居余马线性代数第三章课后习题

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持第三章课后习题及解答将1,2题中的向量表示成4的线性组合:1.1,2,1,1 t,1,1,1,1, 2 1,1,1,1t, 3 1, 1,1, 1t, 4 1, 1, 1,1 t.2.0,0,0,1 ,1,1,0,1 , 22,1,3,11,1,0,0 , 4 0,1, 1, 1.解：设存在k1,k2,k3,k4使得k1k33 k4 4 ,整理得1 k,k44设存在k1,k2,k3, k4使得k11 k2 2k3k4 4 ,整理得k12k2k30 ,k1k2k3k40,3k2k40 , k1 k2k41.解得k11, k20,k31,

2、 k40.所以判断3,4题中的向量组的线性相关性:51解得 k1, k2, k34411所以 1丄214443.1,1,1 T, 20,2,T, 31,3,64.(1, 1,2,4)t, 20,3,1,2 T,33,0,7,14 t.解:1文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持3文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑3.设存在k1,k2,k3使得k 1k22 k330 ，即k1k30k12k23k3k15k2 6k31010 ,由12301560 ,解得k1,k2,k3不全为零,故1, 2, 3线性相关.4.设存在k1

3、,k2,k3使得k 1k22k330 ,即k1 3k30k1 3k202k1k2 7k30可解得kIhK不全为零，故1, 2,3线性相关4k12k214k35. 论述单个向量(a1,a2, ,an)线性相关和线性无关的条件.解：设存在k使得k 0 ,若 0 ,要使k 0 ,当且仅当k 0 ,故，单个向量线性 无关的充要条件是0 ；相反，单个向量(a1,a2, ,an)线性相关的充要条件是0.6. 证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关证：设向量组 1, 2, n 1, n线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组i1, i2, , ir(ir n)线性相关，则向量组1

4、, 2, , n 1, n线性相关，与向量组1, 2, , n 1, n线性无关矛盾,所以该命题成立.7.证明：若1, 2线性无关，则 I 2, I2也线性无关.证：方法一，设存在 k1,k2使得k1( 12) k2( 12) 0，文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持1,整理得,(kt k2) 1 (ktk?)因为2线性无关，所以k1k1k2k2,可解得k1 k22线性无关.方法二，因为(2)12)1又因为20 ,且2线性无关，所以向量组12,12的秩为2,故 12, 12线性无关8.设有两个向量组1, 2, S,其中S是分别在2, S的k个分量后任意添加m个分量b1j

5、 ,b2 j，(j 1,2,IS)所组成的km维向量，证明:(1)若2, S线性无关，则S线性无关;2, S线性相关，则S线性相关.证：证法1，(1)设AS ,因为I)2,S线性无关，所以齐次线性方程AX 0只有零解，即r(A) s,且 r(B) S，S线性无证法2,因为S线性无关，所以齐次线性方程AX 0只有零解，再增加方程的个数，得BX 0 ,该方程也只有零解，所以1 , 2,S线性无关.5文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持9文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑（2）利用反证法可证得，即假设 1,2, S线性

6、无关，再由（1）得1,2, , S线性无关，与1, 2, S线性相关矛盾9.证明：I2, 23,31线性无关的充分必要条件是1,2, 3线性无关101证：方法1，（ I2,23 ,31)=(1 , 2 ,3）11001110 1因为1, 2, 3线性无关，且11 020,可得12 ,23,31的秩为301 1所以12, 23 ,31线性无关.线性无关；反之也成立方法2，充分性，设 I,2 ,3线性无关,证明1 2,23,31线性无关.设存在k1,k2,k3使得k1（12)k2(23)k3(31)0，整理得，因为1 ,2, 3线性无关，所以k1k30k1k20 ,可解得k1k2 k30 ,所以

