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文档简介
1、等比数列知识讲解一、等比数列1.定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示等比数列中的项不为2.通项公式: ;3.前项和公式:4.等比数列的性质(其中公比为):1), ;2)若,则有;若,则有;3)等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,为等比数列,公比为4)等比数列的项和也构成一个等比数列,即,为等比数列,公比为5)当且仅当两个数和同号是才存在等比中项,且等比中项为6)若成等比数列,则7)若数列,都是等比数列且项数相同,则都是等比数列;8)用方程思想处理等比数列相关参数问题,对于这五个量,
2、知任意三个可以求出其它的两个,即“知三求二”;二、等差与等比数列1.若正项数列为等比数列,则数列为等差数列;2.若数列为等差数列,则数列为等比数列;3.任意两数都存在等差中项为,但不一定都存在等比中项,当且仅当同号时才存在等比中项为;4.任意常数列都是等差数列,但不一定都是等比数列,当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列;判断一个数列为等比数列的方法:1)定义法:,(常数) 为等比数列2)等比中项法: 为等比数列3)前项和法:数列的前项和(a是常数,)数列为等比数列;经典例题一选择题(共14小题)1等比数列an中,a3=2,a11=8,则a7=()a4b4c±4d5【解答】解:
3、由等比数列的性质可得:奇数项的符号相同,a7=a3a11=(-2)×(-8)=4故选:a2等比例数列an的前n项和为sn,公比为q,若s6=9s3,s5=62,则a1=()a2b2c5d3【解答】解:根据题意,等比例数列an中,若s6=9s3,则q±1,若s6=9s3,则a1(1-q6)1-q=9×a1(1-q3)1-q,解可得q3=8,则q=2,又由s5=62,则有s5=a1(1-q5)1-q=31a1=62,解可得a1=2;故选:b3已知无穷等比数列an的各项之和为32,首项a1=12,则该数列的公比为()a13b23c13d13或23【解答】解:由题意可得:
4、121-q=32,解得q=23故选:b4已知等比数列an中,a1=1,a3+a5=6,则a5+a7=()a12b10c122d62【解答】解:,a1=1,a3+a5=6,a3+a5=q2+q4=6,得q4+q26=0,即(q22)(q2+3)=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选:a5在等比数列an中,a1=1,a5=4,则a3=()a2b2c±2d2【解答】解:在等比数列中,由a5=4得a5=q4=4,得q2=2,则a3=q2=2,故选:a6已知等比数列an的首项为1,公比q1,且a5+a4=3(a3+a2),则9a1a2a3a9=()a9b9c
5、81d81【解答】解:等比数列an的首项为1,公比q1,且a5+a4=3(a3+a2),a2q3+a2q2=3(a2q+a2),化为:q2=3由等比数列的性质可得:a1a2a9=q1+2+8=q8×(8+1)2=q4×9则9a1a2a3a9=9q4×9=q4=9故选:b7已知等比数列an的前n项和为sn,且9s3=s6,a2=1,则a1=()a12b22c2d2【解答】解:设等比数列an的公比为q1,9s3=s6,a2=1,9a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1-q,a1q=1则q=2,a1=12故选:a8已知各项均为正数的等比数列an中,a1=1,a3=4
6、,则此数列的前n项和等于()a2n+1b2n1c13(4n1)d13(4n+1)【解答】解:设等比数列an的公比为q0a1=1,a3=4,则4=q2,解得q=2此数列的前n项和=2n-12-1=2n1故选:b9等比数列an共有奇数项,所有奇数项和s奇=255,所有偶数项和s偶=126,末项是192,则首项a1=()a1b2c3d4【解答】解:设等比数列有2n+1项,则奇数项有n+1项,偶数项有n项,设公比为q,得到奇数项为奇数项为a1(1+q2+q4+q2n)=255,偶数项为a1(q+q3+q5+q2n1)=126,所以qa1(1+q2+q4+q2n)=255q,即a1(q+q3+q5+q2
7、n1)+qa2n+1=255q,可得:126+192q=255q,解得q=2所以所有奇数项和s奇=255,末项是192,a2n+1(1-(14)n+1)1-14=192(1-(14)n+1)1-14=255,即:(14)n+1=1256解得n=3是共有7项,a7=a1(12)6,解得a1=3故选:c10abc,若sina,cosb2,sinc成等比数列,则abc的形状为()a直角三角形b等腰直角三角形c等边三角形d等腰三角形【解答】解:sina,cosb2,sinc成等比数列,cos2b2=sinasinc,12(1+cosb)=-12cos(a+c)cos(ac),1+cosb=cosbco
