专业英语数字信号处理导论

1、s. j. orfanidis, introduction to signal processing. prentice hall international, inc.,2003清华大学出版社有影印版，2003.7,中文书名：信号处理导论第六章传递函数§6.1数字滤波器的等效描述借助于刁变换，木章屮我们将讨论几种描述ftr和ttr滤波器的等效数学方法，它 们是： 传递函数 频率响应 框图实现和抽样处理算法i/o差分方程零点/极点图s冲激响应s i/o卷积方程其中最重要的一种是传递函数h(z) o由传递函数我们可以很容易得出其它 的描述方法。图6.1.1表明了儿种等效描述之间的关系。

2、之所以需要这样多种描 述方法是因为它们提供了滤波器内在的含义，并且适用于不同的冃的。实际应用当屮，我们是从给定的频率响应h(3)开始的。然后通过滤波器设 计方法，我们可以得到满足规定条件的传递函数h(z)o由h(z)我们可以推演出框 图实现和相应的样值处理(sample-by-sample)算法。样值处理算法让我们清楚了 解滤波器是怎样实时处理的。对于fir滤波器，我们也可以先求冲激响应，然后 可以采用基于卷积的块处理算法来实现滤波器的运行。§6.2传递函数下面用一个具体的例子来解释传递函数所起的屮心作用以及它与其它儿种 表述方法的关联。给定传递函数h (z),我们可以很快得到：(a

3、)冲激响应h(n)； (b)满足冲激 响应的差分方程；(0)把输入和输出联系起來的t/0方程；(d)滤波器的框图实 现；(e)样值处理算法;(f)零点/极点图;(g)频率响应h(3)。反过來，(a)-(g) 任意给定一种，也可以很快得到传递函数h(z)和其余的表达方式。设有以下传递函数：要得到冲激响应，我们可以用部分分使展开法将h(z)写成:1_0&t= -2.5 +7.51 0.8 二 t其中a。和a】为:假定4 =(1 0.8二 t)h(二)=5 +is '0.8?7.5 5 + 2二-1 5 二+ 27齐°_1一08二一1二一0.82=00.8_ -滤波器为因果

4、性的，我们得到滤波器的冲激响应：h(n)所满足的差分方程可以从h求得。一般的做法是传递两数h两边它同乘 上分母多项式然后变换到时域。(6.2.1)式两变同时乘上分母得到：(1- 0.8 二 t )h(二)=5 + 2二 tnh (二)=0.8 二 tr(二)+ 5 + 2二一】两边求z反变换并利用线性系和延时性，我们得到h(n)的斧分方程： 很容易证明属于因果信号，也就是说其初始条件是h(-l)=0o由(6. 2. 2)式的冲 激响应h(n),我们可以得到滤波器的i/o卷积方程，即：yn 力0、' n +朴一i + 力2、n-2 +n-3 + 二 5x” +7.5(0.8)xw_1 +

5、(0.8)2xh_2 +(0.8)3xn_3 + 用第三章所介绍的方法可以将上式写成y(n)的差分方程。该差分方程也可以用 卷积刁域特性，y(z)=h(z)x(z)用z变换方法求得。同样，其做法就是约去分母多项式然后变换到时域。对本例， 我们有：5 + 21,r(z)二 hc)xc)二、 xc) => (l-0.8z_1)r(z) = (5+2：t)x 1-0.8:'1上式也可以写成为：f(二)0.8二 *(二)=5x(二)+ 2 二一収(二)対边取z反变换，得到i/o差分方程为:式(6. 2. 3)是(6.2.4)的特殊情况,x (n) = 8 (n), y (n) =h (n

6、) <> 如果从(6. 2. 4)式入 手，我们可以通过相反的步骤得到传递函数h(z)。也就是说(6. 2. 4)式两变取z 变换得到：y(二)=0&-昵)+ 5x(二)+ 2 二一】x(二) n (1 - 0.8二t)f(二)二(5 + 2二t)x(二) 亦即：5 + 21 0&t一旦i/o方程确定后，我们可以用框图來实现。例如，(6.2.4)式可以用图6.2.1 表示。就象fir滤波器一样，对框图中所有延时器赋一个中间变量，可以得到样值处理 算法。也就是说，我们定义：vi(n)=x(n-l)vi(n+l)=x(n)vjn)为n时刻x的延时。类似地我们定义:wi

7、(n)(n-1)wi(n+1 )=y (ii)wdn)为n时刻输出y的延时。依据以上定义，我们将式(6.2.4)用下列方程组替代:codipute output) updatestate)y(ji) = 08“ (“) + 5a(7?) + 2vj ()vi (ri +1) = x(zz)"1(" + 1) = f(")也可以表述为以下迭代算法:for each input sample x do:y=0.8wi+5x+2vivi=xwi=y该滤波器的频率响应可以用e宀替换传递函数中的z得到:h(co)=5(l + 0.4e-jo)l-0.8e_jo1 - ae_