7、12 , 23,31线性无关k2k30必要性，（方法1）设12, 23, 31线性无关，证明1, 2, 3线性无关,假设1, 2, 3线性相关，则1 , 2,3中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设1可由2,3线性表示，则向量组1 2 , 23,31可由2, 3线性表示，且32 ,所以12 ,23,31线性相关，与12 ,23,31线性无关矛盾，故 1, 2,3线性无关方法2,令I12 , 22k1 1k2 2k330,由1 111 Z1'(123),2(122k1 1k2 2k330得，1k1 (1 23）1k2 (1222k因为1, 2, 3线性无关，所以kk3,331 ,

8、设存在k1,k2,k3使得2,223,331得23),3-(1223），代入13)k3 (2k2k301 23）0，即k2 k30k2k30可解得k k2 k3 0 ,所以1, 2, 3线性无关10. 下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）1, 2, m（ m 2）线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关;解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的 3个向量,虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设1, 2, 3两两线性无关，而1, 2, 3线性相关（2） 1, 2, , m（m 2）线性相关的充分必要条件是有m 1个向量线性相关；101

9、解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设I， 2， 30111,2, 3线性相关，而 俩1,2, 3两两线性无关.文档来源为 : 从网络收集整理 .word 版本可编辑 . 欢迎下载支持（3）若1, 2线性相关，1, 2线性相关，则有不全为零的数k,k2 ,使得k11 k2 20 且 k11k220 ，从而使得k（111 ）k（222）0 ，故 11， 22线性相关 .解：不正确，因为 1， 2 线性相关和 1， 2线性相关，不一定存在同一组不全为零的数k1,k2 ,使得k1 I k2 2 0和k1 I k2 2 0成立；或者说存在两组不全为零的数k1,k2和 t1,t2 使得 k1

10、 Ik2 2 0 和 t1 It2 20 成立 .(4). 若 1,2,3线性无关，则12,23,31 线性无关 .解：不正确，因为取1， 1， 1 这组常数，使得 （ 12）（23）( 31) 0所以 12, 23,31 线性相关 .(5) 若 1,2,3,4 线性无关，则 12,23,34,41 线性无关；解：不正确，因为12,23,34 ,41 线性相关，由9题，n为奇数个时，线性无关，n为偶数时，线性相关.（6）若1, 2, 3, , n线性相关，则12, 23, , n 1 n, n 1线性相关;解：正确，因为 1, 2, 3, , n线性相关，所以 1, 2, 3, , n中至少有

11、一向量可由剩 余的 n 1个向量线性表示，则 1 2, 2 3, , n 1 n, n 1 也可由那剩余的 n 1个向量线性表示，再因为 n n 1，11. 如果 1, 2, 3, 4线性相关， 但其中任意 3个向量都线性无关， 证明必存在一组全不为 零的数 k1,k2,k3,k4 ，使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4 0.证：因为 1, 2, 3, 4 线性相关，所以存在不全为零的常数k1,k2,k3,k4 ，使得k11k22k33k44 0，假设k10，则k22k33 k4 4 0 ，得 2， 3， 4线性相关与题设矛盾 .故 k1 0 ；同样方法可证得 k2,k3,k4 都不为

12、零 .所以该命题成立 .12.若1, 2, , r线性无关，证明： ，1, 2, , r线性无关的充分必要条件是不能由 1, 2, r 线性表示 .证：必要性，假设能由 1, 2, r ,则，1,2, r 线性相关与, 1,2, ,r 线性无关矛盾，故不能由 1,2, r 线性表示充分性，设存在k0,k1,k2,kr 使得 k0k1 1k22 k3 3krr0 ，若 k00 ，则能由 1,2 , 3, r 线性表出，矛盾，所以 k00，因此，k1 1k2 2 k3 3kr r0 ，又因为1,2,r线性无关，所以 k1k2kr0 ，故， , 1, 2, ,r 线性无关 .13. 求下列向量组的秩

