2018年高考数学理科试卷

1、2018 年高考试卷数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）,第n卷第 21 题为选考题，其他题为必 考题.本试卷共 5 页.满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答, 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸、试题卷上答题无效.3 选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4 做选考题时、考生按照题目要求作答题号涂

2、黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、 不破损 参考公式：样本数据 冷龙，,xn的标准差1-2 22s片；&1x） （X2x）（Xnx）其中x为样本平均数；柱体体积公式V Sh其中 S 为底面面积，h 为高，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 锥体体积公式1V Sh3其中 S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式S4 R1 2,V3R43其中 R 为球的半径1 设 a R，若（a i）2i （i为虚数单位）为正实数，则aA . 2B. 1C. 0D.12 已知E,F, G ,H是空间四点，命题甲：E,F, G ,H四点不共面，命题乙:A

3、.充分不必要条件B .必要不充分条件直线EF和 GH 不相交，则甲是乙成立的第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题有 10 小题，每小题 5 分，共 50 分每小题都有四个选项中，只有 个选项是符合题目要求的.C .充要条件y cosx与直线x 0, xD .既不充分也不必要条件3.曲线y sinx ,所围成的平面区域的面积为2A .j(s inxcos x) dxB . 2：(sin x cosx)dxC .：(cosxsin x)dxD . 20(cos x sin x)dx4.下列向量中与向量a (2, 3)平行的是A. (-4, 6)B. (4, 6)C.5.函数f(x)

4、xlg(1 x2)是A .奇函数BC .偶函数D(-3,既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数也不是偶函数2)D ( 3, 2)6 .设函数y f(x)在区间(0,)内是减函数，则a f (sin ),b f (sin ),64c f (sin)的大小关系是3A.c b aB .b7.设Sn为等差数列an的前A . 45B . 50c an 项和，且a3C.C .ba755a cD .a b c10，则S9D . 90&统计某校 1000 名学生的数学水平测试成 绩，得到样本频率分布直方图如图所示， 若满分为 100 分，规定不低于 60 分为及 格，则及格率是A . 20%C . 6%B

5、. 25%D. 80%9.将函数y sinx的图像按向量a平移得到的图像对应的一个函数解析式 是A .B .(1,1)si n(x 1)sin (x 1)sin(x 1)sin(x 1)0.0350.0200.0150.0300.0250.0100.005频率组距a2，an是 1, 2，n 的一个排列，把排在 a ai的顺序数(i 1, 2 L , n ).如在排列 6, 4, 5, 3,10 .设数称为3 的顺序数为 0 则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中，同时满足7 的顺序数为 3, 5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为A. 48B. 96C. 144a1，的左边且比 a 小的数

6、的个2, 1 中，5 的顺序数为 1 ,8 的顺序数为 2,D. 192第H卷（非选择题共 100 分）二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11.命题“x R,sinx 1的否定是_ .12已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组（x, y）依次记为（X yj,（X2, y2）,L,（xn, yj丄，则程序运 行结束时输出的最后一个数组为 _ .13. 曲线 y 2x In x 在点（1, 2）处的切线方程是 _.2x y 0,14.若实数x, y满足不等式组x y 3 0,则 3x y 的最小3x y 80,值是r_.15. 定义：我们把阶乘的定义引申， 定义n!

7、 n（n 2）（n 4）,若n为偶数，则乘至 2,反之，则乘至 1,而 0! = 0。我们称 之为双阶乘（Double Factorial）n对夫妇任意地排成一列， 则每 位丈夫都排在他的妻子后面的概率是 _ .（结果用含双阶乘的形式表示）三、解答题（本大题有 6 小题，共 74 分）16. （本题满分 13 分）某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项 目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为7和-;99项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利5

8、0%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为-、1和.5315针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；17. （本题满分 13 分）如图 5,已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC，BAC ACD 90，EAC 60，AB AC AE.（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP/平面EAB?请证明你的结论；（2） 求平面EBD与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.18. （本题满分 13 分）一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一开始“第1第题图121 .19.20.圆弧，AB,DC分别与