8、jo = a/1 2a cos co + a2其屮a只能为实系数。我们可以得到频率响应:h(co)+ 0.8 cosco + 0.16vl -1.6 cos co + 0.64其幅频响应nj以借助于极点/零点图来画出：在单位圆上旋转，靠近极点时h(3)的幅值最大，凸峰(pole peaks)o靠近零点 时幅值最小,凹陷(zero dips) o当3二0时，最靠近极点z=0. 8,该点为pole peak。当0 = n时，最靠近零点z=-0. 4, 该点为zero dipo日（q）.=o =日（二）5 + 21-0.8=35日（。）滤波器为一个低通滤波器。高频分量衰减为低频分量的1/2e1|h（

9、0） |21或者用分贝表示为：20102h（7t）how=20logio(tr)=_26'4h(0)db円(三)=(二)+ h2 (s) = -2.5 +传递函数的框图实现方法不是唯一的。表示方法上各不相同、数学描述等效的传 递函数可能得出不同的羞分方程，这些差分方程可以用不同的框图或抽样处理算 法来实现。例如：（6.2. 1）式可以用部分分式展开为：5 + ”t7 sh(z) =-2.5 + -1 0&t1 0&t上式可以用并行算法来实现，也就是说可以视为两个传递函数之和:7.51-o.sz"1为了证明这一点，我们将没有给定名称的所有信号依照约定加上名称。输

10、出加法器有两个输入信号，一个直接来自输入乘法器，既-2. 5x(n)o另一个记作中间变 量w(n)o因此,输出加法器的方程为:y(n) = w(n) 一 2.5 x(n)(6.2.6)而w(n)可以看作是输入为x(n)的滤波器(z)的输岀:(6.2.7)w(n) = 0.8 w(n 1) + 7.5 x(n)(626)、(6.2.7)两式共同表述了框图的时域运算。将这两个方程变换到z域，我 们得到：y(二)=ft(二)一 2.5x(二)矿(二)=0.8 二 一1环尸(二)+ 7.5x(二)=>ft(二)=1一0.8二"由此可以得到:y(z)=矿(二)- 2.5x(二)二- 2.

11、5x(二)1 0.8二-其传递函数:7.51 0.8二 t一2.5通过引入屮间变量保存延时器的内容，即可得到上述框图的样值处理算法： % (“)二 w()“i (打)=评( -1)二>叫( + 1) = % ()(626)、(6.2.7)商式可以用下列算法来替换:w()(ii)=0.8wi (n)+7.5x(11) y(ii)=w0(n)-2.5x(n) wi(n+l)=wo(n)写成算法形式就是：for each input x do:wo=o.8wi+7.5xy=w0-2.5xwi=w0(并行实现形式)(6.2.8)其他的框图实现方法可以将i/o方程排列成不同的形式而得到。第三种实现

12、方法 是所谓的规范化形式(canonical form realization)。出z平面上的滤波器方程 开始：f(二)二 h(二)x(二*工(二)1-0&t定义中间变量：咋)二一-az)1-0&t输出方程为：y(z)= (5 + 2z'1x(-)把这些方程写成时域形式：ff(?)=!.¥(-)=>卩(j = 0.8zw(z) + x(z)l-o.sz-1或w(i»=0.8v(i 卜 1 )+x(n)y(z) = (5 + zz"1 )if(z) =>y(ri) = 5ir(w) + 2ir(w-l)因此我们得到系统的i/o方程

13、为：iv(”)= o.81v(77 一 1) + x( )tf(77)二 5w(ll) + 2lv(7/ -1)其框图如6.2.4所示:引入内部状态变量：w0(n)=w(n)wi(n)=w(n-1)wi(n+1 )=wo(n)系统方程可以重写如下：wo(n)= 0.8wi(n)+x(n)y(n)=5 w0(n)+2 wi(n)wi(ll+l)=wo(ll)上述差分方程可以用算法实现:for each input sample x do:”s= 0. swj+xy=5 wo+2图6. 2.4 h(z)的规范实现形式框图实现的第四种方法可以根据转置规律来实现，就是用节点替换加法器、加法 器替换节点

14、、流动方向倒置、输入输出位置互换。转置实现方式如图所示：同样我们可以设置中间状态变量叫(n)来保持延时器中的内容。这样的话，输入到延时器的内容为2x(n)+0. 8y (n),在延时器屮被延时成为w】(n)。因此:w1 (n) =2x (n-l)+o. 8y (n-1)描述上述框图的完整i/o方程为:y (n) =wl (n) +5x (n)w (n+1) =2x (n) +0. 8y (n)也可以表示为下述样值处理算法：for each input sample x do:y=wj+5xwi=2x+0.8y为了证明它表示的是同一个传递函数，我们可以将1/0方程变换到刁域:y (z)二叫(z)

