2022届高三数学一轮复习（原卷版）第八章 8.2空间体表面积和体积-教师版

1、 第1课时进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积(×)(3)球的体积之比等于半径比的平方(×)(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球(×)(6)圆柱的一个底面积为s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2s.(×)作业检查阶段知识点梳理1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧

2、面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式s圆柱侧2rls圆锥侧rls圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)s表面积s侧2s底vsh锥体(棱锥和圆锥)s表面积s侧s底vsh台体(棱台和圆台)s表面积s侧s上s下v(s上s下)h球s4r2vr3第2课时阶段训练题型一求空间几何体的表面积例1(1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()a21 b18c21 d18(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案(1)a(2)12解析(1)由几何体的三视图可知

3、，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×(4)2××()221.故选a. (2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得×6××2××h2，h1，斜高h2，s侧6××2×212.思维升华空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2016·大连模拟)如图所示的是一个

4、几何体的三视图，则该几何体的表面积为_答案26解析该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为ss长方体表2s半圆柱底s圆柱轴截面s半圆柱侧2×4×12×1×22×4×2×122×1×2×126.题型二求空间几何体的体积命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例2(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()a. b.c. d1答案c解析由三视图知，半球

5、的半径r，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，v×1×1×1××3，故选c.命题点2求简单几何体的体积例3(2016·江苏改编) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥pa1b1c1d1，下部的形状是正四棱柱abcda1b1c1d1(如图所示)，并要求正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高po1的4倍若ab6 m，po12 m，则仓库的容积为_m3.答案312解析由po12 m，知o1o4po18 m因为a1b1ab6 m，所以正四棱锥pa1b1c1d1的体积v锥·a1b·po1×

6、62×224(m3)；正四棱柱abcda1b1c1d1的体积v柱ab2·o1o62×8288(m3)所以仓库的容积vv锥v柱24288312(m3)思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱

7、锥的体积是_(2)如图，在多面体abcdef中，已知abcd是边长为1的正方形，且ade，bcf均为正三角形，efab，ef2，则该多面体的体积为()a. b. c. d.答案(1)(2)a解析(1) 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h1，则体积vsh×(×2×1)×1.(2)如图，分别过点a，b作ef的垂线，垂足分别为g，h，连接dg，ch，容易求得eghf，aggdbhhc，sagdsbhc××1，vveadgvfbchvagdbhc2veadgvagdbhc×

8、;××2×1.故选a.题型三与球有关的切、接问题例4已知直三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，则球o的半径为()a. b2c. d3答案c解析如图所示，由球心作平面abc的垂线，则垂足为bc的中点m.又ambc，omaa16，所以球o的半径roa .引申探究1已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为r，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而v外接球r3

9、15;(2)332，v内切球r3×23.2已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积s1与其内切球的表面积s2的比值为多少？解正四面体的表面积为s14··a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r·aa，因此内切球表面积为s24r2，则.3已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×6，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，

10、一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点p，a，b，c构成的三条线段pa，pb，pc两两互相垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4r2a2b2c2求解(1)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱abca1b1c1内有一个体积为v的球若abbc，ab6，bc8，aa13，则v的最大值是()a4 b. c6 d.(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()a. b16 c9 d.答案(1)b(2)a解析(1)由题

11、意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，v的最大值为.(2) 如图，设球心为o，半径为r，则在rtaof中，(4r)2()2r2，解得r，该球的表面积为4r24×()2.17巧用补形法解决立体几何问题典例(2016·青岛模拟) 如图，在abc中，ab8，bc10，ac6，db平面abc，且aefcbd，bd3，fc4，ae5，则此几何体的体积为_思想方法指导解答本题时可用“补形法”完成“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的

12、补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使aabbcc8，所以v几何体v三棱柱×sabc×aa×24×896.答案96第3课时阶段重难点梳理1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为r，若球为正方体的外接球，则2ra；若球为正方体的内切球，则2ra；若球与正方体的各棱相切，则2ra.(2)若长方体的

13、同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为r，则2r.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31. 重点题型训练1(2017·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a124 b188c28 d208答案d解析由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为×2×2×24×2×24×2208，故选d.2(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()a. b. c. d