13、及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：(1) 1 (6,4,1,9,2), 2 (1,0,2,3, 4), 3 (1,4, 9, 6,22), 4 (7,1,0, 1,3);13文档来源为 : 从网络收集整理 .word 版本可编辑1,2,0);2) 1 (1, 1,2,4), 2 (0,3,1,2),3 (3,0,7,14), 4 (2,1,5,6) , 5 (1,3) 1 (1,1,1),2 (1,1,0), 3 (1,0,0), 4 (1,2, 3).所以，向量组的秩为 3，1, 2, 4 为一个极大线性无关组，6117101040410150解：(1)TTTT1

14、 , 2, 3 , 412900001936100002422300002）类似（ 1），可求得向量组的秩为3，1, 2, 4 为一个极大线性无关组，且3）类似（ 1），可求得向量组的秩为3， 1, 2, 3 为一个极大线性无关组，14. 设向量组：1 (1, 1,2,4), 2 (0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 5(2,1,5,6), 4 (1, 1,2,0),5 (2,1,5,6).1）证明 1， 2 线性无关；2）求向量组包含 1， 2 的极大线性无关组（1）证：设存在k1,k2,使得k1 ITk10 ，求得 k1 k20 ，所以 1，103122）解，T, T, T,

15、T, T 11 , 2 , 3 , 4 , 53011217254214061030110000002线性无关；010 1 ,1 1 , 00所以， 1, 2, 4 为包含 1， 2的一个极大线性无关组15.设A, B皆为n阶矩阵,r(A) n,r(B) n,证明:1 )秩 A 0 r(A) r(B); 0BAC(2)秩r(A) r(B), C为任意n阶矩阵0B证：( 1)设 r(A)r1,r(B) r2 ,则存在n阶可逆矩阵P,Q , P ,QEr0 ' 'Er 0使得PAQ r1, P'BQ'r2, 从而0000A0P0IA0Q0I则秩秩r1 r2 r(A)

16、 r(B)0B0P'0B0Q'AC(2)因为秩 A C r(A),所以秩r(A) r(B).0B16.证明 r(AB) min(r(A),r(B).证：设代B分别为m n,n S矩阵，将A按列分块，则有AB12b1Sb2S 的列向量组S可由A的列向量组bnS1, 2,I n线性表示，故r(AB) AB的列秩 A的列秩=r(A),冋样，将B按行分块,得 r(AB)r(B),因此，该命题成立.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持1.设代B分别为m n,n m矩阵，且n m，证明：齐次线性方程组 (AB)X 0有非零解.证：由 r(AB) min(r(A),r

17、(B)n m ,所以AB 0 ,故齐次线性方程组(AB)X 0有非零解.n矩阵.证明：若A的行向量组的18.设A是一个S n矩阵，B是由A的前m行构成的m秩为 r ,则 r(B) r m S .证：设 i (aw ai2,a)n), i 1,2, S) A设r(B) P ,于是B的行向量组的极大线性无关组i1i2含P个向量。因此,A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组ip， m 1J的一个子集，所以它所含向量个数P (S m),即r(A) r P (S m)，从而，r(B) P r m S.求下列(19 22题)矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式:123450 012319.0 0

18、 0040 0 121123451123450 解：0123200123/IjT .0000440000200121300000所以，矩阵的秩为 3。13501340为一个最高阶的非零子式。0041121022 42020.30611 .0300111210111210解：224204030013061130004003001200000所以，矩阵的秩为3。111301120为一个最高阶的非零子式。0303213221.21313 .455613213213493解：21313071317945561002132所以，矩阵的秩为 3。15文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为

19、：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持321213140为一个最高阶的非零子式。4551100110021100110解:0211001000210001所以，矩阵的秩为 4。110 010为一个最高阶的非零子式。2 1100 2 110 0 2 123.设A是一个m n矩阵，证明：存在非零的n S矩阵B ,使得AB 0的充要条件是0017文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑r(A) n.证：设齐次线性方程组 AX 0，B0,则由AB 0，可得A j0, j 1,2,s ,由于,S 0,至少有一个 j 0，再由AX0有非零解的充要条件是r(A)0, j1,2, ,s，至少

