(完整)高中数学圆锥曲线试题(含答案),推荐文档

1、圆锥曲线1. （2014大纲全国,9,5分） 已知双曲线C的离心率为2,焦点为Fi、 F2,点A在C上.若|FIA|=2|F2A|,则 cos/AF2FI=（）112/2 ViAB.C. D.答案1.A帖八卜局At 2氐解析1.由题意得1恥|-2匹A|,解得|F2A|=2a,|FiA|=4a,又由已知可得=2,所以 c=2a,即 |F1F2|=4a,问耳兀卜再刖 肋2 4|6/13 1 cos/ AF2F1=1心 Z=.故选 A.答案2.A解析2.由题意及椭圆的定义知c上754a=4 *,则 a=、,又= 、= , c=1, b2=2, C 的方2 （2014 大纲全国,6,5 分）已知椭圆

2、C:+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若 AF1B 的周长为 XVA.+ =1B.：+y2=1C.+ 一 =1T-了x y程为+=1,选A.x2b3. （2014 重庆,8,5 分）设 F1、F2分别为双曲线：-=1（a0,b0）的左、右焦点，双曲线上存在9一点 P 使得|PFi|+|PF2|=3b,|PFi| |PF2|= * ab,则该双曲线的离心率为（）459A. B.C. D.3答案3.B3.设 |PF1|=m ,|PF2|=n,依题意不妨设 mn0, ftt-n =2臥9I/I十n? m=3 n455 a=n,b= n?

3、 c= n, e=,选 B.广yxjr4. (2014 广东,4,5 分)若实数 k 满足 0k9,则曲线-=1 与曲线=1 的()答案4.A解析4.T0k0,25-k0.y:-=1 与-=1 均表示双曲线，又 25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它们的焦距相等故选 A.JX解析A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等.15. (2014 福建,9,5 分)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆+y2=1 上的点，则 P,Q 两点间的最大距离是（ ）答案5.D解析5.设 Q（ cos0,sin 圆心为 M,由已知得 M（0,6）,则|MQ|= 卜亿出&

4、amp;肉!算：汀=.儿恥为 ri：i 选気3sinfl=-时収等弓32Ix y TT6.（2014 山东,10,5 分）已知 ab0,椭圆 C1的方程为+=1,双曲线 C2的方程为C.x y=0D.2x =0答案6.AA.5 D.6、 、故 |PQ|max=5 逅+近=6 运. -：=1,C1与 C2的离心率之积为，则 C2的渐近线方程为（A.xy=0B.x y=0答案7.Ab解析7.由题意得=2 且 c=5故由 c2=a2+b2，得 25=a2+4a2,则 a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 护/-=1.8.（2014 山东青岛高三第一次模拟考试，10）如图，从点：发出的光线，沿平行于

5、抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点；，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点-，再经抛物线反射后射向直线= - -上的点,经直线 反射后又回到点，则等于（）A.B.uC.D.：答案8. B解析8.由题意可得抛物线的轴为 轴，：，所以所在的直线方程为解析 6.设椭圆 Ci和eie2= ,所以 = ,即=-,ei禾口 e2,贝 U ei=1：,e2=ft 至=.因为b 运故双曲线的渐近线方程为y=r x= x,即 xy=0.* y_7.（2014 天津,5,5 分）已知双曲线：一 =1（a0,b0）的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 I 上,则双曲线的方程为（f

6、22A. -=1” /B. -=1C. -=13/ 3护D.而一石=1在抛物线方程| 一中，令:y 可得，二，即1从而可得因为经抛物线反射后射向直线 :-:，上的点 ，经直线反射后又回到点 ，所以直线的方程为；1，线上的是()答案9. DIXV10. (2014 江西,15,5 分)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 CL +=1(ab0)相交于A,B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_答案10. K解析10.设 A(X1,y1),B(X2,y2),则厂 +=1 ,4+，=1.9.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测,4)下列双曲线中，有一个焦点在抛物线解析

7、9.因为抛物线(，牙)的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线5/-20J3= 1的焦点在轴且为满足条件.故选 D.b- K十 f、两式相减并整理得=-.1力2把已知条件代入上式得，二=-： X：,匚1J14乞= ,故椭圆的离心率 e=、=-11. (2014 湖南,15,5 分)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点，则=_ .答案11.1+ If解析11.|OD|=，|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b, |-al故 cd 丿,F1 丿，IJ= firI即p= p+2bp,又二1,b二=1+ 逅.y_12.(2014

8、安徽,14,5 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+=1(0b0)经过 C、F 两点,又抛物线从而有b-2 -1=0,解析12.不妨设点 A 在第一象限，:AF2丄 x 轴, A(c,b2)(其中 c2=1-b2,0b0).2 1x y13.(2014 浙江,16,4 分)设直线x-3y+m=0(mz0 与双曲线：=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是75答案13.-P., I、bF = X解析戸3由二rtf3A卡农3 +门5甲吟止邛hm3材m2J则线段 AB 的中点为 M由题意得 PM _L AB, kpM=-3,

