f坐标为（ -3，0），过 p作 pq垂直于左准线，垂足为q 。由定义知，则|pf|=|pq| 。所以3|pa|+5|pf|=3(|pa|+|pf|)=3(|pa|+|pq|)3|am|(am左准线于 m)。所以当且仅当 p为 am与椭圆的交点时， 3|pa|+5|pf| 取最小值，把 y=1 代入椭圆方程得，又 xb0）.f 坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，op ，则。所以|fp|+

7、|po|=(|fa|+|a|)=a. 所以点 p 的轨迹是以 f，o为两焦点的椭圆（因为a|fo|=c），将此椭圆按向量 m=( ,0) 平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为 解 法 二 相 关 点 法 。 设 点p(x,y), a(x1, y1) ， 则， 即 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点 a在椭圆上，所以代入得关于点 p的方程为。 它表示中心为，焦点分别为 f和 o的椭圆。例 4 长为 a, b 的线段 ab ，cd分别在 x 轴，y 轴上滑动，且 a，b，c，d四点共圆，求此动圆圆心p的轨迹。 解 设 p(x, y)为轨迹上任意一点， a，b，c，d

8、的坐标分别为a(x-,0), b(x+,0), c(0, y-), d(0, y+), 记 o为原点，由圆幂定理知 |oa|?|ob|=|oc|?|od| ，用坐标表示为，即当 a=b 时，轨迹为两条直线y=x 与 y=-x ；当 ab 时，轨迹为焦点在x 轴上的两条等轴双曲线；当 a0, b0) 的右焦点 f 作 b1b2轴，交双曲线于 b1，b2两点，b2与左焦点 f1连线交双曲线于 b点，连结 b1b交 x 轴于 h点。求证： h的横坐标为定值。 证明 设点 b，h，f 的坐标分别为 (asec ,btan ), (x0, 0), (c, 0)，则 f1，b1，b2的坐标分别为 (-c,

9、 0), (c, ), (c, )，因为 f1，h分别是直线 b2f，bb1与 x 轴的交点，所以所以。由得代入上式得即（定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例 7 设抛物线 y2=2px(p0) 的焦点为 f， 经过点 f 的直线交抛物线于 a，b两点，点 c在准线上，且 bc/x 轴。证明：直线 ac经过定点。 证明 设，则，焦点为，所以，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。 因 为， 所 以。 所 以， 即。所以，即直线 ac经过原点。例 8 椭圆上有两点 a，b，满足 oa ob ，o为原点，求证：为定值。 证明 设|oa|=r1,|ob|=r2,且xoa= ,

10、xob=，则点 a，b的坐标分别为 a(r1cos, r1sin ),b(-r2sin ,r2cos)。由 a，b在椭圆上有即+得（定值）。4最值问题。例 9 设 a，b是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点， 且 oa ob （o为原点），求 |ab| 的最大值与最小值。 解 由题设 a=1，b=, 记|oa|=r1,|ob|=r2,，参考例 8可得=4。设 m=|ab|2=, 因 为， 且a2b2， 所 以，所以 br1a，同理br2a. 所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1 即|oa|=|ob| 时，|ab| 取最小值 1；当或时，|ab| 取最大值。例 1

11、0 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为，若圆 c：1 上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。 解 设 a，b分别为圆 c和椭圆上动点。由题设圆心c坐标为， 半径|ca|=1， 因为|ab| |bc|+|ca|=|bc|+1 ， 所以当且仅当 a，b，c共线，且 |bc| 取最大值时， |ab| 取最大值，所以 |bc| 最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t ，椭圆方程为，并设点 b坐标为 b(2tcos ,tsin ) ， 则 |bc|2=(2tcos )2+=3t2sin2 -3tsin +4t2=-3(tsin+)2+3+4t2. 若，则当

12、 sin =-1 时，|bc|2取最大值 t2+3t+，与题设不符。若 t, 则当 sin =时，|bc|2取最大值 3+4t2，由 3+4t2=7 得t=1. 所以椭圆方程为。5直线与二次曲线。例 11 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线x+y=0 成轴对称的两点，试求 a 的取值范围。 解 抛物线 y=ax2-1 的顶点为 (0,-1)，对称轴为 y 轴，存在关于直线 x+y=0 对称两点的条件是存在一对点p(x1,y1)，(-y1,-x1) ，满足 y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相减得 x1+y1=a(), 因为 p 不在直线 x+y=0 上，所以 x1+y10, 所以 1

13、=a(x1-y1) ，即 x1=y1+所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆相交，（1）求 b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求b 的值。 解 二 方 程联 立 得 17x2+16bx+4(b2-1)=0. 由 0，得b0) ，则动点的轨迹是 _. 3椭圆上有一点 p，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是 _. 4双曲线方程，则 k 的取值范围是 _. 5 椭圆，焦点为 f1，f2， 椭圆上的点 p满足 f1pf2=600，则f1pf2的面积是 _. 6直线 l 被双曲线所截的线段 mn 恰被点 a（3，-1 ）平分，则 l 的方程为 _.