20、有一个j 0的充要条件是r(A) n .24.设A, B是同形矩阵，证明：A与B相抵的充要条件是r(A)r(B).证：设代B是m n矩阵，r(A)r,r(B)P ,则存在可逆矩阵 P, p2,q1,q2，使得 PAQ1 Er 0，P2BQ20 0EP0文档来源为 : 从网络收集整理 .word 版本可编辑 . 欢迎下载支持充分性，因为 r(A) r(B) ，所以， P1AQ1Er 0 = P2 BQ20 2 2Ep01 1 1 1(P2)1RAQ1Q21 B,令(F2)1R PQQ21 Q ,故，PAQ B因此，A与B相抵.必要性，因为 A与B相抵，所以，存在可逆矩阵P,Q , 使得 PAQ

21、B ，13文档来源为 : 从网络收集整理 .word 版本可编辑因此， r(A) r(B).Im25.设A是m n矩阵(m n) , r(A) m ,证明：存在n m矩阵B使得AB证：因为r(A) m ,所以，存在可逆矩阵 PIQ ,使得PAQ Im 0 ,所以有1AQ P 1 Im 0 ,AQ P 1 Im 0 (P 10), (1)(1)右端乘n m阶矩阵T P ,得AQT Im ,令QT B,0故， AB I m .26.证明：若n阶方阵A的秩为r ,则必有秩为n r的n阶方阵B ,使得BA 0.证：因为n阶方阵A的秩为r ,所以AT的秩为r ,则ATX 0的基础解系含有n r个线性无关

22、的解向量，取这n r个线性无关的解向量XI) I Xn r为BT的列向量，则r(BT) n r r( B) .因此，该命题得证 27. 证明： 任何秩为 r 的矩阵可以表示为 r 个秩为 1 矩阵之和, 而不能表示为少于 r 个秩为 1 的矩阵之和 .文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持证：设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵 P,Q使得PAQEr0所以，A PIEr OQI PI(BIBr)QIPBQP 1BrQ 1，其中B1, Br为秩为1的矩阵因此，任何秩为r的矩阵可以表示为 r个秩为1矩阵之和.后部的证明，(反证法)假设 A为秩为r的矩阵，能表示为少于 r个秩为1

23、的矩阵之和，不 妨设A能表示为 P个秩为1的矩阵之和，其中， P r ,设A ( B1Bp),其中B1, ,Bp 是秩为 1 的矩阵.r(A) r(B1)r(Bp) P r ,与 r(A) r 矛盾.28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：X1X25x3X40X1(1) 1X22x33x403x1X28X3X40X13x29x37x401151解:10-120 1 - 2 200000000取X3,X4为自由未知量，令X 1,X40和X30,X41 ,得原方程组的一个基础解系为X1( 3,7,1,0)t; X2( 1, 2,0II)T，2 235文档来源为：从网络收集整理.word版

24、本可编辑因此,般解为 Xk1X1k2X2=k171k2其中k1,k2为任意常数3x1 X2 8x3 2x4 X502x1 2x2 3x3 7x4 2x50.X111x212x334x4 5x50X1 5x2 2x316x4 3x50X3,X4,X5X31, x40,X5X3 0,X4 1,X5 0 和19878因此，一般解为Xk1X1 k2X2 k3X3 k1 100为任意常数.x30, X40, X51，得原方程组的一个基础解系为3825Vk201029.求下列非齐次线性方程组的一般解:丄"22k30 ，其中，k1, k2 , k301318211019 T3812解:223720

25、17825"81"21111234500000152163000002x1 7x2 3x3 X46(1)3x15x2 2x3 2x49x1 4x2 x37 X4解：3 5 2 249 4 1720 110 0100取X2,X3为自由未知量，令X2 X3 0,得方程组的一个特解：Xo (8,0,0, 10)T，再令 x21, X30 和x20, X31得其导出组的一个基础解系Xi ( 9,1,0,11)t, X2( 4,0,1,5)T .所以，方程组的一般解为XX。 k1X1k2X2 ,其中&为任意常数X1X2X3X4X57(2)3x12x2X3x4 3x52X22X

