2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.7抛物线-学生版

1、 抛物线知识梳理1抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py (p>0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1抛物线y22px (p>0)上一点p(x0，y0)到焦点f的距离|pf|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax的焦

2、点坐标为，准线方程为x.3设ab是过抛物线y22px(p>0)焦点f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|ab|x1x2p(为弦ab的倾斜角)(3)以弦ab为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦例题解析题型一 基础【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对

3、称图形()(4)ab为抛物线y22px(p>0)的过焦点f(，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|ab|x1x2p.()【例2】1抛物线y24x的焦点坐标是()a(0,2) b(0,1)c(2,0) d(1,0)2过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|pq|等于()a9 b8 c7 d63设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()a. b2,2c1,1 d4,44已知抛物线y22px(p>0)的准线与圆x2y26x70

4、相切，则p的值为_题型二抛物线的定义及应用【例3】(1)已知f是抛物线y2x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为()a. b1 c. d.(2)设p是抛物线y24x上的一个动点，若b(3,2)，则|pb|pf|的最小值为_【同步练习】1若将本例(2)中的b点坐标改为(3,4)，试求|pb|pf|的最小值2若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值3、设p是抛物线y24x上的一个动点，则点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之

5、和的最小值为_题型三抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程【例4】已知双曲线c1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p>0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为()ax2y bx2ycx28y dx216y命题点2抛物线的几何性质【例5】已知抛物线y22px(p>0)的焦点为f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是过f的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开

6、口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【同步练习】(1)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点已知|ab|4，|de|2，则c的焦点到准线的距离为()a2 b4 c6 d8(2)抛物线y22px(p>0)的焦点为f，已知点a、b为抛物线上的两个动点，且满足afb120°.过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最大值为()a. b1 c. d2题型四

7、直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题【例6】已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a、b两点若·0，则k_.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题【例7】已知抛物线c：y22x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点，交c的准线于p，q两点(1)若f在线段ab上，r是pq的中点，证明：arfq；(2)若pqf的面积是abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过

8、抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解【同步练习】1、已知抛物线y24x的焦点为f，直线l过点m(4,0)(1)若点f到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设a，b为抛物线上两点，且ab不垂直于x轴，若线段ab的垂直平分线恰过点m，求2、已知抛物线c：ymx2(m>0)，焦点为f，直线2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q.(1)求抛物线c的焦点坐

9、标；(2)若抛物线c上有一点r(xr ,2)到焦点f的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.课后练习1若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于()a1 b. c2 d.2已知抛物线c的顶点是原点o，焦点f在x轴

10、的正半轴上，经过f的直线与抛物线c交于a、b两点，如果·12，那么抛物线c的方程为()ax28y bx24ycy28x dy24x3已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()ax1 bx1 cx2 dx24已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和l2的距离之和的最小值为()a. b. c3 d25过抛物线y28x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，交抛物线的准线于点c，若|af|6，则的值为()a. b. c. d36.已知直线yk(x2)(k&g

11、t;0)与抛物线c：y28x相交于a，b两点，f为c的焦点，若|fa|2|fb|，则k的值为()a. b. c. d.7设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30°的直线交c于a，b两点，则|ab|_.8已知抛物线c：y22px(p>0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于点a，与c的一个交点为b，若，则p_.9已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线c：y28x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则|ab|_.10.设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点m，且m为线段ab的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_11已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1<x2)两点，且|ab|9.(1)求该抛物线的方程；(2)o为坐标原点，c为抛物线上一点，若，求的值12抛物线e：x22py(p>0)的焦点为f，以a(x1，y1)(x10)为直角顶点的等腰直角abc的三个顶点a，b，c均在抛物线e上(1)过q(0，3)作抛物线e的切线l，切点为r，点f到切线l的距离为2，求抛物线e的方程；(2)求abc面积的最小值13.如图，由部分抛物线：y2mx