14、7abc的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点 a（2，8），且abc的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线bc的斜率为 _. 8已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0，一条准线方程为 5y+4=0，则双曲线方程为 _. 9已知曲线y2=ax，与其关于点（ 1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450， 那么 a=_. 10.p 为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，的取值范围是_. 11已知椭圆与双曲线有公共的焦点 f1，f2，设 p是它们的一个焦点，求f1pf2和pf1f2的面积。12已知（ i ）半圆的直径 ab长为 2r；（i

15、i ）半圆外的直线 l 与ba的延长线垂直，垂足为t，设|at|=2a(2a1) 的一个顶点 c （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形abc ，这样的三角形最多可作_个. 11求椭圆上任一点的两条焦半径夹角的正弦的最大值。12设 f，o 分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点f的椭圆的任意弦 ab ，点 o都在以 ab为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。13已知双曲线 c1：(a0) ，抛物线 c2的顶点在原点 o ，c2的焦点是 c1的左焦点 f1。（1）求证： c1，c2总有两个不同的交点。（2）问：是否存在过c2的焦点 f1的弦 ab ，使aob的面积有最大值或最小值？若存在

16、， 求直线 ab的方程与 s aob的最值，若不存在，说明理由。五、联赛一试水平训练题1在平面直角坐标系中， 若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则 m的取值范围是 _. 2 设 o为抛物线的顶点，f为焦点， 且 pq为过 f的弦， 已知|of|=a，|pq|=b，opq 面积为_. 3给定椭圆，如果存在过左焦点f的直线交椭圆于 p，q两点，且 op oq ，则离心率 e 的取值范围是 _. 4设 f1，f2分别是双曲线(ab0) 的左、右焦点， p 为双曲线上的动点，过 f1作f1pf2平分线的垂线，垂足为m ，则 m的轨迹为_. 5abc一边的两顶点坐标

17、为b（0，）和 c（0，），另两边斜率的乘积为，若点 t坐标为(t,0)(tr+), 则|at| 的最小值为_. 6长为 l(l1)的线段 ab的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段ab的中点 m到 x 轴的最短距离等于 _. 7已知抛物线 y2=2px及定点 a(a,b),b(-a,0),ab0,b22pa，m是抛物线上的点，设直线am ，bm与抛物线的另一个交点分别为m1，m2，当 m变动时，直线 m1m2恒过一个定点，此定点坐标为_. 8已知点 p （1，2）既在椭圆内部（含边界），又在圆x2+y2=外部（含边界），若a,b r+, 则 a+b 的最小值为_. 9已知椭圆的内接abc的边

18、 ab ，ac分别过左、右焦点 f1，f2，椭圆的左、右顶点分别为d，e，直线 db与直线 ce交于点p，当点 a在椭圆上变动时，试求点p的轨迹。10设曲线 c1：（a 为正常数）与 c2：y2=2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点p。（1）求实数 m的取值范围（用 a 表示）；（2）o为原点，若 c1与 x 轴的负半轴交于点a，当 0a0),p(x,y)为轨迹上任一点，则。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2). 当 k1 时，表示椭圆；当k=1 时，表示圆。3 12 由题设 a=10,b=6,c=8 ， 从而 p到左焦点距离为 10e=10=8, 所以 p到右焦点的距离为20-8=

19、12。4-2k2 或 k5. 由(|k|-2)(5-k)5 或-2k2. 5.设两条焦半径分别为m,n，则因为|f1f2|=12,m+n=20. 由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600, 即(m+n)2-3mn=144.所以，63x+4y-5=0. 设 m(x1,y1),n(x2,y2)，则两式相减得-(y1+y2)(y1-y2)=0. 由，得。故方程 y+1=(x-3). 7.-4. 设 b(x1,y1),c(x2,y2) ，则=0，所以 y1+y2=-8，故直线 bc的斜率为8=1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组得中心为 (2,1) ，又准线为，知其实轴平行于y轴，设其方程

20、为=1。其渐近线方程为=0。所以 y-1=(x-1).由题设，将双曲线沿向量 m=(-2,-1) 平移后中心在原点，其标准方程为=1。由平移公式平移后准线为，再 结 合， 解 得a2=9， b2=16， 故 双 曲 线 为=1。92曲线 y2=ax 关于点（ 1，1）的对称曲线为 (2-y)2=a(2-x), 由得 y2-2y+2-a=0, 故 y1+y2=2,从而= =1，所以 a=2. 10（2， 。设 p(x1,y1) 及，由|pf1|=ex1+a ,|pf2|=ex1-a,|pf1|+|pf2|=2ex1, 所以，即。因，所以，所以即 20, 设 x1,x2是方程的两根，由韦达定理由，

