初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-抛物线

1、学校数学竞赛辅导讲义-抛物线一般地说来，我们称函数 y = ax 2 + bx + c( a 、b 、c 为常数， a ¹ 0 )为 x 的二次函数， 其图象为一条抛物线，与抛物线相关的学问有：1. a 、b 、c 的符号打算抛物线的大致位置；2. 抛物线关于 x = - b 对称，抛物线开口方向、开口大小仅与 a 相关，抛物线在顶点2a6( - b2a， 4ac - b 2 )处取得最值；4a3. 抛物线的解析式有下列三种形式：一般式： y = ax 2 + bx + c ；顶点式： y = a(x - h)2 + k ；交点式： y = a(x - x1)(x - x2) ，这里

2、 x 、 x12是方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实根确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，机敏地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键注：对称是一种数学美，它呈现出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应乐观捕获、制造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕获对称信息的方式有：(1) 从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2) 从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息【例题求解】【例 1】 二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象如图所示，则函数值 y < 0 时，对应 x 的取值范围是应 x 的值思路

3、点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一 1，一 4)，可求出b ， c 值，先求出 y = 0 时，对【例 2】 已知抛物线 y = x 2 + bx + c ( a <0)经过点(一 1，0)，且满足4a + 2b + c > 0 以下结论： a + b > 0 ； a + c > 0 ； -a + b + c > 0 ； b 2 - 2ac > 5a 2 其中正确的个数有( )a1 个b2 个c3 个d4 个思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特别点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系【例 3】 如图，有一

4、块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，mn4 分米，抛物线顶点处到边mn 的距离是 4 分米，要在铁皮上截下一矩形abcd，使矩形顶点b、c 落在边 mn 上，a、d 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8 分米?析式，设 a( x ， y )，建立含 x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于 8分米，取决于求出 x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出 m、n 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观看分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通

5、过分析比较可获得简解【例 4】 二次函数 y = - 1 x 2 + 3 x + m - 2 的图象与 x 轴交于a、两点(点a 在点b 左边)，与22y 轴交于c 点，且acb90°(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设计两种方案：作一条与 y 轴不重合，与a bc 两边相交的直线，使截得的三角形与abc 相像，并且面积为boc 面积的 1 ，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设4计的方案不必证明)思路点拨(1)a、b、c 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相像三角形性质建立含m 的方程；(2)通过特别点，构造相像三角形基本图形，确定设计方案注： 解函数与几何结合的综合题，

6、擅长求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础； 而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键【例5】已知函数 y = (a + 2)x 2 - 2(a 2 -1)x +1 ，其中自变量 x 为正整数， a 也是正整数，求 x 何值时，函数值最小思路点拨将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x =a 2 -1 = (a - 2) +3，因0 <3a + 2£ 1 ， a - 2 <a 2 -1 £ a -1 ，故函数的最小值只可能在 x a + 2a + 2a + 2取 a - 2 ， a - 2 ， a 2 -1 时达a + 2到所以，解决本

7、例的关键在于分类争辩学历训练1. 如图，若抛物线 y = ax 2 与四条直线 x = 1 、x = 2 、y = 1 、y = 2 所围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴的正半轴交于a，b 两点，与 y 轴交于c 点，且线段ab 的长为 1，abc 的面积为 1，则b 的值为3. 如图，抛物线的对称轴是直线x = 1 ，它与x 轴交于a、b 两点，与 y 轴交于点c，点a、c 的坐标分别为(-l，0)、(0， 3 )，则(1)抛物线对应的函数解析式为；(2)若点p 为2此抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，则abp 面积的最大

8、值为4. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，且 oaoc，则由抛物线的特征写出如下含有 a 、 b 、 c 三个字母的式子4ac - b 2 4a= -1 ， ac + b +1 = 0 ， abc > 0 ， a - b + c > 0 ，>0，其中正确结论的序号是(把你认为正确的都填上)5已知a < -1，点( a -1， y )，( a ， y)，( a +1， y )都在函数 y = x 2 的图象上，则()123a y< y < yb y< y < yc y< y < yd y< y &