9、得 a2=4b2=4c2-4a2,故 e2=14. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12)抛物线 +12y=0 的准线方程是答案14. y=3解析14.抛物线的标准方程为：.，由此可以判断焦点在 y 轴上，且开口向下,且 p=6，所以其准线方程为 y=3.15. (2014 大纲全国,21,12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为L.-U=3_25c2，代入 x2+=1 得：bA+.=1,又得 Bl，e又|AFI|=3|FIB|,.由P 与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|.(I)求 C 的方程；(n)过 F 的直线

10、l 与 C 相交于 A、B 两点若 AB 的垂直平分线 I与 C 相交于 M、N 两点，且 A、 M、B、N 四点在同一圆上，求 I 的方程.答案15.查看解析解析15.(I)设 Q(xo,4),代入 y2=2px 得 xo=.1P 1所以 |PQ|= ,|QF|= +xo=+. I i 1由题设得+= X/，解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以 C 的方程为 y2=4x.(5 分)(n)依题意知 I 与坐标轴不垂直，故可设 I 的方程为 x=my+1(m丰0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.又 I的

11、斜率为-m,所以 I的方程为 x=-川 y+2m2+3.将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+y-4(2m2+3)=0.4_设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).厂吕+2甘+芥斗J1 + -L伽十I “2 +1故 MN 的中点为 E州丿，|MN|=V M |y3-y4|=旳.(10 分)丄由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=-：|MN|,从而!|AB|2+|DE|2=!|MN|2,故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).化简得 m2-i=o,

12、解得 m=1 或 m=-1.所求直线 l 的方程为 x_y_1=0 或 x+y-1=0.(12 分)16. (2014 四川,20,13 分)已知椭圆 C:：+=1(ab0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(I)求椭圆 C 的标准方程；(n)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.(i) 证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点);凹(ii) 当卜最小时，求点 T 的坐标.答案16.查看解析J-解得 a2=6,b2=2,所以椭圆 C 的标准方程是 +=1.(n)(i)由(I)可得,F

13、的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m).m-0则直线 TF 的斜率 kTF= ：- =-m.当 m0 时,直线 PQ 的斜率 kpQ= “ ,直线 PQ 的方程是 x=my-2.即 4(m2+i)2+解析16.(I)由已知可得+当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式.设 P(X1,y1),Q(X2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立 得4- L 6 2消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0.其判别式 =16m?+8(m2+3)0.4册-2所以 yi+y2=吋 十，yiy2=，,二】2xi+x2=m(yi+y2)-4= ”

14、r-6迥J所以 PQ 的中点 M 的坐标为 I卡3抻厂+3/ .ft!所以直线 OM 的斜率 kM=-,fM又直线 0T 的斜率 koT=-，所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=1,|PQ|=m IM2所以T=-=4凹当且仅当 m2+仁：1，即 m=1 时，等号成立，此时丫取得最小值.凹所以当最小时，T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).F /7517. (2014 广东,20,14 分)已知椭圆 Cb0)的一个焦点为(厂,0),离心率为 ；(1)求椭圆 C 的标准方程若动点 P(xo,yo)为椭圆 C 外一点 且点 P 到椭圆 C

15、的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程答案17.查看解析逅解析17.(1)由题意知 c= ,e= = a=3,b2=a2-c2=4,2Ix y故椭圆 C 的标准方程为+；=1.(2)设两切线为|1,|2,当 h 丄 X 轴或 11 X 轴时,12 X轴或 12丄 X 轴，可知 P( , ).当 11与 X 轴不垂直且不平行时-+ : =1 联立,整理得(9k2+4)x2+18(yo-kxo)kx+9(yo-kxo)2-36=O,直线 l1与椭圆相切，. =0 即 9(yo-kxo)2k2-(9k2+4) (yo-kxo)2-4=O,( -9)k2-2x0y0k+-4=0, k 是方程(-9)

16、x2-2x0y0 x+-4=0 的一个根，23同理，-是方程(-9)x2-2x0y0X+-4=0 的另一个根.k * 丿=S ,整理得-殆 + Jo =13,其中 X0工土 3,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13(x 工土 3).检验 P(出，)满足上式.,xo工土设,|1的斜率为 k,且 k丰则 l2的斜率为-,l1的方程为y-yo=k(x-x0),综上，点 P 的轨迹方程为 X2+y2=13.2X18. (2014 江西,20,13 分)如图，已知双曲线 C:：-y2=1(a0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF 丄 x 轴,AB 丄 OB,BF / OA(O

