勾股定理及两点间的距离公式

1、知识精讲(1) 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方利用勾股定理往往构造方程，已达到 解决问题的目的;(2) 应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，矢注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量矢系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有矢边长的问题时，要灵活的运用方程的思想例(1 )在直角 abc 中 z c=90° z a=30° 、 bc=1 、贝 ab= (2)在直角 abc 中 z c=90° z a

2、=45° ab=3，则 ac=例 2 ( 1)等边三角形的边长是 3，则此三角形的面积是；(2)等腰三角形底边上的长为 2，腰长为 4，则它底边上的高为 例 3】(1)直角三角形两边长为 3 和 4，则此三角形第三边长为；(2) 直角三角形两直角边长为 3 和 4，则此三角形斜边上的高为 (3) 等腰三角形两边长是 2、4，则它腰上的高是(2)如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为 例 6】 如图，已知：r t abc 中，z acb 是直角，adc 的周例 8】如图，直线 mn 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点a 测得北偏西 30。的方向上有 栋别墅c， 朝

3、正北方向走了 400 米到达点b 后，测得别墅c 在北偏西 75°的方向上，如果要从别墅 c 修一条通向 mn 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）例 9 如图，公路 mn 和公里 pq 在点 p 处交汇，且z qpn=30°，点 a 处有一所中学，ap=160 米，假 设拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在 mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是 否会受到噪音的影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/时，那么学校受影响的例 10】如图，矩形 abcd 中，ab=8，bc=4，将矩形沿 ac 进行翻折，点d 落在e

4、 处，求出重叠部分时间是多少秒？ afc 的面积亠例 11】如图，ab 两个村子在河边 cd 的同侧，a、b 两村到河边的距离分别为 ac=1 千米 bd =3 千米cd =3 千米现在河边 cd 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向 a、b 两村送水，也可以将水送 一村再转送另一村铺设水管费用为每千米 2 万元，试在河边 cd 选择水厂位置p 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0. 01 万元）知识精讲2、逆定理:(1 )如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形(2)在直角三角形的三边中，首先弄清

5、楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较 小两边的平方和例 12】下列命题中是假命题的是()a 在厶 abc 中，若z b=z c-za，则厶 abc 是直角三角形b 在 aabc 中，若 a2 (be) (be)，则 abc 是直角三角形c在 zxabc 中，若z b : zc : za=3:4:5，则厶 abc 是直角三角形dzxabc 中，若 a:b:c 5:4:3 则厶 abc 是直角三角形例 13 ( 1)将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是三角形；(2)若 abc 的三边 a、b、c 满足(ab) (a2 b2 c2) 0 则 abc 是三角形例 14

6、】1) 一根旗杆在离地面 9 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处，则旗杆折断之前有多少米？222例 16】如图，公路上 a、b 两点相距 25 千米，c、d 为两村庄，da 丄 ab 于点a，cb 丄 ab 于点b，已 知da=15 千米，cb=10 千米，现要在公路 ab 上建一车站eaeb(1 )若使得 c、d 两村到e 站的距离相等，e 站建在离a 站多少千米处？ (2)若使得 c、d 两村到e 站的距离和最小，e 站建在离 a 站多少千米处？例 17】如图、在四边形 abcd 中，ab=bc=2 ，cd=3 da=1 且z b=90 求'dab 的度数交 ab 于点e

7、，交 ac 于点f，求 ae : be 的值知识精讲模块三：两点间的距离公式3、距离公式：如果平面内有两点a (xi » yi ) 、b (x2，y2)，则 a、b 两点间的距离为：(xi x2) 2 ( yi y2)2 (1 )当 a (xi » yi) 、b(x2，«)两点同在 x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有 yi y2 » ab= | xi x21 :例题解析例 19已知点 a (2，2)、b ( 5，1) (1)求 a、b 两点间的距离； (2)在 x 轴上找一点c，使 ac=bc 2)当 a (xi » yi)、b(x2，