9、lt; y1231323212136. 把抛物线 y = x 2 + bx + c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式为 y = x 2 - 3x + 5 ，则有()a b = 3 ， c = 7b b = -9 ， c = -15c b = 3 ，c3d b = -9 ， c = 21a第一象限b其次象限c第三象限d第四象限7. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点( a + b ， ac )所在的直角坐标系是()8. 周长是 4m 的矩形，它的面积s(m2)与一边长 x (m)的函数图象大致是()9. 阅读下面的文字后，回答问

10、题：“已知：二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象经过点a(0， a )，b(1，-2)，求证： 这个二次函数图象的对称轴是直线x = 2 题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字(1) 依据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由(2) 请你依据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整 10如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后精确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米(1) 建立如图所示的直角坐标系，求抛

11、物线的解析式；(2) 该运动员身高 1. 8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时， 他跳离地面的高度是多少?11. 如图，抛物线和直线 y = kx - 4k( k < 0 )与 x 轴、y 轴都相交于 a、b 两点，已知抛物线的对称轴 x = -1与 x 轴相交于c 点，且abc90°，求抛物线的解析式12. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于 a、b 两点，与 y 轴交于点 c，若abc 是直角三角形，则ac =13. 如图，已知直线 y = -2x + 3 与抛物线 y = x 2 相交于 a、b 两点，o 为坐标原点，

12、那么oab 的面积等于14. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ，一次函数 y = k(x -1) - k 24若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为15. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + c 与两坐标轴的交点分别是a，b，e，且abe 是等腰直角三角形，aebe，则下列关系式中不能总成立的是()a. b=0bsadcc2cac一 1da+c016. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象过点(1，0)求证：这个二次函数的图象关于直线x = 2 对称依据现有信息，题中的二次函数不

13、具有的性质是() a过点(3，0)b顶点是(2，一 2)c在 x 轴上截得的线段长为 2d与 y 轴的交点是(0，3)17. 已知 a(x，2002)，b(x ，2002)是二次函数 y = ax 2 + bx + 5( a ¹ 0 )的图象上两 x = x + x1212时，二次函数的值是()a. 2b 2+ 5b - b 2+ 5c 2002d5a4a18. 某种产品的年产量不超过1000 吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图 1 所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元吨)之间函数的图象是线段(如图

14、 2 所示)若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润销售额一费用)19. 如图，已知二次函数 y = 2x 2 - 2 的图象与 x 轴交于a、b 两点(点a 在点b 的左边)，与y 轴交于点c，直线：xm(m>1)与 x 轴交于点d(1) 求a、b、c 三点的坐标；(2) 在直线xm (m>1)上有一点p (点p 在第一象限)，使得以p、d、b 为顶点的三角形与以 b、c、o 为顶点的三角形相像，求p 点坐标(用含m 的代数式表示)；(3) 在(2)成立的条件下，试问：抛物线 y = 2x 2 - 2 上是否存在一点 q，使得四边形 abpq为

15、平行四边形?假如存在这样的点q，恳求出m 的值；假如不存在，请简要说明理由20. 已知二次函数 y = x 2 - x - 2 及实数a > -2 ，求(1) 函数在一 2<xa 的最小值；(2) 函数在axa+2 的最小值21. 如图，在直角坐标：x o y 中，二次函数图象的顶点坐标为c(4， -3 )，且在 x 轴上截得的线段ab 的长为 6(1) 求二次函数的解析式；(2) 在 y 轴上求作一点p (不写作法)使pa+pc 最小，并求p 点坐标；7(3) 在 x 轴的上方的抛物线上，是否存在点q，使得以q、a、b 三点为顶点的三角形与 abc 相像?假如存在，求出q 点的坐标；假如不存在，请说明理由22. 某校争辩性学习小组在争辩有关二次函数及其图象性质的问题时，发觉了两个重要结论一是发觉抛物线 y=ax2+2x+3(a0，) 当实数 a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是1发觉当实数a 变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3 的顶点的横坐标削减a