人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：函数的定义及表示

1、函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合是一个非空数集，对中的任意的数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数记作，其中叫做自变量自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系4.求函数定义域注意

2、事项1）分式的分母不应为零；2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零；4）对数式的真数大于零；5）的定义域为；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数6.复合函数定义：若，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式二、映射定义：设是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对中的任意一个元素在中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合到集合的映射，这时称是在映射的作用下的象，记作，于是称为的原象，映射也可记为：

3、其中叫做映射的定义域（函数定义域的推广）由所有象构成的集合叫做映射的值域通常记作映射三要素：集合以及对应法则，三者缺一不可；，集合中每一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，从到的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许中有多余元素3、 函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由

4、参数时可以采用分离常数法5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令6.判别式法：在函数定义域为时，把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论注意：主要适用于定义在r上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行

5、讨论7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域经典例题一选择题（共12小题）1下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）abcd【解答】解：b中，当x0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，a，c，d满足函数的定义，故选：b2已知集合p=x|0x4，集合n=y|0y2，下列从p到n的各对应关系f不是函数的是（）af：xy=12xbf：xy=13xcf：xy=23xdf：xy=

6、x【解答】解：f：xy=12x，是函数，f：xy=13x，是函数，f：xy=23x，不是函数，423×4=83n；f：xy=x，是函数，故选：c3下列各式中，表示y是x的函数的有（）y=x（x3）；y=x-2+1-x；y=&x-1(x0)&x+1(x0)y=&0(x为有理数)&1(x为实数).a4个b3个c2个d1个【解答】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故表示y是x的函数；在中由&x-20&1-x0知x，因为函数定义域不能是空集，所以不表示y是x的函数；在中若x=0，则对应的

7、y的值不唯一，可以等于0，也可以等于1，所以不表示y是x的函数故选：c4下列四组函数中，表示同一函数的是（）ay=x与y=x2by=2lgx与y=lgx2cy=3x3与y=xdy=x1与y=x2-1x+1【解答】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域，观察四个选项，得到a答案中两个函数的对应法则不同，b选项中两个函数的定义域不同，c选项中两个函数相同，d选项中两个函数的定义域不同，故选：c5下列四组函数中，表示同一函数的是（）af（x）=|x|，g（x）=x2bf（x）=lg x2，g（x）=2lg xcf（x）=x2-1x-1，g（x）=x+1df（x）=x+1x-1

8、，g（x）=x2-1【解答】解：对于a，g（x）=x2=|x|，f（x）=|x|，两函数为同一函数；对于b，函数f（x）的定义域为x|x0，而函数g（x）的定义域为x|x0，两函数定义域不同，两函数为不同函数；对于c，函数f（x）的定义域为x|x1，而函数g（x）的定义域为r，两函数定义域不同，两函数为不同函数；对于d，函数f（x）的定义域为x|x1，而函数g（x）的定义域为x|x1或x1，两函数定义域不同，两函数为不同函数故选：a6定义运算a*b，a*b=a(ab)b(ab)，例如1*2=1，则函数y=1*2x的值域为（）a（0，1）b（，1）c1，+）d（0，1【解答】解：当12x时，即x

9、0时，函数y=1*2x=1当12x时，即x0时，函数y=1*2x=2xf（x）=&1，x0&2x，x0由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1故选：d7若函数y=ax2+2ax+3的值域为0，+），则a的取值范围是（）a（3，+）b3，+）c（，03，+）d（，0）3，+）【解答】解：由题意：函数y=ax2+2ax+3是一个复合函数，要使值域为0，+），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0则有：&a0&f(-1)0&a0&a-2a+30解得：a3所以a的取值范围是3，+）故选：b8若f（lnx）=3x+4，则f

10、（x）的表达式是（）a3ex+4b3lnx+4c3lnxd3ex【解答】解：设lnx=t则x=etf（t）=3et+4f（x）=3ex+4故选：a9若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）a1b1c32d32【解答】解：f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，&f(2)+2f(12)=6，&f(12)+2f(2)=32，×2得3f（2）=3，f（2）=1，故选：b10已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）af（x）=3x+2bf（x）=3x+1cf（x）=3x1df（x）=3x+4【解答】解：设t=x+1，函数f

11、（x+1）=3x+2=3（x+1）1函数f（t）=3t1，即函数f（x）=3x1故选：c11已知f（x2）=x24x，那么f（x）=（）ax28x4bx2x4cx2+8xdx24【解答】解：由于f（x2）=x24x=（x24x+4）4=（x2）24，从而f（x）=x24故选：d12已知函数f（x）=33x-1ax2+ax-3的定义域是r，则实数a的取值范围是（）aa13b12a0c12a0da13【解答】解：由a=0或&a0&=a2-4a×(-3)0可得12a0，故选：b二填空题（共7小题）13已知函数y=f（x21）的定义域为（2，2），函数g（x）=f（x1）+f

12、（32x）则函数g（x）的定义域为0，2）【解答】解：由函数y=f（x21）的定义域为（2，2），得：1x213，故函数f（x）的定义域是1，3），故1x13，132x3，解得：0x2，故函数g（x）的定义域是0，2），故答案为：0，2）14设函数f（x）=&log2(-x2)，x-1&-13x2+43x+23，x-1，若f（x）在区间m，4上的值域为1，2，则实数m的取值范围为8，1【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得当m8，1时，f（x）1，2故答案为：8，115已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（xr）的值域为0，+），则a+1c+c+1a的最小值为4

13、【解答】解：由题意知，a，0，=44ac=0，ac=1，c0，则a+1c+c+1a=ac+1c+ca+1a=（ac+ca）+（1a+1c）2+21ac=2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号a+1c+c+1a的最小值为416函数f（x）=x1-x的值域是（，1【解答】解：设1-x=t，则t0，f（t）=1t2t，t0，函数图象的对称轴为t=12，开口向下，在区间0，+）上单调减，f（t）max=f（0）=1，函数f（x）的值域为（，1故答案为：（，117已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是f（x）=3x1【解答】解：令x+1=t，则x=t1，f（t）=3（t1）+2=3t1，f

14、（x）=3x1故答案为f（x）=3x118已知a、b为实数，集合m=ba，1，n=a，0，f：xx表示把m中的元素x映射到集合n中仍为x，则a+b=1【解答】解：a、b为实数，集合m=ba，1，n=a，0，f：xx表示把m中的元素x映射到集合n中仍为x，1通过映射可得1n，解得a=1，baban，可得ba=0，解得b=0，a+b=1，故答案为1；19f(x)=&2ex-1，x2&log3(x2-1)，x2.则f（f（2）的值为2【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（221）=12，故有f（1）=2×e11=2，即f（f（2）=f（1）=2×e11=2，故答案为 2三解答题（共1小题）2