考点55 正态分布-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

1、考点55 正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.一、正态曲线1正态曲线的定义函数，其中实数和(>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(是正态分布的期望，是正态分布的标准差)2正态曲线的特点曲线位于轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，关于直线对称；曲线在处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散二、正态分布1正态分布的定义及表示如果对于任何实数，随机变量x满足(即x=a，x=b

2、，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量x服从正态分布，记作2正态分布的三个常用数据；.【注】若，则.考向一 正态分布关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法：(1)熟记，的值(2)正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上的概率相同(3).(4)若x服从正态分布，即，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.典例1 已知随机变量服从正态分布，若，则a0.6827 b0.8522c0.9544 d0.9772【答案】c【解析】因为随机变量服从正态分布，所以其图象关于直线对称，因为，所以，所以，所以.故选c.【名师点睛】本题考查正态分布，关键是对正态分布曲线的理解与掌握

3、，是基础题.利用正态分布的对称性结合已知求得，然后求解即可.1设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则a bc d2设随机变量服从正态分布，若，则的值为a0.2b0.3c0.4d0.6考向二 正态分布的应用正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率统计结合，在解答题中考查典例2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数x是服从正态分布的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为(参考数据：若，则； ；.)a0.9544 b0.6826c0.9974 d0.9772【答案】d【解析

4、】由于随机变量x服从正态分布，故有=800，=50，则.由正态分布的对称性，可得.典例3 2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：组别(单位：百元）频数31120272613（1）由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价，近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求；（2）在（1）的条件下，该公司为增加销售额，特别为这100家超市制定如下抽奖方案

5、：令m表示“超市3天内进货总价超过的百分点”，其中.若，则该超市获得1次抽奖机会；，则该超市获得2次抽奖机会；，则该超市获得3次抽奖机会；，则该超市获得4次抽奖机会；，则该超市获得5次抽奖机会；，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于的超市没有抽奖机会；每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为.设超市a参加了抽查，且超市a在3天内进货总价百元.记x（单位：元)表示超市a获得的奖金总额，求x的分布列与数学期望.附参考数据与公式：，若，则，.【解析】（1）由题意得，因为，所以，所以，所以.（2）因为，所以，所以超市a获得4次抽奖机会，从而x的可能取值为0，100

6、0，2000，3000，4000，又因为每次抽奖不中的概率为，所以，.所以x的分布列为x01000200030004000p所以，x的数学期望为元.3一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为abcd4在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀. 经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判：；.评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，

7、则被评为不合格试卷. （1）试判断该份试卷被评为哪种等级；（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和数学期望.1随机变量服从正态分布，若，则a3 b4c5 d62在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则abcd3已知随机变量，且，则a b c d4某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为a6b4c94d965已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图所示，则abcd6某工厂生产的零件外直径（

8、单位：cm）服从正态分布n10，0.12，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm和10.31cm，则可认为a上午生产情况异常，下午生产情况正常b上午生产情况正常，下午生产情况异常c上、下午生产情况均正常d上、下午生产情况均异常7某商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布n（10，2），根据检测结果可知p（9.910.1）0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为a10 b20c30 d408设随机变量xn(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方

9、形abcd中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（注：若xn(,2)，则p-<x<+0.6826，p-2<x<+20.9544）a7539b7028c6587d60389我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度不低于的概率为a0.05 b0.1c0.15 d0.2 10一试验田某种作物一株生长果的个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为a3b2.1c0.3d0.2111设

10、随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是a b c d12已知随机变量服从正态分布，即，且，若随机变量，则a0.3413 b0.3174c0.1587 d0.158613若随机变量服从正态分布，则，.设，且，则_.14为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重x(kg)服从正态分布n(,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为_. （附：若随机变量服从正态分布，则，.）15某校高二学生一次数学诊断考试成

11、绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率_（结果用分数表示）附参考数据：；16随机变量服从正态分布，则的最小值为_17在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩x近似服从正态分布n（70，100）已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?附：.18某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统

12、计，发现总体（这1万名小学生普通话测试成绩）服从正态分布.（1）从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率；（2）现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差.参考数据：若，则，.19从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这

13、种产品的质量指标值z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求e（x）附：若，则，20某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得，生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%. （1）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件

14、为优质品的概率；（2）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若，则，.21某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店11月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：x258911y1210887（1）求出与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地11月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地11月份的日最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：回归方程中，.，若，则

15、， .222019年4月，甲、乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩服从正态分布，从甲、乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为，求的数学期望

16、附：若随机变量服从正态分布，则，参考公式与临界值表：，其中0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82823为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；.评判规则为：若同时满足上述三个不

17、等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.（）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；（）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.1(2015年高考湖北卷)设，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是ab c对任意正数，d对任意正数，2（2015年高考山东卷）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（附：若随机变量服从正态分布，则，.）a4.56% b

18、13.59% c27.18% d31.74%3(2015年高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分(曲线c为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为a2 386 b2 718 c3 413 d4 772附：若xn(，2)，则.4(2017年高考新课标卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记x表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件

19、，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量服从正态分布，则，变式拓展1【答案】a【解析】由正态分布