17、 为坐标原点).(1)求双曲线 C 的方程；过 C 上一点 P(x0,y0)(y0M0 的直线 I:-y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于答案18.查看解析点 N.恒为定值,并求此定值解析18.(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c=- 因为 P(xo,yo)是 C 上一点，则 -=1,代入上式得1W 4(巩尊4|A/F|227?所求定值为屏扩丨=.=.19. (2014 陕西,2017,13 分)如图，曲线 C 由上半椭圆CL+=1(ab0,y和部分抛物线C2：y=-x2+1(y 0).易知，直线 I 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y=k(x- 1)(

18、k丰0),代入 Ci的方程，整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xp,yp), 直线 I 过点 B, x=1是方程(*)的一个根.由求根公式，得 Xp= I，从而 yp=点 P 的坐标为 I丿.得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k).2ALPL4IU-i, =“ w-/ AP 丄 AQ, ， 匚=0,即 I k-4(k+2)=0,8/ kzk-4(k+2)=0,解得 k=-.经检验,k=-1符合题意, 故直线 I 的方程为 y=-；(x-1).解法二：若设直线 I 的方程为 x=my+1(金 0),比照解法一给分.x y20.(2014 江苏,17

19、,14分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中尸、F2分别是椭圆：+=1(ab0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0,b),连结 BF2并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连结 FiC.答案20.查看解析解析20.设椭圆的焦距为 2c,则F1(-C,0),F2(C,0).(1)因为 B(0,b),所以 BF2= =a.(k,-4),=-k(1,k+2).，且 BF2= ，求椭圆的方程；Bl.求椭圆离心率 e 的值.同理，由(1)若点 C 的坐标为21.（2014 辽宁,20,12 分）圆 x2+y2=4 的切线与 x轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角

20、 形面积最小时，切点为 P（如图）,双曲线CL-=1 过点 P 且离心率为.（I）求 C1的方程;因为 B（0,b）,F2（c,0）在直线 AB因为直线 FiC 的斜率为2O,yoO),则切线斜率为-，切线方程为：y-yo=-(x-xo),即 Xox+yoy=4,此时俩个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=-=一心：.由+ =42xiyo知当且仅当 xo=yo=时 xoyo有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 的坐标为(逅，岛22 ,由题意知 3 土 X 二站，解得 aM,b2=2,故 Ci的方程为 x2-=1.22XV(n)由(I)知 C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设 C

21、2的方程为+=1,其中 bio.2由 Pp )在 C2上，得+ =1,22 XV解得 =3,因此 C2的方程为+ =1.显然,1 不是直线 y=0.设 I 的方程为 x=my+ 五2币m得(m2+2)y2+2 my-3=0,又 y1,y2是方程的根LRMtjrffritf因 =r、1)，；=( -X2,、-y2).LU Ml MW由题意知 =0,，点 A(x1,y1),B(X2,y2),由X=jrii +VJ*fyiH-= LL63因此=亦畑+(”十必)+$二由汽哥卄呃如 my2+祠得将，代入式整理得所以 X1X2-(X1+X2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.2m2-2m+4 -1 仁

22、0,3亦VS解得 m= -1 或 m=-+1.因此直线 I 的方程为2x-y_；=0 或 x+y- =0.22.(2012 太原高三月考，20,12 分)已知曲线 C:x2+k=1.(I)由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线，垂足为 F,动点 P 满足:F=3，求 P 点的轨迹方程 拼 讨论其轨迹的类型；(n)如果直线 I 的斜率为 LE,且过点 M(0,-2),直线 I 与曲线 C 交于 A、B 两点，又 1=-,求曲线 C 的方程.答案22.(I)设 E(x0,y0),P(x,y),则 F(x,0),.汨=3 ,/ (x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),=2 1/代入曲线 C

23、中得 x2+B=1 为所求的 P 点的轨迹方程.(2 分)1当入=时,P 点轨迹表示：以(0,0)为圆心，半径 r=1 的圆;(3 分)42当 0入时,P 点轨迹表示 冲心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆;(4 分)43当入时,P 点轨迹表示：中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆;(5 分)4当入0 时,P 点轨迹表示：中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线.(6 分)(n)由题设知直线 l 的方程为 y 二已 x-2,代入曲线 C 中得(入 +2)X4i 丁 x+4-入=0,(7 分)令 A(xl,yl),B(x2,y2),以上方程有两解， =324（入+2（4-入）0 且 入+2 工 0,（8 分）入2 或入0 且入吃,又応人 Cn =Xix2+（yi+2）（y2+2）=3x1X2= E =-2 .（10 分）解得入=4,（11 分）I刃曲线 C 的方程是 x2- =1.（12 分）22.X2y223.（2012 山西大学附中高三十月月考， 21, 12 分）设椭圆-1的离心率：- _，右焦点到直线.I 的距离.|为坐标原点2a b7（I）求椭圆的方程；（II ）过点 作两条互相垂直的射线，与椭圆 c 分别交于！？两点，证明：点丿到直线. 的距离为定值，并求弦长度的最小值.答案23.（1）由题意得，-，由题意得椭圆的右焦点；