21、得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) =k(x1+x2)+2(1-2k)=设 p1p2的中点 p坐标(x,y) ，由中点公式及，得消去 k 得点（2，0）满足此方程，故这就是点p的轨迹方程。高考水平测试题1由 椭 圆 方程 得 焦 点为，设 双曲 线方 程， 渐 近 线 为由 题 设， 所 以a2=3b2, 又,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36. 2. 900。见图 1，由定义得 |fa|=|aa1|,|fb|=|bb1| ，有1=bfb1，2=afa1，又1=3，2=4，所以3+4=bfb1+afa1=900。3相切，若 p(x,y) 在左支上，设 f

22、1为左焦点， f2为右焦点， m为pf1中点，则 |mo|=|pf2|=(a-ex) ，又|pf1|=-a-ex ，所以两圆半径之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|mo| ，所以两圆外切。当p(x,y) 在右支上时，同理得两圆内切。4与 f1对应的另一条准线为x=-11， 因|mf1| 与 m到直线 x=-11距离 d1之比为 e，且 d1=|xm+11|=10. 所以，所以|mf1|=5 充 要 。 将y=2x+1代 入 椭 圆 方 程 得 (b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0. 若=(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即

23、 b2+4a2=1；反之， 4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。6y=2(x-1) 。消去参数得 (y-2m)2=4(x-m) ，焦点为它在直线 y=2(x-1) 上。71mm,所以 1m0) ，ca的直线方程为y=kx+1，代入椭 圆 方 程 为 (a2k2+1)x2+2a2kx=0 ， 得x=0或， 于 是，|ca|=由题设，同理可得 |cb|=, 利用|ca|=|cb| 可得(k-1)k2-(a2-1)k+1=0, 解得 k=1 或 k2-(a2-1)k+1=0 。对于，当 1a时，有两个不等实根，故最多有3 个。11解设焦点为 f1，f2，椭圆上任一点为 p(x0,y0), f1

24、pf2=,根据余弦定理得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|?|pf2|cos , 又|pf1|+|pf2|=2a ，则 4c2=(2a)2-2|pf1|?|pf2|(1+cos ), 再 将|pf1|=a+ex0， |pf2|=a-ex0及 a2=b2+c2代入得 4b2=2(a2-e2)(1+cos ). 于是有由 0，得，所以。因0 ， ，所以 cos为减函数，故 0当 2b2a2即时，arccos，sin 为增函数， sin 取最大值；当 2b2a2时，arccos, 0, ，则 sin 最大值为 1。12解设 a(x1,y1),b(x2,y2) ，若 ab斜率不为

25、 0，设为 k，直线ab方程为 y=k(x+c) ，代入椭圆方程并化简得(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. 则 x1,x2为方程的两根，由韦达定理得因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c) ，再由，得所以=x1x2+y1y2=,o 点在以 ab为直径的圆内，等价0，即 k2(a2c2-b4)-a2b20 对任意 kr成立，等价于a2c2-b20, 即 ac-b20, 即 e2+e-10. 所以 00，所以方程必有两个不同实根，设为x1,x2, 由韦达定理得 x1x2=-a20，设 y1,y2分别为 a，b的纵坐标，则y1+y2=,y1y2=-12a2.

26、所以(y1-y2)2=48a2(m2+1). 所以 saob=|y1-y2|?|of1|=a?a?，当且仅当m=0时，saob的面积取最小值；当m +时， saob+，无最大值。所以存在过 f 的直线 x=使aob 面积有最小值 6a2. 联赛一试水平训练题1m5.由已知得，说明 (x,y) 到定点（ 0,-1 ）与到定直线 x-2y+3=0 的距离比为常数，由椭圆定义5. 2.因为b=|pq|=|pf|+|qf|=, 所以。所以 sopq=absin =. 3.。 设点 p坐标为 (r1cos,r1sin ), 点 q坐标为 (-r2sin,r2cos)，因为p，q 在椭圆上，可得，rtop

27、q斜边上的高为|of|=c. 所以 a2b2c2(a2+b2) ，解得e1时 |at|min=|t-2|.由 题 设kab?kac=-, 设 a(x,y) ， 则(x 0)， 整理得=1(x0)，所以|at|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因为|x|2, 所以当 t (0,1 时取 x=2t,|at|取最小值。当 t1 时，取x=2，|at| 取最小值 |t-2|. 6.设 点m(x0,y0) ， 直 线ab 倾 斜 角 为 ， 并 设a(x0-), b(x0+), 因为 a，b在抛物线上，所以由，得 2x0cos=sin . 所以因为 l21，所以函数 f(x