14、(4)答案b解析由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为.则v··.故选b.3(2015·山东)在梯形abcd中，abc，adbc，bc2ad2ab2.将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()a. b. c. d2答案c解析过点c作ce垂直ad所在直线于点e，梯形abcd绕ad所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段ab的长为底面圆半径，线段bc为母线的圆柱挖去以线段ce的长为底面圆半径，ed为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为vv圆柱v圆

15、锥·ab2·bc··ce2·de×12×2×12×1，故选c.4(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()a1 b2c12 d2答案b解析由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，该四面体的表面积为s表2××2×12××()22，故选b.5(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是()a. b6 c. d.答案c

16、解析该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以v××4×1×××4×2.故选c.6(2016·福建三明一中第二次月考) 如图，直三棱柱abca1b1c1的六个顶点都在半径为1的半球面上，abac，侧面bcc1b1是半球底面圆的内接正方形，则侧面abb1a1的面积为()a. b. c2 d1答案a解析由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.abca1b1c1为直三棱柱，平面abc平面bcc1b1，bc为截面圆的直径，bac90°.abac，ab1.侧面abb1a1的面积为

17、15;1.故选a.7(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_答案解析由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积s，高h1，所以四棱柱体积vs·h×1.8已知四面体abcd满足abcd，acadbcbd2，则四面体abcd的外接球的表面积是_答案7解析(图略)在四面体abcd中，取线段cd的中点为e，连接ae，be.acadbcbd2，aecd，becd.在rtaed中，cd，ae.同理be.取ab的中点为f，连接ef.由aebe，得efab.在rtefa中，afab，ae，ef1.取ef的中点为o，连接oa，则of.在rtofa中，oa.oaob

18、ocod，该四面体的外接球的半径是，外接球的表面积是7.9(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案3解析方法一由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以v××12×43.方法二由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为v××12×63.10一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它

19、的顶点和底面圆周在球o的球面上，则该圆锥的体积与球o的体积的比值为_答案解析设等边三角形的边长为2a，球o的半径为r，则v圆锥·a2·aa3.又r2a2(ar)2，所以ra，故v球·(a)3a3，则其体积比为.11已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积；(2)如果点p，q在正视图中所示位置，p为所在线段中点，q为顶点，求在几何体表面上，从p点到q点的最短路径的长解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和s圆锥侧(2a)·(a)a2，s圆柱侧(2a)·(2a)

20、4a2，s圆柱底a2，所以s表a24a2a2(5)a2.(2)沿p点与q点所在母线剪开圆柱侧面，如图则pqa，所以从p点到q点在侧面上的最短路径长为a.12(2016·全国丙卷) 如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点(1)证明：mn平面pab；(2)求四面体nbcm的体积(1)证明由已知得amad2.如图，取bp的中点t，连接at，tn，由n为pc中点知tnbc，tnbc2.又adbc，故tn綊am，所以四边形amnt为平行四边形，于是mnat.因为at平面pab，mn平面pab，所以mn平面

21、pab.(2)解因为pa平面abcd，n为pc的中点，所以n到平面abcd的距离为pa.取bc的中点e，连接ae.由abac3得aebc，ae.由ambc得m到bc的距离为，故sbcm×4×2.所以四面体nbcm的体积vn-bcm×sbcm×.*13.(2017·浙江七校联考)如图所示，在空间几何体adebcf中，四边形abcd是梯形，四边形cdef是矩形，且平面abcd平面cdef，addc，abadde2，ef4，m是线段ae上的动点(1)试确定点m 的位置，使ac平面mdf，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面mdf将几何体adebcf分成两部分，求空间几何体mdef与空间几何体admbcf的体积之比解(1) 当m是线段ae的中点时，ac平面mdf.理由如下：连接ce交df于点n，连接mn.因为m，n分别是ae，ce的中点，所以mnac.又因为mn平面mdf，ac平面mdf，所以ac平面mdf.(2)将几何体adebcf补成三棱柱adebcf，如图所示，三棱柱adebcf的体积为vsade·cd×2×2×48，则几何体adebcf的体积va