26、32X46x5235x14x23X33x4X512111 11710解：321 13201012 262300543 311200取 X3,X4,X5,为自由未知量，令X3X4X0(16,23,0,0,0)r ；115162262300000000X50，得方程组的一个特解再取 X31,x40, X50，X30,X41,X50 和 X30, X40,X51得其导出组的一个基础解系：X1(1, 2,1,0,0),X2(1,2,0,1,0)t,X3(5, 6,0,0,1)T所以，方程组的一般解为X X0 k1X1 k2X2 k3X3 ,其中k1,k2,k3为任意常数(P3)x1X22x3P(I)P

27、X1(P1)X2X32p3(p1)X1PX2(P3) x3330.讨论p,q取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解P 3解： P3( P 1)2 P1 2pP 312P2 P 3 0 32P (P 1)0PP2 3p 623p 15p 9所以，P 0或P 1时，该方程组无解,P 0且P 1时，有唯一解是3233VP 3p 15p 9P 12p 9 V 4p 3p 12p 9入12， X 22，入 32P (P 1)P (P 1)P (P 1)X1X2X3X4X51(2)3 X12x2X3X43x5PX22x3 2x46X535 X14x23x33 X4X5q1 111 1111111

28、1解：3 2113P0122630 122 6300000P5 4331q00000q 2所以，当P 0或q 2时，方程组无解；当P 0且q 2时，方程组有无穷多解，取X3,X4,X5为自由变量，令X3 X4 X5 0,得方程组的一个特解：X。( 2,3,0,0,0)T ；再取 x31,x40,x50，x30,x41,x50 和 x30,x40,x51 得其导出组的一个基础解系：X1(1, 2,1,0,0)t,X2 (1, 2,0,1,0)t,X3 (5, 6,0,0,1)T00100001X1X22x3×41X1X22x37x43X2PX3qx4 q 3X1X22x3(q2)x4

29、q 31121111211112730123101Pqq 300P 2q 3q 2112 q2q 3000q 1q 2当P 2且q1时，方程组有唯一解。k1k200数.(3)解:所以,k3方程组的一般解为 X 0当q1时，方程组无解；112111 1211亠 012310 1231当P2时，000 q3q 20 0012000 q1q 20 0004 q所以，当P 2且q4时，方程组有无穷多解，10,7,0,2Tk0, 2,1,0 T ,其中k为任意常数。所以,其中k1,k2,k3为任意常当P 2且q 4时，方程组无解。31.设A是m n矩阵，证明：若任一个 n维向量都是 AX 0的解，则A

30、0.证：因为任一个n维向量都是AX 0的解，则n维向量i (0, ,0,1,0, ,0)T (第i个分量为1其余分量均为0的列向量)满足A( 1, n) (A 1, ,An)0 ,即AI 0,其中 I是n阶单位方阵，因此，A 0.32. 设A是一个m S矩阵，B是S n矩阵X是n维列向量.证明：若(AB)X 0与 BX 0是同解方程组，则r(AB) r(B).证：因为若(AB)X 0与BX 0是同解方程组，所以，(AB)X 0的基础解系所含解向量的个数与BX 0的基础解系所含解向量的个数相等.即 n r(AB) n r(B),因此，r(AB) r(B).33. 设A是m n矩阵，B是n S矩阵

31、，证明：若 AB 0,则r(A) r(B) n.证：设B ( 1，, S),其中1, S是一组列向量，由 AB 0得，A j 0, j 1, ,s.若r(A) r ,则AX 0的基础解系含有n r个线性无关的解向量，而1, S为AX 0的解向量，则 1, S可由AX 0的基础解系线性表示，所以，r(B) n r n r(A).故，r(A) r(B) n.34.设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，证明:n, r(A) n(1)r(A )1, r(A) n 10, r(A) n 1(2) AIAn证：(1)由于 AA AI ,当 r(A) n 时，A 0，所以 A 0,得 r(A ) n ；当r(A) n