8、s(ac),化为:cos(ac)=1,又a,c(0,),a=c,可得a=c则abc的形状为等腰三角形故选:d11设数列an的前项和为sn,如果a1=1,an+1=2an(nn*),那么s1,s2,s3,s4中最小的是()as1bs2cs3ds4【解答】解:an的前n项和为sn,如果a1=1,an+1=2an(nn*),则数列an为首项为1,公比为2的等比数列,则s1=a1=1;s2=12=1;s3=12+4=3;s4=12+48=5则其中最小值为s4故选:d12递增的等比数列an的每一项都是正数,设其前n项的和为sn,若a2+a4=30,a1a5=81,则s6=()a121b364c364d1
9、21【解答】解:设每一项都是正数的递增的等比数列an的公比为q1,a2+a4=30,a1a5=81=a2a4,联立解得a4=27,a2=33q2=27,解得q=3a1×3=3,解得a1=1则s6=36-13-1=364故选:c13设等比数列an的前n项和为sn,若s6s3=4,则s9s6=()a3b134c154d4【解答】解:由等比数列an的性质可得:s3,s6s3,s9s6成等比数列,(s6-s3)2=s3(s9s6),s6s3=4,s3=14s6(34s6)2=14s6(s9s6),解得s9=134s6即s9s6=134故选:b14已知公差不为0的等差数列an与等比数列bn,a
10、1=2,bn=a2n,则bn的前5项的和为()a142b124c128d144【解答】解:b1=a2=2+d,b2=a4=2+3d,b3=a8=2+7d,则(2+3d)2=(2+d)(2+7d),d0,解得d=2b1=4,b2=8,公比q=2bn的前5项的和=4×(25-1)2-1=124故选:b二填空题(共3小题)15已知数列an为等比数列,若a1+a3=5,a2+a4=10,则公比q=2【解答】解:设等比数列an的公比为q,由a2+a4=10,可得a1q+a3q=10,即q(a1+a3)=10,又a1+a3=5,所以5q=10解得q=2故答案为216已知数列an的各项均为整数,a
11、8=2,a13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a15=16【解答】解:数列an的各项均为整数,a8=2,a13=4,前12项依次成等差数列,设由前12项构成的等差数列的公差为d,从第11项起构成的等比数列的公比为q,由a13=a122a11=(-2+4d)2-2+3d=4,由数列an的各项均为整数,解得d=1,a11=2+3×1=1,a12=1+1=2,q=a12a11=2,a15=a11q4=1×24=16故答案为:1617设an是由正数组成的等比数列,且a4a7+a5a6=18,log3a1+log3a2+log3a10的值是10【解答】解:
12、在等比数列中,a4a7+a5a6=18,a4a7=a5a6=a1a10,即2a1a10=18,则a1a10=9,则log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2+a10)=log3(a1a10)5=5log39=5×2=10,故答案为:10;三解答题(共4小题)18已知等比数列an,a1=2,a4=16(1)求数列an的通项公式(2)求s10的值【解答】解:(1)由题意,an是等比数列an,设公比为q,a1=2,a4=16,即a4=a1q3=16,解得:q=2,通项公式an=a1qn1=2n(2)根据等比数列的前n项和sn=a1(1-qn)1-q则s10=2(1-21
13、0)1-2=211-2=204619(1)等差数列an中,已知a1=13,a2+a5=4,an=33,试求n的值;(2)在等比数列an中,a5=162,公比q=3,前n项和sn=242,求首项a1和项数n【解答】解:(1)因为a2+a5=(a1+d)+(a1+4d)=2a1+5d=4,解得a1=13所以d=23,an=a1+(n-1)d=23n-13由an=33得:23n-13=33,解得n=50(2)因为a5=162,公比q=3所以由a5=a1q4得:162=a134,解得a1=2所以sn=a1(1-qn)1-q=3n-1因为sn=242,所以由sn=3(3n-1)=242,得:sn=3n-
14、1=242解得n=520已知等比数列an的前n项和为sn,且a3=32,s3=92(1)若a3,m,s3成等比数列,求m值;(2)求a1的值【解答】解:(1)a3,m,s3成等比数列,m2=a3s3,又a3=32,s3=92,m2=274m=±332;(2)设等比数列an的公比为q,当q=1时,a1=a2=a3=32,此时s3=92,满足题意; 当q1时,依题意得&a1q2=32&a1(1-q3)1-q=92,解得&a1=6&q=12,综上可得a1=32或a1=621若数列an的前n项和为sn,a1=1,sn+an=2n(nn*)(1)证明:数列an2为等比数列;(2)求数列sn的前n项和tn【解答】解:(1)sn+an=2n,sn1+an1=2(n1
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