28、)=. 在（0，1 在递减，所以。当 cos=1即 l 平行于 x 轴时，距离取最小值7设，由 a，m ，m1共线得 y1=，同理 b，m ，m2共线得，设(x,y) 是直线 m1m2上的点，则 y1y2=y(y1+y2)-2px ，将以上三式中消去y1,y2得y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当 x=a,y=时上式恒成立，即定点为8。由题设且 a2+2b215，解得 5b26. 所 以a+b (t=b2-4 1,2)， 而，又 t2 可得上式成立。9解设 a(2cos,), b(2cos,sin ),c(2cos ,sin ) ， 这 里 ， 则

29、过a， b 的 直 线 为lab：，由于直线 ab过点 f1(-1,0)，代入有(sin -sin )?(1+2cos )=2sin (cos -cos ) ，即2sin( - )=sin -sin=2?,故，即?。又 lbd: ?(x+2)=，同理得。lce: (x-2)= ?(x-2). 两直线方程联立，得 p点坐标为， 消去得点 p(x,y) 在椭圆上（除去点 (-2,0),(2,0)）. 10. 解（1）由消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0, 设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题（ 1）转化为方程在x(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况：10=0

30、，得，此时 xp=-a2，当且仅当 -a-a2a 即 0a1时适合； 20。f(a)?f(-a)0，当且仅当 -ama 时适合； 30。f(-a)=0得 m=a ， 此时 xp=a-2a2， 当且仅当 -aa-2a2a即 0a1时适合。 令 f(a)=0得 m=-a，此时 xp=-a-2a2.由于-a-2a2-a，从而 m -a. 综上当 0a1时，或-ama；当 a1 时，-ama. (2) oap的 面 积因为0a, 故 当 -am a 时 ，00， 从 而时取 值最 大， 此时， 故；当时，xp=-a2，yp=, 此时以下比较与的大小。令，得，故当 00，所以，从而所以直线 l 的方程为

31、，抛物线 c的方程为联赛二试水平训练题1以a 为原点，直线ac 为 x 轴，建立直角坐标系，设c(c,0),f(f,0),d(xd,kxd),b(xb,-kxb) ，则直线 df的方程为直线 bc的方程为c-f 得(c-f)x+表示一条直线，它过原点，也过df与 bc的交点 g ，因而就是直线 ag的方程。同理，直线 ae的方程为(c-f)x+，的斜率互为相反数，所以gac= eac 。2证明假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为 a0，其他顶点坐标为：，其中都是既约分数，并记an+1=a0. 若 p 与 q 奇偶性相同，则记pq，否则记 pq，下面用数学归纳法证明。bk1

32、,dk1(k=1,2, ,n) ，ak+ckak-1+ck-1(k=1,2, ,n,n+1) 。当 k=1 时，由，得，因为 a1,b1互质，所以 d1被 b1整除，反之亦然（即b1被 d1整除）。因此 b1=d1，从而不可能都是偶数（否则b1也是偶数，与互质矛盾）；不可能都是奇数，因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数，也不可能是完全平方数，因此，a1c1,b1d11，并且 a1+c10=a0+c0. 设结论对 k=1,2, ,m-1n 都成立，令这里是既约分数，因为每一段的长为1，所以=1，与 k=1 情况类似： ac,d b1，又因为，分数既约，所以 bm是 bbm-1的一

33、个因子， bm1. 同理可知 dm1, 又 amabm-1+bam-1（同理 cmcdm-1+dcm-1）. 因此(am+cm-am-1-cm-1)(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1a+c1. 所以 am+cmam-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1 为奇数时，an+1+cn+1a0+c0，故折线不可能是闭的。3证明（1）由已知 b0p0=b0q0，并由圆弧p0q0和 q0p0，q0p1和p1q1，p1q1和 q1p1分别相内切于点q0，p1，q1，得c1b0+b0q0=c1p1，b1c1

34、+c1p1=b1c0+c0q1以 及c0q1=c0b0+， 四 式 相 加 ， 利 用b1c1+c1b0=b1c0+c0b0，以及。在 b0p0或其延长线上，有b0p0=b0，从而可知点与点 p0重合。由于圆弧q1p0的圆心 c0，圆弧 p0q0的圆心b0以及 p0在同一直线上，所以圆弧q1p0和 p0q0相内切于点 p0。（2）现分别过点 p0和 p1引上述相应相切圆弧的公切线p0t 和 p1t交于点 t。又过点 q1引相应相切圆弧的公切线r1s1，分别交 p0t和 p1t于点 r1和 s1，连接 p0q1和 p1q1，得等腰 p0q1r1和p1q1s1，由此得p0q1p1=- p0q1p1- p1q1s1=-( p1p0t-q1p0p)-( p0p1t-q1p1p0),而-p0