9、圆弧BC相切于B,C两点，EF/AB,GH/CD，且 两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M , N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内 壁圆弧相切于点P设CMN (rad)，试用 表示木棒MN的长度f()；(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值.2(本题满分已知椭圆13 分)2C :x2a某个焦点为F.(1)请在2普 1(a b 0)的某个焦点为上补充条件,2y_1 (a,b0)的使得椭圆的方程为x2y21友情提示：不可以补充形如a . 3,b1之类的条件。2(2)命题一：已知抛物线y 2px( p 0)的焦点为 F, n22 pm

10、 0,以 PF 为直径的圆交y轴于 A、B,则直线 题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线y22px(p的圆交y轴于 A、B, PA、PB 与抛物线相切.试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C 和双曲线 G 的类似正确的命题;(3)证明命题一的正确性.(本题满分 14 分)已知函数f (x)(I)当a(n)若函数(川)若存在定点P(m, n)满足PA、PB 与抛物线相切0),定点 P,以 PF 为直径”.命x 2a x x l na(a 0, a1时，求证：函数f (x)在(0, y | f (x) t| 1有三个零点,X1,X2 1,1,使得|f(xj1).)上单调递增； 求t的值；f(X2)

11、| e 1,试求a的取值范围(2)、(3)三个选答题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答,满分 14 分如果多作,本题有(1)、则按所做的前两题计分作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑21 .并将选题号填入括号中(2)(本小题满分 7 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程2、2sin( -).4(I)将直线I的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(n)判断直线I和圆C的位置关系.(3)(本小题满分 7 分)选修 4 一 5:不等式选讲已知函数 f (X) = X- 1 + X- 2 .若不等式 a+ b + a- b a f (x) (a 刮 O,

12、a,b R)恒 成立，求实数x的范围.(1)(本小题满分求矩阵A7 分)选修 4 一 2:矩阵与变换的特征值及对应的特征向量已知直线I的参数方程：X ty 1 2t(t为参数)和圆C的极坐标方程：2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)16.解：若按“项目一”投资，设获利1万元，则1的分布列为理科试题试题参考解答及评分标准说明:一、 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则二、 对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决

13、定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分三、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算.1. B2. A 3. D 4. A5.D6. D 7. A8.D 9. D10. C二、本大题共 4 个小题；每小题 5 分，共 20 分本题主要考查基础知识和基本运算.【15 题解析】（理解一）排列的总数是（2n”.为了计算有利场合的个数， 可以这样考虑首先把 n 个丈 夫进行排列，共有n!种可能然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍，她显然只有1

14、种可能的位置，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍现在她的丈夫之前已有两人，因此她有 3 种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5 种位置可选择，依次下去，最后一位丈夫的妻子有（2n1）个位置可选择.因此有利场合总数是n! 1 3（2n 1） n!（2n 1）!，所以要求的概率是（理解二）对于每个家庭来说， 丈夫排在妻子后面的概率都是1下面只要想办法将歹化简为含有双阶乘形式就可以了。n!(2n 1)!1 3(2n 1) n! 1(2n)! 2n (2n 1)2 12n三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤11.x R,si n

15、x112.(27, 6)13.y x 1014. 715.n!(2n 1)!(2n)!n !(2 n 1)!(2n)!1-,有n对夫妻，因此21概率应该为歹,1300150P7929E13007( 150)2200(万元) .4 分99若按项目二”投资，设获利2万元，则2的分布列为:25003000311P-5315E25003( 300)10 200(万元).5315所以E1E2,D1D2,这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.17.解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P证明如下：取AB的中点F连结DP、PF、EF，则1FP / AC,F

16、P丄AC,.2取AC的中点M，连结EM、EC,/AE AC且EAC 60,EAC是正三角形，EM AC .DB四边形EMCD为矩形,1 ED MC1AC.又ED/AC, . 3分227又D1(300 200)-923D2(500 200)2(5(150 200)2-35000，9212300 200)2(0200)2. 10 分1140000 .1512 分13 分1 分2 分MAPF.CED/FP且ED FP,四边形EFPD是平行四边形.二DP/EF,而EF平面EAB,DP平面EAB,二DP/平面EAB则z轴在平面EACD内(如图).设AB AC AE 2a,由已知，D(0,2a , 3a)