32、 1时，即至少有一个 n 1阶子式不等于零，所以 A 0 ,且A 0，因为A 0 ,所以r(A )1.因为A 0 ,所以AA 0 ,即A的每一列均是齐次线性方程组 AX 0的解，所以r(A ) n r(A) n (n 1)1。因此，r(A )1 ；当r(A) n 1时，A的任一 n 1阶子式都等于零，所以 A 0 ,故r(A )0。n 1(2)当 A 0时，由 AA AI ,得 A A 。n 1当A 0时，即r(A) n 1 ,由(1)知，r(A )1 ,从而A 0 ,所以A A 也成立，故，对任意n阶方阵A ,都有：A An 1°An35.设A是n阶可逆矩阵(n 2),证明：AAn

33、 2A.证：因为A是n阶可逆矩阵，所以 A是n阶可逆矩阵，且 A因为A A A I ,所以A A (A )又因为AAAI ,所以(A)因此，AA (A )An136.设A是n阶矩阵，证明：非齐次线性方程组AX b对任何b都有解的充要条件是A 0.证：充分性，因为 A 0 ,所以r(A) n r(代b)。 因此，对于任意 b，r(A) n r(代b)，AX b有解.必要性，(反证法)假设A 0,则r(A),则 1, 2n线性相关,从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设n可由1,2, I n 1线性表出,取 b (0,0,0,1)T ,则(A,b)矛盾。,即r(A) r(代b),所以方

34、程组无解,n 1 00 137.设 X1 X2 a1 , X2X3a2 , X3 X4a3, X4X5a4, X5X1a5,5证明：这个方程组有解的充要条件是ai 0 ,在有解的情形下，求出它的一般解。i 1证：因为X1 X2a1,X2X3a2,X3X4 a3,X4X5a4, X5X1a5 ,11000X1a101100X2a2即00110X3a300011X4a410001X5a5有00a100a210a311a401a51 1 0 0 1 1 001Ooo100IIOOO0 1 1 0 00 0 1 1 00 001 10 0000a1a2a3a4a 1a?a3a4a51000111000

35、令A01100 ,增广矩阵（A,b）00110000115方程组有解的充要条件为r（A） r（代b）即 a：0。i 101a500a400a3，10a211a1 001 100 1 10 0 1OOOai 000a100a210a311a4000i 11 1 00 1 10 0 10 0 00 0 010001a1a2a3a401001a2a3a400101a3a400011a4000000时得方程组的一个特解取X5为自由变量令X50Xo（印a2a3a4, a2a3 a4, a3a4,a4,O) ；再取X51得其导出组的一个基础解系：X1（1,1,1,1,1）T11k 1 ,其中k为任意常数。

36、11a a? a3 a4a2 a3 a4所以，方程组的一般解为 X Xo kX1a3 a4a4038.已知2是方程组AX b的两个不同解，2是对应齐次线性方程组 AX 0的基础解系,则AXb一般解是：(A) k1 1k2(2)七A (B)k11 k2( 2 I)计(C) k1 1k2(2)亍(D)k11k2( 12)亍解:可证得1,是线性无关的且是AX0的解，因此是AX 0的一个基础解系，b的一个解，因此，选(B).39.1已知Q 234 t , P为非零矩阵6 9,PQ0,则:(A)r(P) 1 ;(B)6时,r(P) 2;(C)6 时，r(P) 1 ;(D)6 时,r(P)2;因为PQ 0

37、 ,且 Q,所以 r(P) r(Q)3,又因为P为非零矩阵，所以 r(P)1,当t 6时,r(Q)2,因此，1 r(P) 1 ,即 r(P) 1 ,故选(C).40.设 I(a1 ,a2,a3)，2 (d,b2,b3)T, 3 (G,C2,O3)t,则三条直线2ajXEy Ci 0,佝bi20), (i 1,2,3)交于一点的充要条件(A)1 , 2 ,3线性相关，(B)1,2, 3线性无关5(C)r1,2，3r1 ,2 ；(D)1,2 , 3线性相关，1,2线性无关.a1xdyCIa1bia1biG解:因为 a2xb2 yc2有唯一解的充要条件是r a2b2ra2b2C22a3xb3yC3a

