2022届高三数学一轮复习（原卷版）第7节 对数与对数函数 教案

1、1 第七节第七节 对数与对数函数对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数 1对数的概念 如果 axn(a0 且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作 xlogan，其中 a 叫做对数的底数，n 叫做真数 2对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对

2、数的性质： alogann；logaabb(a0，且 a1) (2)换底公式： logablogcblogca(a，c 均大于 0 且不等于 1，b0) (3)对数的运算性质： 如果 a0，且 a1，m0，n0，那么： loga(m n)logamlogan； logamnlogamlogan； logamnnlogam(nr) 3对数函数的定义、图象与性质 定义 函数 ylogax(a0 且 a1)叫做对数函数 2 图象 a1 0a1 性质 定义域：(0，) 值域：r 当 x1 时，y0，即过定点(1，0) 当 0 x1 时，y0； 当 x1 时，y0 当 0 x1 时，y0； 当 x1 时

3、，y0 在(0，)上为增函数 在(0，)上为减函数 4.反函数 指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称 常用结论 1换底公式的两个重要结论 (1)loga b1logb a；(2)logambnnmloga b 其中 a0 且 a1，b0 且 b1，m，nr，m0. 2对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大 一、思考辨析(正确的打“” ，错误的打“”) (1)函数 ylog2(x1)是对数函数

4、( ) (2)log2x22log2x.( ) (3)函数 yln1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) (4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1 ，函数图象不在第二、三象限( ) 3 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1(log29) (log34)( ) a14 b12 c2 d4 d (log29) (log34)lg 9lg 2lg 4lg 32lg 3lg 22lg 2lg 34.故选 d. 2已知 a213，blog213，clog1213，则( ) aabc bacb ccba dcab

5、d 因为 0a1，b0，clog1213log2 31.所以 cab.故选 d. 3函数 ylog23（2x1）的定义域是_ (12，1 由 log23(2x1)0，得 02x11. 12x1. 函数 ylog23（2x1）的定义域是(12，1 4函数 yloga(4x)1(a0，且 a1)的图象恒过点_ (3，1) 当 4x1 即 x3 时，yloga111. 所以函数的图象恒过点(3，1) 考点 1 对数式的化简与求值 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并 (2)合：将对数式化为同底数对数的和

6、、差、倍数运算，然后逆用对数的运4 算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 1.设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于( ) a. 10 b10 c20 d100 a 由已知，得 alog2m，blog5m， 则1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102. 解得 m 10. 2计算：(lg 14lg 25) 10012_ 20 原式(lg 22lg 52)10012lg(12252)10lg 1021021020. 3计算：（1log63）2log62log618log64_ 1 原式12log63（log63）2log663log6（63）log64 12l

7、og63（log63）21（log63）2log64 2（1log63）2log62log66log63log62log62log621. 4已知 log23a，3b7，则 log372 21的值为_ 2aab2aab 由题意 3b7，所以 log3 7b. 所 以log37 221 log63 84 log284log263log2（2237）log2（327）2log23log23log372log23log23log372aab2aab. 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形 考点 2 对数函数的图象及应用

8、 对数函数图象的识别及应用方法 5 (1)在识别函数图象时， 要善于利用已知函数的性质、 函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 (1)(2019 浙江高考)在同一直角坐标系中， 函数 y1ax， yloga(x12)(a0，且 a1)的图象可能是( ) a b c d (2)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是( ) a(0，22) b(22，1) c(1， 2) d( 2，2) (1)d (2)b (1)对于函数 yloga(x12)，当 y0 时，有 x1

9、21，得 x12，即 yloga(x12)的图象恒过定点(12，0)，排除选项 a、c；函数 y1ax与 yloga(x12)在各自定义域上单调性相反，排除选项 b，故选 d. (2)构造函数 f(x)4x和 g(x)logax，当 a1 时不满足条件， 当 0a1 时， 画出两个函数在(0，12上的图象， 可知 f(12)g(12)，即 2loga12，则 a22，所以 a 的取值范围为(22，1) 母题探究 6 1(变条件)若本例(2)变为：若不等式 x2logax0 对 x(0，12)恒成立，求实数 a 的取值范围 解 由 x2logax0 得 x2logax，设 f1(x)x2，f2(