17、.EB (2a,ED (0 , a , 0) ,设平面EBD的法向量为n (x , y , z),（2）（解法 1 ）过B作AC的平行线I，过C作I的垂线交I于G，连结DG,E ED /AC,二ED/1,I是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱.平面EAC平面ABC,DC平面ABC,又I平面ABC，二I平面DG,设ABACAE 2a，则CD、3a,GC2a,GDGC2CD2. 7a,13 分得B(2a ,0,0),E(0 , a , ,3a),a ,、3a),8 分AC,CADGC,P0 kGDGC是所求二面角的平面角.11 分则n EB且n ED,n EB 0,n ED 0.2ax ay一3

18、az 0, ay 0.J3解之得X yz,y 0-取z 2，得平面EBD的一个法向量为n (30,2).11 分又平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).v3 0 0 0 2 1COScos n , n(.3)20222. 020113 分说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力.18. (1)如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T,且交MN或其延长线与于S,并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W.在Rt NWS中，因为NW2所以NS.cos因为MN与圆弧FG切于点I在Rt QPS，因为P

19、Q 1,1所以QS -,QT QScos若S在线段TG上，则TSTS在Rt STM中，MS亠三sin2，SNWMN因此MN NS MSNS若S在线段GT的延长线上,TS在Rt STM中，MS上sinP，所以PQPQS，12cosQT QSQT QSsinQT QSsin贝U TS QS QTQS QTsinQS QTsinf ( ) MNNSQS2sin因此MN NS MSNSNScos(-i2sinQTsin)sin cosQS(2)设sinn cos ) 1(0sin coscost(1 t、.2)，贝V sin cost212，4tg(t)孑12，又1(t21)2因此函数g(t)牛2在t

20、 (1,、2是减函数，所以g(t)mingC-2)4.2t 1即MNmin4.2 2答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为因此因为f()g(t)t迈，所以g (t)0恒成立,19解:(1)补充一：椭圆的离心率为e上，且椭圆的长轴长为2 . 33_J6补充二：椭圆过(3,0)和(1,)34迂.I补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为2 3，且椭圆的一条准线长为3 222 分)类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分( b0)的某个焦点为F，定点P(m, n)满足(2)2命题一：已知椭圆 C:与a2m2a2y_b22占 1,以 PF 为直径的

21、圆与圆x2b1(a2a交于 A、B 两点，则 PA、PB 与椭圆相切。2命题二：已知双曲线 G:笃a2二 1 ,以 PF 为直径的圆与圆b22m-ra切。(3)证明：2y_2b2x1 (a,b 0)的某个焦点为F，定点P(m, n)满足2 2y a交于 A、B 两点，贝 U PA、PB 与双曲线相以 PF 为直径的圆的方程为(X m)(x -) y(y n) 0，设 A(0, y1),B(0, y2)，则2% (% n)丄pm 0, 直线 PA 的方程为y %-x x, 即2m2y1px 2力y 2 y；0联立P2yiyyi，消去 X 得到y24yiy 4yj 0，所以0，所以直线 PAy 2

22、px与抛物线相切。同理可证 PB 与抛物线相切。. 13 分20 .解：(I)f (x) axIn a 2x Ina 2x (ax1)l na由于a 1，故当x (0,)时，In a 0, ax10，所以f (x)0,故函数f(x)在(0,)上单调递增 .4分(n)当a 0,a1时，因为f (0)0,且f (x)在 R 上单调递增，故f (x)0有唯一解x 0.6分所以x, f (x), f (x)的变化情况如下表所示：X(,0)0(0,)f (X):一0+f(x)递减极小值递增又函数y | f(x) 11 1有三个零点，所以方程f(x) t 1有三个根, 而t 1 t 1，所以t 1 ( f (x)minf(0) 1,解得t 28分(川)因为存在X1,X2 1,1，使得|f(xj f(X2