38、3b3a3b3C36b1C1ra2b2C22 ,即1,2,3线性相关。a3b3C3a1b1ra2b22 ,即1, 2线性无关。所以，选(D)。a3b341.设A是mn矩阵,r(A) m(m n ),B是n阶矩阵，下列哪个成立?(A) A中任一 m阶子式 0;(B) A中任意m列线性无关；(C)ATA 0; (D) 若 AB 0 ,则 B 0 ；(E)若 r(B) n ,则 r(AB) m.解：选 (E) . r(B) n,所以 B 可逆，r( AB) r(A) m.42.设1, 2, I m( i Rn,i 1, Im) m 2)线性无关,下列哪个成立？(A) 对任意常数 k1,k2,k3,

39、,km ,有 k 1 k2 2km m 0 ；(B) 任意k(k m)个向量i I I ik线性相关；(C) 对任意Rn, 1, I m,线性相关；文档来源为 : 从网络收集整理 .word 版本可编辑 . 欢迎下载支持(D) 任意 k(k m) 个向量 i1 , , ik 线性无关 .解：选(D),因为整体线性无关，部分必线性无关。43. 设 , ,线性无关, ,线性相关,下列哪个成立 ?(A)必可由线性表示；( B)必可由 , , 线性表示；(C)必可由线性表示；(D)必不可由 , ,线性表示 .解：选( C)。因为, , 线性无关,所以, 线性无关。因为, 线性无关, ,线性相关,所以必

40、可由 ,线性表示,从而必可由 , 线性表示。44.设A是43 矩阵,r(A) 1, 1, 2, 3是非齐次线性方程组AX b 的三个线性无关解,下列哪个是AX0的基础解系？(A)123(B)12 2 3(C) 21, 32(D)12, 2 3解：因为r(A) 1,所以AX 0的基础解系含有2个线性无关的解，因此(A), (B)不正确。(D) 的两个解不是 AX 0的解，故选 (C).45. 设向量组 1, 2, 3 线性相关, 2, 3, 4 线性无关。回答下列问题,并证明之。(1) 1能否由 2, 3线性表示？(2) 4能否由 1, 2, 3线性表示？解：( 1)因为 2, 3, 4 线性无

41、关,所以 2, 3也线性无关,又因为 1, 2, 3 线性相关，所以1 可由2, 3 线性表示。(2)(反证法)假设 4 能由 1,2 , 3线性表示，再由(1)，1能由 2, 3 线性表示，所以 4 能由 2,3 线性表示，即2, 3,4 线性相关，与2, 3,4 线性无关矛盾。所以，4不能由 1,2,3 线性表示。k146. 设 A 为 n 阶矩阵，若存在正整数k(k2) 使得 Ak0 ，但 Ak 10 (其中 为 n 维非零列向量)，证明：,A ,Ak 1线性无关。证明：(定义法证)若 t1t2 AtkAk 10，上式两边左乘 Ak 1 得， t1Ak 1t2Aktk A2k 20因为 Ak0 ，所以 Ak 1A2k 20因此， t1Ak 10 ，又因为 Ak 10，得 t1 0 。利用同样方法，可求得 t2 t3tk0，因此， ,A , ,Ak 1 线性无关。47.设A, B分别为n m,m n矩阵(n m),且AB I ( n阶单位矩阵)，证明： B 的列向量组线性无关。证：因为 AB I ，且 n m, 所以 r(AB) n min(r(A),r(B) n，因此，r(B) n ,而B是m n矩阵，故， B 的列向量组线性无关。37文档来源为 : 从网络收集整理 .word 版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持48.