10、x)logax，要使 x(0，12)时，不等式 x2logax 恒成立，只需 f1(x)x2在(0，12)上的图象在 f2(x)logax图象的下方即可当 a1 时，显然不成立； 当 0a1 时，如图所示 要使 x2logax 在 x(0，12)上恒成立，需 f1(12)f2(12)，所以有(12)2loga12，解得 a116，所以116a1. 即实数 a 的取值范围是116，1) 2(变条件)若本例(2)变为：当 0 x14时， xlogax，求实数 a 的取值范围 解 若 xlogax 在 x(0，14成立，则 0a1，且 y x的图象在 ylogax 图象的下方，如图所示， 由图象知1

11、4loga14， 所以0a1，a1214， 解得116a1. 即实数 a 的取值范围是(116，1) 1.(2019 合肥模拟)函数 yln(2|x|)的大致图象为( ) 7 a b c d a 令 f(x)ln(2|x|)，易知函数 f(x)的定义域为x|2x2，且 f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除选项 c，d. 当 x32时，f(32)ln 120，排除选项 b，故选 a. 2已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) aa1，c1 ba1，0c1 c0a1，c1 d0a1，0c1

12、d 由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知 0a1， 0c1. 3设方程 10 x|lg(x)|的两个根分别为 x1，x2，则( ) ax1x20 bx1x20 cx1x21 d0 x1x21 d 作出 y10 x与 y|lg(x)|的大致图象，如图 显然 x10，x20. 不妨令 x1x2，则 x11x20， 所以 10 x1lg(x1)，10 x2lg(x2)， 此时 10 x110 x2，即 lg(x1)lg(x2)， 由此得 lg(x1x2)0，所以 0 x1x21，故选 d. 考点 3 对数函数的性质及应用 8 解与对数函数有关的函数性质问题的 3 个关注点 (1)定义域，所有

13、问题都必须在定义域内讨论 (2)底数与 1 的大小关系 (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的 比较大小 (1)(2019 天津高考)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为( ) aacb babc cbca dcab (2)已知 alog2e，bln 2，clog1213，则 a，b，c 的大小关系为( ) aabc bbac ccba dcab (1)a (2)d (1)因为 alog52log5512，blog0.50.2log0.50.51，c0.50.2121512，0.50.21，所以 acb，故选 a. (2)因为

14、 alog2e1，bln 2(0，1)，clog1213log23log2e1，所以 cab，故选 d. 对数值大小比较的主要方法 (1)化同底数后利用函数的单调性 (2)化同真数后利用图象比较 (3)借用中间量(0 或 1 等)进行估值比较 解简单对数不等式 (1)若 loga341(a0 且 a1)，则实数 a 的取值范围是_ (2)若 loga(a21)loga2a0，则 a 的取值范围是_ (1)(0，34)(1，) (2)(12，1) (1)当 0a1 时，loga34logaa1，0a34； 9 当 a1 时，loga34logaa1，a1. 实数 a 的取值范围是(0，34)(1

15、，) (2)由题意得 a0 且 a1，故必有 a212a， 又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1， 同时 2a1，所以 a12.综上，a(12，1) 对于形如 logaf(x)b 的不等式， 一般转化为 logaf(x)logaab， 再根据底数的范围转化为f(x)ab或0f(x)ab.而对于形如logaf(x)logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解 和对数函数有关的复合函数 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 已知函数 f(x)loga(3ax) (1)当 x0，2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函

16、数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解 (1)因为 a0 且 a1，设 t(x)3ax， 则 t(x)3ax 为减函数， x0，2时，t(x)的最小值为 32a， 当 x0，2时，f(x)恒有意义，即 x0，2时，3ax0 恒成立 所以 32a0.所以 a32. 又 a0 且 a1，所以 a(0，1)(1，32) (2)t(x)3ax，因为 a0， 所以函数 t(x)为减函数 因为 f(x)在区间1，2上为减函数， 所以 ylogat 为增函数， 10 所以 a1，当 x1，2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为

17、f(1)loga(3a)， 所以32a0，loga（3a）1，即a32，a32. 故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1. 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用 1.已知函数 f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)单调递减，则 a 的取值范围为( ) a(，4 b4，) c4，4 d(4，4 d 令 g(x)x2ax3a， 因为 f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)单调递减， 所以函数 g(x)在区间2，)内单调递增，且恒大于 0，所以12a2 且 g