8、71;)两点同在 y 轴上或平衔轴的直线上则有 xi x2 ab=| yi y2|2）已知点p 在第二、四象限的平分线上，且到q （2，3）的距离为 5，则点p 的坐标为例 21】（1）以点 a （1，2）、b （2，1），c （4 为顶点的三角形是 _ ；（2）已知点a（0,3）、b（01），zabc 是等边三角形，则点c 的坐标是 例 22】已知直角坐标平面内的点 a （4，1）、b （6，3），在坐标轴上求点p '使 pa=pb例 23】已知直角坐标平面内的点 p （4，m ），且点p 到点a （2，3）、b （1，2）的距离相等，求点p的坐标个最小值；若不存在，说明理由例 25

9、】已知直角坐标平面内的点人（4，3）、b （6,3），在 x 轴上求一点c 牡 abc 是等腰三角形随吐检测例 26】 已知点a （4，0）、b （2，1），点 c 的坐标是（x，2-x），若厶 abc 是等腰三角形，求 c 坐标 习题 1】六根细木棒，她们的长度分别是 2、4、6、8、10、12 （单位：cm ）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）d 810 > 12a 等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d以上都不是习题 3】(1)如果等腰直角三角形一边长为 2，另外两边长为；(2)如果直角三角形两边长为 5 和 12，第三边长度为 习题 4】如

10、图，将长方形 abcd 沿 ae 折叠，使得点 d 落在 bc 上的点f 处，ab=8，ad=10 求 ec 的面积习题 5如i 图在四边形 abcd 中、ab±bc ab=9 、bc=12 cd=15，da=15 2 求四边形 abcd 的习题 7】若a、b、c 是三角形的边长且矢于x 的方程 x2 2(a b)x c2 2ab 0 有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状习题 8】如图，在一条公路上有p、q 两个车站，相距 27km，a、b 是两个村庄，ap 丄 pq，bq 丄 pq，且 ap=15km，bq=24km，现在要在公路上建立一个商场庄到商场m 的距离相等，求 pm

11、 的长m 使得 a、b 两个村习题 9】已知点 a2,8b1,4c 在y 轴上，使babc 为直角直角三角形，求满足条件的点c 的坐标pmq习题 11】 若在 abc 中，ab=c，ac=b bc=a，z acb=90°，则 a2 b2 c2 试用两种方法证明作业 1】下列命题中，正确的有()个(1 )腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等am 3，bm 1，cm 2,求 bmc 的度数(2)(3)有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等222作业 3】 如图，rt abc 中，斜边 ab 1，则 ab2 bc2 ac2 的值

12、是作业 4】已知点 a3，5，点 b 的横坐标为3，且 a、b 两点之间的距离为 10，那么点 b 的坐标是作业 5现将直角三角形 abc 的直角边 ac 沿直线 ad 折叠，使它落在斜边 ab 上，c 与 e 重合，且ac=3 bc=4，则 cd 等于.作业 6如果 abc 的周长为 12，而 ab bc 2ac，ab bc 2，那么 abc 的形状是0apq 若 ab 1，则两个三角形重叠部分的面积为 作业 9】 已知：如图，四边形 abcd 的三边（ab、bc、cd）和 bd 都为 5 厘米，动点 p 从a 出发abd ），速度为 2 厘米/秒，动点q 从点 d 出发（dcba）到 a，速度为 28 厘米/ 秒，5 秒后p、q 相距 3 厘米，试确定 5 秒时 apq 的形状.作业 10】阅读下已知 a b、c解： q a2c2 b2c2列题目的解题过程：abc 的二功，且满足a2c2 b2c2 a4 4422222a4 b4 (a)、 c a b a babc 是直角三角形b4，试判断 abc 的形状22ab( b)c2 a2 b2(c)，问：（1 ）上述解题过程中，从哪一步开始出错？请写出该步的