15、 +5x (z) zw (z)=2x(z)+0. 8y(z)求解得到：一1一 1y(z)=z 2x(z) + z 08y(z)+5x(z)(1-0. 8)y(z) = (5+2z)x(z)刃(二)=f(二)工(二)5 + 2二-11 0&t一旦给定了框图之后，我们就町以很方便的抽样处理算法转换成相应的软件或硬 件。例如(6. 2. 9)示所描述可以用以下程序來实现：一般说來，iir滤波器的传递函数可以用两个次数分別为l、m的多项式之比來 表示。既：(6.2.11)作为约定，分母多项式的0次项系数设定为a0=lo滤波器h(z)共有l个零点和m个 极点，假设分子和分母多项式的系数为实数，那

16、么，如果存在任何复数的零点或 极点的话，它们一定是以共扼复数对的形式出现。为了确定这样一个滤波器的冲激响应h(n),我们必须采用第五章中所讲过 的z反变换方法，如部分分是展开方法。z平面上零点和极点的位置把整个z平面 划分为互相不交叠的区域，每一个区域对应特定冲激响应h(n)的roc (收敛域)o为了得到稳主的冲激响应，我们取包含单位圆的那个收敛域。为了使稳定 的h(n)为因果信号，h(z)的极点(d(z)的零点)必须严格位于单位圆以内。这样的 话，h(z)的反变换收敛域将会在单位圆以外。如上例所示，描述滤波器的i/o差分方程许多，但是数学上是等效的。每一个都 可以由对应的框图和 y(n) =

17、 x(n) + 6x( -1丿+1 lx仍- 2丿+ 6x(n-i)抽样处理算法。最简 单的一种是直接形式 (direct form),我们可以按如下方法来获得:y(z) = h(z)x(z) =bq +bz +b2z2 +- + blz"厶1 + dz +a°z + + q、/z两边同时乘上分"：(1 + a# j +a2z2 + + amz"ai)y (z) = (b0 + b"1 + b2z"2 + + blz_l 必变换到时域：yn +31711-1 +a2yn-2 +，+ amyn-m =b0xn +mn-1 +b2xn-2

18、+，+ blxn-l也可以写成：yn = -alyu-l-a2yn-2-amyu-m + b0xn + blxn-l + b2xn-2 + + blxn-l注意如果分母多项式的各个系数为0,也就是说，斗二0(i二1,2,m), d(z)二1,h(z)只含有分母多项式,h(z)=n(z),那就是说，iir滤波器为一个fir滤波器:h =n二 $ + byzl + b2z2 + + "zz差分方程变为fir滤波器的卷积方程：儿=b0xn + 勺心 _1 + b2xn_2 + + blxn_lfir滤波器的实现方法在第四章介绍过。hr滤波器的各种实现方法在第七章介 绍。例6.2. 1求冲激

19、响应系数为：h 二1,6, 11,6的三阶fir滤波器的传递函数。解：有限冲激响应序列的z变换为：zz(二)=7/o + 二 7"、+ 匕 一2 % + 二 t3 = 1 + 6 二 一' + 1 1 二申 + 6 二7因为hg)有一个零点z=-1,我们可以将其分解为:h(z) = (1 + z'1 )(1 + 5zt + 6广2) = (1 + 严)(1 + 2z_1 )(1 + 3广1)替换z即可得到其频率响应为:h(o) = 1 + 6e"jo +1 le"j2° + 6e_j3° =(1 + ejo)(l + 2ejo)

20、(l + 3e_jo)该滤波器对高频分量衰减，因此为一个低通滤波器。当z二-1或3二h滤波器的频 率响应为零。当z二0或3二0时滤波器的频率响应为或11(0)二1+6+11+6二24。 其样值处理算法和框图实现如下：for each input x do:w0=xy= wo+11 w：+6 wjwj=w：w：=w1wi=w0例6. 2. 2-fir滤波器的i/o方程为:求传递函数和冲激响应h(n)o 解：把i/o方程变换到z域y(n) = x(n) 一 x(n 一 4)y(z)x(z)y(z) = x(n) j厶丿xxvz)=其冲激响应为:h=l,o, 0, 0,-1即可得到频率响应为:h)

21、= 1-e-j4° =(严-e-j2w)e-j2° = 2jsin(23)厂伽m此幅频响应具零点为单位1的四次根或：z4 = 1=> z =k = 0.1.2.3=> z = 1. j.1.j频率响应在co = 2 irk频率响应仅画出了 nyquist间隔部分。o=3 ji/2点未画出来，它与- n /2点混叠。框图实现和样值处理算法如下:h(cd)| = 2 siii(2co)y(z) = 0.25z2 y(z) + x(z)例6. 2. 3求下列两差分方程的传递函数和因果性冲激响应。(a) y (n)=0. 25y (n-2) +x (n)(b) y(n) =-0. 25y (n-2) +x(n)解q)两边作z变换得到：h(z)=1 -o.25z2求解得到传递函数为：al _ + a? _l-0.5z_1 l