20、n(，2)的性质知，x=为正态分布密度函数图象的对称轴，故1<2；又越小，图象越高瘦，故1<2.故选a.【名师点评】熟练掌握正态密度曲线的性质是解决正态分布问题的关键2【答案】b【解析】随机变量服从正态分布，所以，则.故选b.3【答案】b【解析】由题意，得，又，所以，故选b4【解析】（1）， ，因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷. （2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以的取值可能为0，1，2，3，；. 所以随机变量的分布列为：0123故.考点冲关1【答案】b【解析】，即，.故选b.【名师点睛】本题主要考查正态分

21、布与正态曲线的性质，直接根据正态曲线的对称性求解即可，属于中档题.正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;（3）正态分布区间上的概率，关于对称，.2【答案】b【解析】由正态分布的图象和性质得故选b【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力3【答案】b【解析】由正态分布的对称性知，故本题选b.4【答案】b【解析】由题意，知，可得，又由对称轴为，可得，所以成绩低于分的样本个数大约为个故选b5【答案】d【解析】正态分

22、布密度曲线关于直线对称，且在处取得峰值，由图得， ，故.故选d.6【答案】b【解析】因为零件外直径xn(10,0.12)，所以根据3原则，在10-3×0.1=9.7(cm)与10+3×0.1=10.3(cm)之外时为异常，因为上、下午生产的零件中随机取出一个，9.7<9.82<10.3，10.31>10.3，所以下午生产的产品异常，上午的正常，故选b7【答案】b【解析】大米质量服从正态分布n（10，2），大米质量关于直线x=10对称，p（9.910.1）=0.96，p（9.9）=0.02，公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大

23、约为0.02×1000=20故答案为b【名师点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于直线x=10对称，利用对称写出要用的频数，题目得解根据大米质量服从正态分布n（10，2），得到大米质量关于直线x=10对称，根据p（9.910.1）=0.96，得到p（9.9）=0.02，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数8【答案】c【解析】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为s=1，又由随机变量服从正态分布xn1,1，所以正态分布密度曲线关于x=1对称，且=1，又由p-<x<+0.6826，即p0&

24、lt;x<20.6826，所以阴影部分的面积为s1=1-0.68262=0.6587，由面积比的几何概型可得概率为p=s1s=0.6587，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587=6587，故选c.9【答案】c【解析】由题意可得，=100，且p（80120）=0.7，则p（80或120）=1p（80120）=10.7=0.3p（120）=p（80或120）=0.15，则他速度不低于120的概率为0.15故选c【名师点睛】根据正态分布的定义，可以求出p（80或120）的概率，除以2得答案关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记p(<x)，p(2&l

25、t;x2)，p(3<x3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.10【答案】b【解析】，且，则的方差为故选b11【答案】c【解析】由无相异实根得，因此函数没有极值点的概率是.故选c.12【答案】c【解析】由题设知，由正态分布曲线的对称性可得.故选c.【名师点睛】本题主要考查了正态分布的性质，解题的关键是掌握正态分布的对称性，属于基础题.利用正态分布的对称性，结合题意即可求得结果.13【答案】 【解析】，即，故答案为.14【答案】683【解析】由题意，p（58.5x62.5）=0.683，在这1000名男生中不属于正常情况的人数约是1000×0.683683，故

26、答案为683【名师点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题由题意，p（58.5x62.5）=0.683，即可得出在这1000名男生中属于正常情况的人数15【答案】【解析】由题意可知，事件为，由条件概率的公式得，故答案为.16【答案】【解析】随机变量服从正态分布，由，得，又，且，则当且仅当，即，时等号成立的最小值为故答案为17【解析】由题知参赛学生的成绩为x，因为，所以，则，（人）因此，此次参赛学生的总数约为696人（2）由，（人）因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人【思路分析】（1）由题意首先确定正态分布中的值，然后结合正态分布的性质求解参赛

27、人数即可；（2）利用（1）的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数18【解析】（1）因为学生的普通话测试成绩服从正态分布，所以，所以. （2）因为总体平均分为，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以的可能取值为0，1，2，3，则， ， 所以， 则.19【解析】（1）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为， .（2）（i）由（1）知，从而.(ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.【方法点晴】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差、正态分布的应用，其中解答涉及离散型随机变量的期望与方差的公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点

28、的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，解答中正确、准确的计算是解得问题的关键. （1）利用离散型随机变量的期望和方差的公式，即可求解样本平均数和样本方差；（2）（i）由（1）知，从而求出，注意运用所给数据；（ii）由（i）知，运用即可求得.20【解析】（1）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为， 则，.（2）记这种产品的质量指标为，由题意知，则，有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.21【解析】（1），（或者：），所求的回归方程是.（2）由知与之间是负相关， 将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克).（或者：千克）

29、（3）由（1）知，又由，得，从而 【名师点睛】（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值（2）关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.22【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为，乙校学生数学成绩的中位数为，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高 （2）由题意，列联表如下：甲校乙校合计数学成绩优秀10717数学成绩不优秀101323合计202040计算得的观测值，所以没有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关 （3）因为，所以，所以，所以，由题意可知，所以23【解析】（1）由题意知：，所以由图表知道：，所以该设备的性能为丙级别